條件概率的弱定義與隨機(jī)事件間相依性的不同刻畫

李興東，楊 剛

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，蘭州 730070)

隨機(jī)事件之間及隨機(jī)變量之間相依性及其度量,是概率統(tǒng)計(jì)中重要的研究課題之一.正如我國著名概率統(tǒng)計(jì)專家張堯庭教授所言,本文可引出許多隨機(jī)變量之間相依性的指標(biāo),本文從不同的角度給出相依性的度量,并應(yīng)盡快將這些內(nèi)容吸收到統(tǒng)計(jì)教材中來[1-2].目前，文獻(xiàn)[3-8]研究了Pearson相關(guān)系數(shù)、Kendall相依系數(shù)、Spearman秩相依系數(shù)等相依性度量指標(biāo)的性質(zhì)及其應(yīng)用,這些相依性指標(biāo)是隨機(jī)變量間或隨機(jī)向量間整體相依性的不同刻畫及其度量.

因此,要準(zhǔn)確地對復(fù)雜的相依性給出或微觀或局部的度量，一條可行的途徑就是首先探明隨機(jī)事件間的相依性及其度量,然后將其方法與思路及其所得結(jié)論再拓展到隨機(jī)變量間及隨機(jī)向量間的相依性及其度量.條件概率是揭示隨機(jī)事件之間及隨機(jī)變量或隨機(jī)變量序列之間相依性及其度量的基本工具[9],因條件概率正是從一隨機(jī)事件的發(fā)生對另一事件發(fā)生的可能性的影響入手考慮相依性及其度量的.為能深入揭示相依性及其度量,必須對條件概率深入探討.

事實(shí)上,概率為0的事件分為兩類[11],概率為0的事件包含了不可能事件,不同于不可能事件,卻常被誤認(rèn)為不可能事件.比如,在區(qū)間[0,1]上“取到有理數(shù)”的概率為0,但不是不可能事件.

本文中,首先將條件概率的定義進(jìn)行推廣,事件B可以是概率為0的事件,從而事件B為任意事件,A,B也就為任意兩事件.為此,證明以下3個(gè)命題.

命題1設(shè)(Ω,F,P)是一個(gè)概率空間,對任意A,B∈F,則max{0,P(A)+P(B)-1}≤P(AB)≤min{P(A),P(B)}.

證明因A,B是概率空間(Ω,F,P)的任意兩事件.一方面,因A∪B?Ω,由概率加法公式與單調(diào)性,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤P(Ω)=1,得P(AB)≥P(A)+P(B)-1;再由概率的非負(fù)性,得P(AB)≥0；故max{0,P(A)+P(B)-1}≤P(AB).

另一方面,因AB?A且AB?B,得P(AB)≤P(A)且P(AB)≤P(B),故P(AB)≤min{P(A),P(B)}.

從而,max{0,P(A)+P(B)-1}≤P(AB)≤min{P(A),P(B)}.

命題1給出了積事件概率不等式,由這個(gè)重要不等式,容易證明命題2與命題3也成立.

命題2在概率空間(Ω,F,P)中,若P(B)=0,則對任意事件A,有P(AB)=P(A)P(B),即0=P(A)×0.

命題3在概率空間(Ω,F,P)中,若P(B)=1,則對任意事件A,有P(AB)=P(A)P(B),即P(A)=P(A)×1.

由命題2與命題3,在同一個(gè)概率空間中,概率為0的事件、概率為1的事件都與任意事件獨(dú)立,這與直觀實(shí)際也是吻合的,即概率為0的事件和概率為1的事件都與任意事件獨(dú)立,都不影響任意事件發(fā)生的概率.

從而,給出條件概率的弱定義.文獻(xiàn)[12]也給出了邊緣密度函數(shù)為0的情形下二維隨機(jī)變量的條件分布.

1 條件概率的弱定義

可見,弱定義中A,B是任意兩事件,且允許分母P(B)=0.因此,以條件概率為基礎(chǔ)的乘法公式、貝葉斯公式中都可以推廣為任意事件,下文的事件都可以是任意事件.

接下來,基于積事件概率不等式的3個(gè)命題與條件概率的弱定義,進(jìn)一步提出事件間的相依原理和相依度,從不同角度逐步深入、準(zhǔn)確地刻畫任意兩隨機(jī)事件之間的相依關(guān)系,也推廣了條件概率、獨(dú)立性等概念與相關(guān)概率命題的適用范圍,使相關(guān)結(jié)論在具有更大理論價(jià)值和實(shí)踐價(jià)值基礎(chǔ)上,有更完美、對稱的表達(dá)形式.

2 從不同角度刻畫任意兩隨機(jī)事件之間的相依關(guān)系

基于條件概率的弱定義,能定性或定量地給出任意兩隨機(jī)事件相依性的不同刻畫.

