基于巖心室應(yīng)力應(yīng)變和不確定度分析的致密儲層氦孔隙度測量方法

韓學(xué)輝， 張浩， 毛新軍， 徐登輝， 郭慧英， 江佳洋， 羅興平，王振林， 劉智楨， 李靖， 羅振

1 中國石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 青島 266580 2 新疆油田公司勘探開發(fā)研究院， 克拉瑪依 834000 3 中國石油股份有限公司新疆油田公司勘探事業(yè)部， 克拉瑪依 834000 4 新疆油田實(shí)驗(yàn)檢測研究院， 克拉瑪依 834000 5 克拉瑪依市昂科能源科技有限公司， 克拉瑪依 834000

0 引言

巖石孔隙度是油氣勘探和開發(fā)過程中評價儲層的重要參數(shù)之一(Bustin et al.，2008；李彤，2013；劉暢等，2013；李新等，2015).對于物性普遍較差的致密油氣儲層，由于孔隙度低，孔隙度測量的相對誤差更大，孔隙度的準(zhǔn)確測量顯得尤為重要(柯式鎮(zhèn)等，2007).實(shí)驗(yàn)室測量是目前常用的確定儲層孔隙度的方法，方法包括：氦氣法、高壓壓汞法、核磁共振法(NMR)、掃描電鏡(SEM)、等溫吸附法等(Sondergeld et al.，2010；肖立志，2007；Sun et al.，2011).針對致密儲層(如致密頁巖氣、頁巖油儲層)，最近提出一系列方法來提高孔隙度的測量精度，包括注氣孔隙度測定法(GIP)(Sun et al.，2016)、水浸法(WIP)(Kuila et al.，2014)、原子力顯微鏡(AFM)法等(Yao et al.，2010；Sondergel et al.，2010；Javadpour et al.，2012；Etminan et al.，2014).這些方法都有一定的應(yīng)用效果，但是存在設(shè)施復(fù)雜、樣品要求較高等弊端，難以滿足致密儲層孔隙度的實(shí)驗(yàn)測量需求.氦氣法具有操作簡單、成本低、時間短等優(yōu)點(diǎn)，有必要深入研究以滿足大量的致密儲層孔隙度測量需求.

氦氣法測量致密儲層的孔隙度時不確定度高，主要有以下兩個原因：一個是刻度參數(shù)和刻度過程帶來的測量誤差.氦氣法測量孔隙度需要考慮器壁壓變性系數(shù)G和標(biāo)準(zhǔn)室體積Vk兩個參數(shù)的刻度，繁瑣的刻度過程會引起誤差傳遞而增大氦氣法孔隙度的實(shí)驗(yàn)測量誤差(柯式鎮(zhèn)等，2007).依據(jù)不確定度理論，常規(guī)氦氣法孔隙度測量的不確定度為

(1)

式中，V鋼是鋼塊體積,單位為cm3；V總是巖心總體積, 單位為cm3;Pk是膨脹前壓力，單位為MPa;P1是裝滿鋼塊時的膨脹后壓力，單位為MPa;P2為裝巖心時的膨脹后壓力，單位為MPa.

壓力和體積計量的不確定度很小，可以忽略不計，式(1)可以簡化為

(2)

圖1為孔隙度分別為5%、10%時G和Vk絕對不確定度對常規(guī)氦氣法測量致密儲層孔隙度的不確定度的影響.其中，G不確定度的增大會近似線性增加孔隙度的不確定度，并且會隨著孔隙度變小而帶來更大的絕對不確定度，G對致密儲層氦氣法孔隙度測量的影響較大，需要想辦法減小或者消除.

圖1 G及Vk不確定度對常規(guī)氦氣法 測量致密儲層孔隙度不確定度的影響Fig.1 Effect of uncertainties of G and Vk on the porosity uncertainty of conventional helium measurement of tight reservoirs

