加速度信號積分求解位移方法研究

龐家志，孫佳川，劉澤豐

（中國航天科工集團第二研究院二 〇一所，北京 100854）

在產(chǎn)品可靠性試驗中，被試品結構部件在振動、沖擊等載荷作用下的動力學響應是考核焦點之一。產(chǎn)品的部分結構在動載荷作用下發(fā)生的位移是否與其他部位產(chǎn)生干涉、是否會影響被試品的結構性能，是產(chǎn)品可靠性考核的一個必要項目。

目前，測試位移的主要方法有兩種：非接觸式測位移方法和接觸式測位移方法。

非接觸式測位移法主要是利用各種位移傳感器，將傳感器安裝在剛性很好的基礎結構上，直接測得待測點與位移傳感器的相對位移[1]。

接觸式測量主要是利用加速度傳感器，直接安裝在被試品的待測點上，將測得的加速度信號進行積分處理，得位移值[2-4]。利用加速度傳感器的接觸式測量方法較為方便，但是測試過程中的干擾等也會極大地影響測量位移的準度[5-6]。

當在利用加速度傳感器測量位移時，應注意以下情況。

1）測量方法的確定。因為加速度傳感器測量的信號是以地面為參照物的，所以測量得出的位移為被測件相對于地面的位移，其位移量不僅包含被測件相對于振動臺臺面的位移，同時還包含振動臺整個臺體相對于地面的位移。因此，為測得被測件真正的位移變形大小，需要確定位移測量基準點，并在基準點處布置加速度傳感器，實際計算時，應將基準點處的位移數(shù)據(jù)扣除。

2）傳感器的選擇。首先，在利用加速度測量位移時，由于低頻處的位移較大，因而應選擇低頻響應較好的加速度傳感器，特別是在開展量級較大的沖擊試驗時，較大的試驗載荷會對加速度傳感器及傳感器線的技術指標提出較高的要求，應避免在低頻處出現(xiàn)“零漂”現(xiàn)象，否則會引起較大的試驗誤差；其次，應選擇質量較小的加速度傳感器，從而避免傳感器的質量慣性作用對被測件的影響；第三，由于被測件的位移往往不是單一方向的位移，因此，為獲得被測件實際的位移狀態(tài)，應優(yōu)先選擇三向傳感器，并根據(jù)三個方向的矢量疊加結果計算最終位移[7]。

3）濾波頻率的選擇。不同頻段的噪聲信號在積分后會對計算結果造成較大的影響，不進行任何處理而直接積分得到的結果會嚴重偏離真實結果。因此，在進行加速度積分計算位移前，應對加速度信號進行頻域分析，觀察加速度信號在不同頻段頻率分量的響應情況，進而根據(jù)實際情況剔除無用信號，最終得到可靠結果[8-11]。

文中通過對不同位移測試方法的對比驗證研究，對比了不同加速度信號積分算法求解位移的精確性，并以激光位移傳感器實測位移結果作為驗證，確定了位移測試誤差影響因素及測試精度，分析了不同積分算法的優(yōu)缺點及適用范圍。該研究有助于試品在動力環(huán)境載荷作用下的位移測量，具有較好的實際應用價值。

1 試驗

1.1 加速度信號的預處理

加速度信號的預處理是為了讓試驗中采集到的加速度信號能盡可能還原實際狀況。

1.1.1 消除多項式趨勢項

趨勢項指的是偏離基線隨時間變化的過程，主要是由于試驗中加速度傳感器受到多種環(huán)境因素的干擾所致，趨勢項一般存在于所采集的加速度信號的低頻區(qū)域[12-14]。趨勢項的存在直接影響著所采集加速度信號的準確性，去除趨勢項一般利用多項式最小二乘法[15]。