2.1 任意兩隨機(jī)事件相互獨(dú)立的定性刻畫

定性的,若同一個(gè)概率空間下的一事件的發(fā)生與否不影響另一事件發(fā)生的概率,則稱兩事件相互獨(dú)立.在條件概率的弱定義下可以得到任意兩事件相互獨(dú)立的定量刻畫或定義：設(shè)A,B是概率空間(Ω,F,P)的任意兩事件,若P(AB)=P(A)P(B),則稱A,B相互獨(dú)立,簡稱A,B獨(dú)立.否則,稱A,B不獨(dú)立或相依.這里,A與B都是允許概率為0或1的任意兩事件.

1) 任意兩隨機(jī)事件的相依性是相互的

條件概率揭示了任意兩隨機(jī)事件的相依關(guān)系,且這任意兩事件沒有先后關(guān)系或因果關(guān)系,是成對出現(xiàn)的,其中的任何一個(gè)事件都可作為條件,這是對相依性的樸素認(rèn)識.

2) 由概率乘法公式刻畫任意兩隨機(jī)事件之間的相依關(guān)系

設(shè)A,B是概率空間(Ω,F,P)的任意兩事件,則P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A).

3) 由貝葉斯公式刻畫任意兩隨機(jī)事件之間的相依關(guān)系

貝葉斯公式的另一種表達(dá)形式是：

2.2 由似然度定量刻畫任意兩隨機(jī)事件之間的相依關(guān)系

若λ(A,B)<1,則稱A與B負(fù)相依；若λ(A,B)=1,則稱A與B不相依(即獨(dú)立)；若λ(A,B)>1,則稱A與B正相依；

可見,同一個(gè)概率空間的任意兩事件A與B的似然度λ,實(shí)質(zhì)是集合A與B的二元集函數(shù),且函數(shù)值是非負(fù)實(shí)數(shù).無論似然度λ取任何非負(fù)值,A與B彼此間的作用是相互的λ,似然度有如下性質(zhì).

性質(zhì)1(任意兩事件間的相依原理)設(shè)A,B是概率空間(Ω,F,P)的任意兩事件,則有：

1)λ(A,B)=λ(B,A)；

2) 任意兩隨機(jī)事件或負(fù)相依、或不相依、或正相依,三者必具其一且只具其一；

性質(zhì)2設(shè)A,B是概率空間(Ω,F,P)的任意兩事件,則有：

綜上,同一個(gè)概率空間下任意兩事件的似然度λ取非負(fù)實(shí)數(shù)值,定性并定量地刻畫了A與B之間的相依關(guān)系：λ∈[0,1)時(shí)負(fù)相依；λ=1時(shí)獨(dú)立;λ∈(1,+∞)時(shí)正相依.由性質(zhì)2,似然度在區(qū)間[0,+∞)上以1為分界“非對稱”地取值,主要定性地刻畫了事件間的相依關(guān)系,但在定量方面,與下文提出的相依度相比有明顯不足.

2.3 由相依度定量刻畫任意兩隨機(jī)事件之間的相依關(guān)系

事實(shí)上,P(AB)-P(A)P(B)的符號(小于0、等于0、大于0)只是定性地反映了A與B是負(fù)相依、不相依還是正相依,只是一個(gè)絕對數(shù),要相對地反映兩事件相依程度的大小,需要知道P(AB)的最小值和最大值,由命題1,m=max{0,P(A)+P(B)-1}≤P(AB)≤min{P(A),P(B)}=M,因此,分別考慮積事件的概率到獨(dú)立時(shí)的距離,積事件概率的最值到獨(dú)立時(shí)的距離,兩者之比能精確地刻畫A與B相依程度的大小,即為A,B的相依度.文獻(xiàn)[13]也給出了隨機(jī)變量之間的相依度函數(shù).

定義3設(shè)A,B是概率空間(Ω,F,P)的任意兩事件,則稱

ρ(A,B)=

為A,B的相依度.

由相依度的定義,若給定P(A),P(B),則對于在區(qū)間[m,M]中取值的P(AB),閉區(qū)間[-1,1]中存在唯一的相依度ρ(A,B)與之對應(yīng),反之亦然.從而,若給定P(A),P(B),則P(AB)與A,B的相依度ρ(A,B)之間存在一一映射關(guān)系.

當(dāng)m≤P(AB)

當(dāng)P(AB)=P(A)P(B)時(shí),ρ(A,B)=0,稱為不相依,即獨(dú)立；

當(dāng)P(A)P(B)

特別,當(dāng)P(AB)=m時(shí),ρ(A,B)=-1,稱為完全負(fù)相依；當(dāng)P(AB)=M時(shí),ρ(A,B)=1,稱為完全正相依.