另一個導(dǎo)致致密儲層氦氣法孔隙度測量不確定較高的原因是膨脹前壓力的設(shè)置缺乏指導(dǎo)，一般偏小(實(shí)驗(yàn)室設(shè)置一般在0.5 MPa左右)，難以填滿微小孔隙.致密儲層孔喉半徑小，孔隙結(jié)構(gòu)復(fù)雜，達(dá)西流和低速非達(dá)西滲流較弱，氣體擴(kuò)散是氣體進(jìn)出孔隙的主要機(jī)制(溫曉紅等，2010；王小波等，2015).在氦氣法測量孔隙度時，較小的標(biāo)準(zhǔn)室膨脹前壓力會導(dǎo)致氣體進(jìn)入孔隙困難，膨脹后壓力下降小，導(dǎo)致測量孔隙度偏小.田華等(2012)、王磊等(2015)認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)室的膨脹前壓力對致密儲層氦氣法孔隙度測量的影響較大，理論考察后建立了壓力區(qū)分度函數(shù)，得到了以下認(rèn)識：平衡前標(biāo)準(zhǔn)室壓力越大，取出標(biāo)準(zhǔn)塊體積越小，樣品體積越小壓力區(qū)分度越高，孔隙度測量精度則越大.但是，這些研究并沒有針對致密儲層樣品給出合適的膨脹前壓力確定方法，且實(shí)際測量時不可能隨時調(diào)節(jié)樣品室和標(biāo)準(zhǔn)室的體積，得到的結(jié)論和認(rèn)識難以有效地提高氦氣法孔隙度的測量精度和準(zhǔn)度.

本次研究，為了減少刻度參數(shù)G、膨脹前壓力對孔隙度測量的影響，基于氦氣法孔隙度測量系統(tǒng)的巖心室的應(yīng)力應(yīng)變分析推導(dǎo)得到了器壁壓變性參數(shù)G的解析式，進(jìn)而提出了無需刻度G的孔隙度測量方法，最后基于不確定理論給出了致密儲層樣品氦氣法孔隙度測量的膨脹前壓力設(shè)定閾值，提高了致密儲層氦氣法孔隙度的測量精度.

1 基于應(yīng)力應(yīng)變力學(xué)分析的器壁壓變性系數(shù)G的解析式

氦孔隙度測量裝置的標(biāo)準(zhǔn)室和巖心室近似為一個封閉的圓筒形介質(zhì).根據(jù)測量得到的尺寸，對于巖心室及標(biāo)準(zhǔn)室的應(yīng)力應(yīng)變力學(xué)分析可以簡化為彈性力學(xué)中的厚壁圓筒問題(皮薩連科等, 1981；朱務(wù)學(xué)和查子初，1987).

圖2中，Pi為厚壁圓筒承受的內(nèi)壓，單位為MPa；P0為厚壁圓筒承受的外壓，單位為MPa；Ri為厚壁圓筒的內(nèi)徑，單位為cm；R0為外徑，單位為cm；σθ為微元體受到的切向應(yīng)力，單位為GPa；σr為微元體受到的徑向應(yīng)力，單位為GPa；r為微元內(nèi)壁到中心的距離，單位為cm；dr為微元徑向長度，單位為cm.

根據(jù)圖2d中的微元應(yīng)力分析，可以得到以下平衡方程：

(3)

(4)

圖3描述了厚壁圓筒受力后微元體的位移情況.圖中，mnm1n1代表微元的初始位置，m′n′m′1n′1代表受力后微元的位置，w為圓筒內(nèi)壁的位移，單位為cm;w+dw為圓筒外壁的位移,單位為cm.根據(jù)圖3中厚壁圓筒中微元體的位移分析，可以得到徑向應(yīng)變和周向應(yīng)變分別為

(5)

(6)

根據(jù)公式(5)和公式(6)可以得到變形協(xié)調(diào)方程：

(7)

根據(jù)廣義胡克定律中應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系，可以建立本構(gòu)方程組：

(8)

(9)

圖2 厚壁圓筒中的應(yīng)力分析 (a) 厚壁圓筒縱切面圖； (b) 厚壁圓筒橫切面圖； (c) 微元受力分析圖.Fig.2 Analysis of stress in thick-wall cylinder (a) Longitudinal section of the thick-walled cylinder; (b) Transverse section of the thick-walled cylinder; (c) Force analysis of the micro element.

圖3 厚壁圓筒中微元體的位移Fig.3 Displacement of micro element in thick-wall cylinder

式中，σz為微元體受到的軸向應(yīng)力，單位為GPa;μ為厚壁圓筒的泊松比.