在加速度積分計算位移過程中，由于要經(jīng)過兩次積分，因此存在一次趨勢項和二次趨勢項。對于一次線性趨勢項，可以直接通過線性擬合消除；對于二次趨勢項，可通過多項式擬合進行消除。沖擊信號中，去除一次項趨勢項前后的信號對比如圖1所示。從圖1a可以明顯看出，趨勢項隨時間推移而持續(xù)增大，信號失真嚴重；隨機振動信號中，去除二次趨勢項前后對比如圖2所示。由于圖2中的兩對比信號已經(jīng)去除了一次項，在進行二次積分后，二次趨勢項去除前后對比起來并不明顯，但為保障積分結果的準確性，去除二次項還是必要的。

圖1 沖擊信號消除一次趨勢項前后對比 Fig.1 Comparison chart of shock signal (a) before and (b) after eliminating primary trend term

圖2 隨機信號消除二次趨勢項前后對比 Fig.2 The comparison chart of random signal before and after eliminating quadratic trend term

1.1.2 平滑數(shù)據(jù)

由于環(huán)境干擾以及測試時的不確定性，一般在數(shù)據(jù)采集過程中，數(shù)據(jù)采集儀所采集的加速度信號中免不了有環(huán)境噪聲，則未經(jīng)處理的時域曲線是不平滑的，噪聲過大必然會影響分析的準確性[16]。因此應選擇合適的數(shù)據(jù)平滑方法，使時域曲線變得平滑，去除噪聲的干擾，還原真實的數(shù)據(jù)。常用平滑數(shù)據(jù)方法主要有回歸平滑法、移動窗口平均法、移動窗口擬合多 項式法、小波變換法等。此次處理隨機振動信號選擇的是移動窗口平均法，數(shù)據(jù)平滑處理前后的曲線對比如圖3所示。由圖3可知，通過平滑處理，曲線中的不規(guī)則尖峰被平滑為光滑的曲線。

圖3 隨機振動信號平滑前后對比 Fig.3 The comparison chart of random signal before and after with smooth signal

1.2 加速度積分算法及試驗驗證

1.2.1 時域積分算法

時域積分算法是將處理好的時域加速度數(shù)據(jù)進行二次積分，從而得到位移數(shù)據(jù)。

假設測得的某一加速度信號為a：

其中ε為測量誤差。

一次積分得：

二次積分：

經(jīng)過二次積分得到位移s。由式（3）可知，多次積分后，測量誤差ε的作用被放大，導致位移s的結果與真實情況有很大偏差。因此，在積分前需要先去除加速度信號中的測量誤差等直流分量。

去除直流分量的方法一般是去除信號的均值，此時加速度信號為：

某掃頻試驗中采集到的加速度信號如圖4所示。對加速度數(shù)據(jù)進行一次項及二次項去除，利用梯形積分直接進行二次積分得到的位移結果如圖5所示。由圖5可知，二次計算得到的位移數(shù)據(jù)仍有較大的趨勢項干擾。因此，在一次積分得到速度數(shù)據(jù)后，仍要進行趨勢項的消除，然后再進行積分，由此得到的位移數(shù)據(jù)如圖6所示。

圖4 采集到的加速度信號 Fig.4 Collected acceleration signal

圖5 原始數(shù)據(jù)去除一次項及二次項后得到的位移數(shù)據(jù) Fig.5 The displacement data obtained by removing the first or second terms from the original data: a) removing first terms; b) removing second terms

圖6 速度數(shù)據(jù)去除趨勢項后得到的位移數(shù)據(jù) Fig.6 Displacement data obtained by removing trend term from velocity data

由圖6可以看出，雖然在對加速度數(shù)據(jù)一次積分后去除了趨勢項，但積分后的位移數(shù)據(jù)仍有趨勢項存在。經(jīng)分析可知，該趨勢項由低頻位移干擾造成，通過傅里葉變換在頻域內對數(shù)據(jù)進行分析，如圖7所示。可以發(fā)現(xiàn)，低頻干擾主要集中在3 Hz以下。對位移數(shù)據(jù)進行通帶濾波，得到的最終位移數(shù)據(jù)如圖8所示。