顯然,相依度也是集合A與B的二元集函數(shù).可以驗(yàn)證,相依度有以下較好性質(zhì)：

性質(zhì)3設(shè)A,B是概率空間(Ω,F,P)的任意兩事件,則有：

1) -1≤ρ(A,B)≤1；

2)ρ(A,B)=ρ(B,A)；

4) |ρ|越小,相依程度越弱；|ρ|越大,相依程度越強(qiáng)；|ρ|=1,相依程度最大；

-1.

以下實(shí)例,說明了兩事件的似然度、相依度的具體求解,并驗(yàn)證了性質(zhì)1、性質(zhì)2與性質(zhì)3.

例1在同一個(gè)概率空間下,已知P(A)=0.2,P(B)=0.3,并設(shè)P(AB)=0.15,分別解答：

1)λ(A,B),ρ(A,B)；并說明A,B相依關(guān)系；

3 相依性的其他等價(jià)刻畫與相關(guān)概率命題應(yīng)用范圍的擴(kuò)大

上文基于條件概率的弱定義,從多個(gè)角度定性并定量地逐步深入刻畫了同一個(gè)概率空間的任意兩事件的相依性及其度量,并已擴(kuò)大了相關(guān)概率命題的應(yīng)用范圍,使相關(guān)結(jié)論在具有更大理論價(jià)值和實(shí)踐價(jià)值基礎(chǔ)上,有更完美、對稱的表達(dá)形式.為進(jìn)一步論證,下文再給出了任意兩事件負(fù)相依、不相依、正相依的其他等價(jià)刻畫,并結(jié)合一個(gè)具體實(shí)例,說明相關(guān)概率命題應(yīng)用范圍的擴(kuò)大.

1) 任意兩事件負(fù)相依的其他等價(jià)刻畫

設(shè)A,B是概率空間(Ω,F,P)的任意兩事件,A與B負(fù)相依等價(jià)于

2) 任意兩事件不相依的其他等價(jià)刻畫

設(shè)A,B是概率空間(Ω,F,P)的任意兩事件,A與B不相依等價(jià)于

3) 任意兩個(gè)事件正相依的其他等價(jià)刻畫

設(shè)A,B是概率空間(Ω,F,P)的任意兩事件,A與B正相依等價(jià)于

4) 相關(guān)概率命題應(yīng)用范圍的擴(kuò)大

現(xiàn)行教材中,條件概率公式、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式中都要求分母大于0.在條件概率的弱定義下,其分母都可以等于0；本文中,其中的事件都是任意事件,既擴(kuò)大了相關(guān)概率命題的應(yīng)用范圍,又使數(shù)學(xué)表達(dá)對稱、統(tǒng)一.

4 結(jié)束語

本文從條件概率的概念出發(fā),提出了條件概率的弱定義、事件間的相依原理和事件間的相依度,從不同角度逐步深入、準(zhǔn)確地刻畫了同一個(gè)概率空間的任意兩隨機(jī)事件之間的相依關(guān)系及其度量,并使建立在條件概率基礎(chǔ)上的相關(guān)命題有形式與本質(zhì)的統(tǒng)一.

正如我國著名概率統(tǒng)計(jì)專家張堯庭教授所言,本文可引出許多隨機(jī)變量之間相依性的指標(biāo),從不同的角度給出相依性的度量,并應(yīng)盡快將這些內(nèi)容吸收到統(tǒng)計(jì)教材中來.筆者認(rèn)為,基于條件概率的弱定義,以相依性為線索,也可以構(gòu)建概率統(tǒng)計(jì)的主要內(nèi)容、方法與原理,在理論方面與實(shí)踐方面都具有“潛在”意義.本文從事件的角度作了基礎(chǔ)性的有意義的探索.

基礎(chǔ)性是顯而易見的,有意義表現(xiàn)在：本文給出了兩隨機(jī)事件間相依性的不同刻畫及其度量,特別是提出了兩事件的相依度,能較準(zhǔn)確地度量兩事件相依程度.本文方法與思路及其所得結(jié)論可拓展到隨機(jī)變量間及隨機(jī)向量間的相依性及其度量,對應(yīng)的就能得到隨機(jī)變量間或隨機(jī)向量間相依性的不同刻畫及其度量,相應(yīng)的相依度與Pearson相關(guān)系數(shù)、Kendall相依系數(shù)、Spearman秩相依系數(shù)等相依性度量指標(biāo)有密切關(guān)系,能克服這些度量指標(biāo)的不足,能適應(yīng)各種相依類型,較準(zhǔn)確地對復(fù)雜的相依性給出或微觀或局部或整體的度量.