最終，通過綜合厚壁圓筒微元的平衡方程、幾何方程和本構(gòu)方程，可以得到應(yīng)力應(yīng)變微分方程并對其進(jìn)行求解，具體過程如下：

由公式(8)和公式(9)可得：

(10)

將公式(10)代入公式(8)，得到式(11)，有：

(11)

對公式(10)求導(dǎo)得到式(12)：

(12)

聯(lián)立式(11)和(12)，得到式(13)：

(13)

綜合式(4)和式(12)，可以得到微分方程(14)：

(14)

解微分方程(14)，可以得到兩個微分方程的解：

(15)

(16)

對于厚壁圓筒，邊界條件為：當(dāng)r=Ri時，σr=-Pi；當(dāng)r=R0時，σr=-P0.由此可以得到積分常數(shù)A和B分別為

(17)

(18)

最終，根據(jù)微分方程結(jié)果可以得到厚壁圓筒周向應(yīng)力、徑向應(yīng)力和軸向應(yīng)力的表達(dá)式(朱務(wù)學(xué)和查子初，1987)：

(19)

(20)

(21)

將公式(19)—(21)代入公式(9)，可以得到厚壁圓筒的徑向應(yīng)變，表達(dá)式為

(22)

將式(22)對r積分即可得到巖心室在半徑為r的微元體處徑向位移的表達(dá)式：

(23)

分別將巖心室及標(biāo)準(zhǔn)室的內(nèi)外徑代入公式(23)中，內(nèi)壓力為Pi外壓力為P0時的標(biāo)準(zhǔn)室及巖心室內(nèi)壁的徑向位移表達(dá)式為

(24)

(25)

式中，τ為巖心室的徑向形變，單位為cm;τk為標(biāo)準(zhǔn)室的徑向形變，單位為cm;Ri和R0分別為巖心室的內(nèi)徑和外徑，單位為cm;r1和r2分別為標(biāo)準(zhǔn)室的內(nèi)徑和外徑,單位為cm.

根據(jù)式(24)和式(25)，可以得到內(nèi)壓力為Pi時，巖心室和標(biāo)準(zhǔn)室的體積變化：

(26)

(27)

式中，ΔV為巖心室的體積變化，單位為cm3; ΔVk為標(biāo)準(zhǔn)室的體積變化，單位為cm3;H為巖心室的內(nèi)部高度，單位為cm;h為標(biāo)準(zhǔn)室的內(nèi)部高度,單位為cm.

根據(jù)波義耳定律(例如柯式鎮(zhèn)等，2007)，常規(guī)氦氣法測量裝置中的體積-壓力關(guān)系為

(28)

根據(jù)上述孔隙度測量系統(tǒng)的應(yīng)力應(yīng)變分析，式(28)可以變換為

Vk1·Pk=V2·P+Vk2·P，

(29)

式中Pk為膨脹前壓力，單位為MPa;P為膨脹后壓力，單位為MPa;Vk1為內(nèi)壓為Pk時的標(biāo)準(zhǔn)室體積，單位為cm3,表達(dá)式為

Vk1=Vk+ΔVk1，

(30)

Vk2為內(nèi)壓為P時的標(biāo)準(zhǔn)室體積，單位為cm3,表達(dá)式為

Vk2=Vk+ΔVk2，

(31)

V2為內(nèi)壓為P時的巖心室體積，單位為cm3,表達(dá)式為

V2=V+ΔV.

(32)

根據(jù)式(29)和式(32)，有：

V=V2-ΔV

(33)

根據(jù)式(28)—(33)，可以得到G的表達(dá)式為

(34)

式(34)給出了器壁壓變性系數(shù)G的解析式，可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)壓力等參數(shù)計算得到，不再需要通過實(shí)驗(yàn)刻度確定了.

2 無需刻度G的致密儲層氦氣法孔隙度測量方法

在得到器壁壓變性系數(shù)G的解析式后，對常規(guī)氦氣法的測量原理和測量流程就可以得到氦氣法孔隙度測量的方法，常規(guī)氦氣法的測量裝置如圖4所示.

圖4 氦氣法孔隙度測量裝置示意圖Fig.4 Schematic diagram of porosity measurement device by helium method

氦氣從已知體積Vk與壓力Pk的標(biāo)準(zhǔn)室等溫膨脹到體積為V的未知室中，膨脹后測量裝置的最終平衡壓力為P.根據(jù)波義耳定律，未知體積V與最終平衡壓力P的關(guān)系為

Vk·Pk=V·P+Vk·P，

(35)

V=Vk(Pk-P)/P，

(36)

綜合式(35)、式(36)以及器壁壓變系數(shù)G表達(dá)式(34)，可以得到V的表達(dá)式：

(37)

式中，ΔVk1以及ΔVk2可用公式(27)計算得到，ΔV可用公式(26)計算得到.