圖7 位移數(shù)據(jù)的頻譜分析 Fig.7 Spectrum analysis of displacement data

1.2.2 頻域積分算法

頻域積分算法是將時域數(shù)據(jù)通過傅里葉變換轉換為頻域數(shù)據(jù)，在頻域中解決時域計算無法解決的響應問題，得到精確解[17-19]。在振動加速度測試中，通過傅里葉變換得到加速度信號的頻域數(shù)據(jù)，再進行積分，積分頻譜圖中無用的部分即是趨勢項，進而將其剔除。頻域積分結果通過傅里葉逆變換，就可以得到時域的積分結果，即位移數(shù)據(jù)。

對于某一加速度信號a，經(jīng)傅立葉變換得到其頻域值：

式中：A(k)為加速度a的頻域轉換；V(k)為速度v的頻域轉換；S(r)為位移s的頻域轉換；Δf為頻率的分辨率；j為虛數(shù)單位；fm為下限截止頻率；fn為上限截止頻率。

由式（6）、（7）可知，頻域積分時，數(shù)據(jù)測量誤差的作用在積分后無放大，此時計算結果較頻域積分算法會更準確。但是，頻域積分時，低頻信號中的數(shù)據(jù)誤差會隨之作為分母，這樣誤差在計算后會變得非常大。

一般加速度傳感器在低頻區(qū)域的測試精度較差，因此在使用頻域積分算法時，低頻區(qū)域是一個重要誤差來源。

對1.2.1小節(jié)中所使用的試驗數(shù)據(jù)進行相同的去除趨勢項等預處理，再通過頻域積分算法進行積分得到位移數(shù)據(jù)，如圖9所示。將頻域積分與時域積分的數(shù)據(jù)結果對比，如圖10所示。由圖10可知，預處理后的時域積分數(shù)據(jù)結果與頻域積分數(shù)據(jù)結果十分接近，并沒有較顯著的差異。

圖9 濾波后的頻域積分位移數(shù)據(jù) Fig.9 Filtered frequency domain integral displacement data

圖10 時域頻域積分位移數(shù)據(jù)對比 Fig.10 Comparison of time and frequency domain integral displacement data

1.3 試驗開展與數(shù)據(jù)采集

為進一步驗證時域積分算法和頻域積分算法這兩種積分算法的準確度，以及兩種積分算法能否滿足不同工況下位移測量的需要，設定掃頻振動試驗、隨機振動試驗、半正弦沖擊試驗和沖擊響應譜試驗等4種不同試驗典型的振動及沖擊試驗條件，對每種試驗條件分別開展試驗，并同步進行加速度數(shù)據(jù)采集和激光位移數(shù)據(jù)采集。試驗開展與數(shù)據(jù)測量采集方式如圖11所示。將被測品剛性固定在激振設備上，以實現(xiàn)各種試驗條件。為加強測試的準確性，將測量加速度傳感器剛性固定于被測品的待測點，再利用激光位移傳感器，將激光測點直接對焦于加速度傳感器表面上。

圖11 試驗開展與數(shù)據(jù)測量采集方式 Fig.11 Schematic diagram of test development and data acquisition

2 結果及分析

2.1 積分算法的試驗驗證

在不同工況下，利用不同積分算法得到的試驗結果如圖12—14所示。由圖可知，不同積分結果與激光測定結果數(shù)據(jù)基本重合，說明了積分結果的精確性。

圖12 掃頻條件下時域積分結果、頻域積分結果與激光測量位移數(shù)據(jù)對比 Fig.12 Comparison of time, frequency domain integral displacement data and laser measureddisplacement data under swept frequency condition

2.2 誤差結果分析

在掃頻振動、隨機振動、半正弦沖擊、沖擊響應譜等不同工況下的最大位移處，利用時域積分、頻域 積分、激光直接測量得到的位移結果見表1。以激光位移傳感器測試結果為基準，時域及頻域積分計算誤差見表2。由表2可知，無論是時域積分還是頻域積分，加速度積分計算得到的位移最大誤差均小于5%，符合實際應用需求。

表1 不同工況下計算及測量得到的最大位移處數(shù)值 Tab.1 The maximum displacement value calculated and measured under different working conditions mm

表2 時域及頻域積分相對誤差大小 Tab.2 Relative error of time domain and frequency domain integration %