式(37)即為無需刻度器壁壓變系數(shù)G的氦氣法孔隙度中骨架體積的確定方法，再測量得到巖樣的總體積后即可以得到孔隙度.由式(37)可知，當(dāng)Vk、Pk一定時，待測體積V是平衡壓力P的函數(shù).應(yīng)用已知體積的鋼塊進(jìn)行兩次刻度即可得到標(biāo)準(zhǔn)室體積Vk的值.

具體測量步驟如下：

(1)將總體積為Vb的四塊鋼塊全部裝入樣品室，記錄膨脹前壓力為Pof時的膨脹后平衡壓力Pf.

(2)將體積為Vb2的二號鋼塊取出，記錄膨脹前壓力為Pob時的膨脹后平衡壓力Pb.

(3)將樣品放入巖心室記錄膨脹前壓力為Pk2時的膨脹后平衡壓力P.

根據(jù)式(28)可以得到步驟(1)、步驟(2)及步驟(3)的巖心室體積V1、V2及V3：

(38)

(39)

(40)

根據(jù)式(38)和(39)可以得到標(biāo)準(zhǔn)室的體積Vk，代入式(40)即可得到V3.綜合式(38)及(40)，樣品孔隙度的表達(dá)式為

(41)

式中，V總為樣品的總體積, 單位為cm3.

3 致密儲層氦氣法孔隙度測量的膨脹前壓力確定方法

樣品孔隙度φ、氦氣法孔隙度測量膨脹前壓力Pk對孔隙度測量不確定度的影響最大.樣品的孔隙度是巖石的固有參數(shù)，因此在實(shí)際測量中只能通過控制膨脹前壓力提高氦氣法孔隙度的測量精度.以下從致密儲層氦氣法孔隙度測量方法出發(fā)，對孔隙度測量結(jié)果的不確定度做了理論分析，重點(diǎn)討論了樣品孔隙度φ以及膨脹前壓力Pk對氦氣法孔隙度測量不確定度的綜合影響，給出了膨脹前壓力確定方法.

3.1 氦氣法孔隙度不確定度公式

(1)直接測量不確定度的計算方法

(42)

(2)間接測量不確定度的合成方法

UN=

(43)

根據(jù)上述直接不確定度和間接不確定度的計算方法，氦氣法測量孔隙度φ的合成不確定度為

(44)

式中，根號內(nèi)Ux代表的是相應(yīng)參數(shù)的直接測量不確定度，各個下標(biāo)的意義如下：V鋼代表巖心室放入鋼塊的體積，單位為cm3；V0代表巖心室的原始體積，單位為cm3；V總代表巖心的總體積，單位為cm3；Vk代表參考室的原始體積，單位為cm3；Pk代表膨脹前壓力，單位為MPa；P代表膨脹后壓力，單位為MPa；H為巖心室的內(nèi)部高度，單位為cm；h為參考室的內(nèi)部高度，單位為cm；R0和Ri分別為巖心室的外徑和內(nèi)徑，單位為cm；r0和ri分別是參考室的內(nèi)徑和外徑，單位為cm.

將上述各參數(shù)的直接測量不確定度代入式(44)中，即可得到氦氣法孔隙度測量的不確定度.

3.2 膨脹前壓力確定方法

基于式(44)考察了膨脹前壓力對孔隙度測量不確定的影響，計算結(jié)果見表1.不確定度分析中用到的參數(shù)指標(biāo)如下：壓力表：0.1級，量程為5 MPa；游標(biāo)卡尺的測量精度為0.01 cm.標(biāo)準(zhǔn)室內(nèi)徑為2.350 cm，外徑為2.725 cm，高度為5.817 cm，巖心室與標(biāo)準(zhǔn)室參數(shù)一致，樣品總體積設(shè)為15 cm3，參考室及巖心室材料的楊氏模量設(shè)為210 GPa.為了考察不同孔隙度條件下膨脹前壓力對孔隙度測量不確定度的影響，設(shè)置孔隙度φ變化范圍為2%～10%，膨脹前壓力Pk的變化范圍為0.5～3 MPa.

表1 不同膨脹前壓力、孔隙度下氦氣法孔隙度絕對 不確定度計算結(jié)果表Table 1 Results of porosity uncertainty of porosity measurement by helium under different pre-expansion pressures and porosities

圖5 孔隙度絕對不確定度隨膨脹前壓力和 樣品孔隙度變化圖Fig.5 Variation of relative uncertainty of porosity with pre-expansion pressure and sample porosity

為了更直觀的體現(xiàn)出樣品孔隙度和膨脹前壓力對氦氣法孔隙度不確定度的影響，圖5給出了孔隙度測量絕對不確定度隨膨脹前壓力Pk和樣品孔隙度Φ的變化.相同膨脹前壓力下，孔隙度測量絕對不確定度隨樣品孔隙度減小逐漸增大，膨脹前壓力越小越明顯.膨脹前壓力為常用的0.5 MPa時，孔隙度為10%的絕對不確定度為1.54%，孔隙度為2%的不確定度為1.81%.相同孔隙度情況下，孔隙度測量絕對不確定度隨膨脹前壓力增大而減小.當(dāng)膨脹前壓力增大到1～1.5 MPa時，孔隙度測量絕對不確定度出現(xiàn)明顯的降低.當(dāng)膨脹前壓力為2 MPa時，孔隙度從10%減小到2%，孔隙度絕對不確定度從0.26%增加到0.45%，都已經(jīng)符合氦氣法孔隙度行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)中對測量誤差的要求(孔隙度絕對不確定度小于0.5%).因此，可以選取2 MPa作為致密儲層氦氣法測量的膨脹前壓力.

4 氦氣法孔隙度測量方法效果分析

為了考察氦氣法孔隙度測量新方法的應(yīng)用效果，選取了來自X致密儲層的20塊樣品，分別應(yīng)用常規(guī)氦氣法、新氦氣法以及高壓壓汞法測量了樣品的孔隙度(表2).其中：高壓壓汞法是一種常用的致密儲層孔隙度測量方法，測量壓力最大可達(dá)455.07 MPa，可識別的孔隙尺度最低可達(dá)0.001 μm，也可以同時提供平均孔喉半徑、滲透率等參數(shù)，如表2所示；常規(guī)氦氣法膨脹前壓力為0.54 MPa，新氦氣法的膨脹前壓力統(tǒng)一設(shè)定為2 MPa.

表2 X致密儲層常規(guī)氦氣法、本次提出的 氦氣法與高壓壓汞法測量數(shù)據(jù)

圖6 常規(guī)氦氣法和新氦氣法測量孔隙度與 壓汞法孔隙度差異對比圖Fig.6 Comparison of porosity measured by conventional and new helium method with that measured by mercury injection method

圖6是常規(guī)氦氣法、氦氣法和高壓壓汞法測量孔隙度結(jié)果對比.當(dāng)孔隙度較大(本例中大于7.5%)時，常規(guī)氦氣法、新氦氣法和高壓壓汞法測量孔隙度相差很小(本例中不超過0.85%)，表明器壁壓變性系數(shù)G的不確定度和膨脹前壓力對氦氣法孔隙度測量影響較小.當(dāng)孔隙度較小(本例中小于7.5%)，常規(guī)氦氣法測量孔隙度明顯小于高壓壓汞法的孔隙度，而新氦氣法測量孔隙度與高壓壓汞法孔隙度偏差很小(本例中不超過0.76%).分析認(rèn)為，當(dāng)孔隙度較小時，由于平均孔喉半徑較小(本例中小于0.5 μm)，常規(guī)氦氣法測量壓力較低(本例中為0.54 MPa)，測量氣體更難填充微小孔隙，加上器壁壓變性系數(shù)G的影響而導(dǎo)致測量孔隙度偏小，平均孔喉半徑越小偏差越大.新氦氣法消除了器壁壓變性系數(shù)G的影響，采用了更高的膨脹前壓力(本例中為2 MPa), 微小孔隙的填充度高，測量結(jié)果更接近于壓汞法的孔隙度.

總體上，新氦氣法在致密儲層的孔隙度測量結(jié)果與壓汞法孔隙度的測量結(jié)果接近，能夠滿足致密儲層孔隙度測量的要求.

5 結(jié)論

本文通過氦氣法孔隙度測量裝置的應(yīng)力應(yīng)變分析給出了器壁壓變性系數(shù)G的表達(dá)式，簡化了常規(guī)氦氣法的刻度過程，提出了一個免刻度G的氦孔隙度測量方法.基于該方法，通過分析氦氣法孔隙度測量的不確定度明確了膨脹前壓力對孔隙度測量不確定度的影響，并給出了致密儲層樣品氦氣法孔隙度測量的膨脹前壓力設(shè)定閾值，提高了致密儲層氦氣法孔隙度測量的精度.與壓汞法孔隙度結(jié)果的對比發(fā)現(xiàn)：本次改進(jìn)的氦氣法相比常規(guī)氦氣法孔隙度測量不確定度更小，測量精度更高.

致謝感謝審稿專家提出的寶貴意見.