2.3 誤差來源分析

在振動測試和信號采集過程中，由于環(huán)境中各種因素的干擾，導致所采集到的加速度數(shù)據(jù)中存在各種噪聲信號和直流分量的數(shù)據(jù)。經(jīng)過分析，總結出此次信號誤差來源主要包含以下幾項。

圖13 隨機振動條件下時域積分結果、頻域積分結果與激光測量位移數(shù)據(jù)對比 Fig.13 Comparison of time, frequency domain integral displacement data and laser measured displacement data under the condition of random vibration

圖14 沖擊響應譜條件下時域積分結果、頻域積分結果與激光測量位移數(shù)據(jù)對比 Fig.14 Comparison of time, frequency domain integral displacement data and laser measured displacement data under the condition of shock response spectrum

1）傳感器本身存在誤差。動態(tài)誤差：由于傳感器的結構所致，其對于快速響應時有一定的阻尼，會導致響應時間延遲、振幅失真和相位失真；頻率失真誤差：頻率范圍是指傳感器正常工作的頻帶，傳感器測試到的振動信號在這個頻帶外的分量可能會遠大于或小于實際振動信號的分量，被測量的振動信號頻率超出儀器使用頻率范圍時，測量結果將產(chǎn)生重大誤差。

2）環(huán)境誤差。影響加速度傳感器使用精度的環(huán)境因素包括溫度、濕度、噪聲、電磁干擾等，即便對信號進行濾波等降噪預處理，也不可能完全去除信號中的干擾。

3）使用誤差。較大尺寸和質量的傳感器特別會對一些試驗模型產(chǎn)生較大的附加質量影響，致使測試結果出現(xiàn)較大誤差。

4）數(shù)據(jù)采樣頻率引起的誤差。在積分計算過程中，頻率分辨率越高，積分計算精度越高。因此，設置較高的采樣頻率將會降低計算結果的誤差，而較低的采樣頻率將引起較大的誤差。

5）應用誤差。試驗人員操作過程中的操作誤差，包括傳感器安裝固定不牢固、安裝位置偏差、安裝角度偏差等。

6）數(shù)字信號處理過程中加速度積分誤差。時域積分算法中，在試驗中測試所采集到的加速度數(shù)據(jù)中包含著環(huán)境噪聲和直流分量，即便對信號進行去除趨勢項、平滑數(shù)據(jù)等預處理，也不能完全去除所有引起誤差的數(shù)據(jù)。同時，在時域積分時，殘余的測量誤差經(jīng)過2次積分，會被放大，導致積分得到的位移結果存在誤差。頻域積分算法中，由式（7）可知，分母的(2πkΔf)2項導致積分精度具有低頻敏感性。因此，在對采集到的加速度信號進行頻域積分后，加速度數(shù)據(jù)低頻區(qū)域的測量誤差會被放大，高頻區(qū)域的測量誤差會被縮小，表現(xiàn)為低頻區(qū)域的幅值增大，而高頻區(qū)域的幅值衰減。而加速度傳感器的自身屬性導致其精度在低頻區(qū)域較差，因此，在頻域積分時的誤差主要源自加速度數(shù)據(jù)的低頻區(qū)域。

2.4 頻率適用范圍分析

通過分析可知，在確定頻率適用范圍時，一方面，應考慮到加速度的幅頻特性，令被測加速度的信號頻率落在傳感器正常工作頻率的范圍區(qū)間，從源頭上避免測量過程中引入的直接測量誤差；另一方面，應提高加速度信號的采樣頻率，來提高計算精度。

此外，由于頻域積分精度對低階截止頻率敏感，因此在確定頻域積分算法的頻率適用范圍時，應關注低頻截止頻率[20]。當?shù)皖l截止頻率選擇偏高時，此時雖然計算精度得到提高，但是會過濾掉被測品結構的部分真實低頻位移；當?shù)皖l截止頻率選擇偏低時，外部環(huán)境等干抗因素會導致積分位移曲線在低頻處呈現(xiàn)出明顯的時域幅值振蕩，即出現(xiàn)偏離真實位移較大的情況。在一般工程中，經(jīng)常關注的是被測品結構的最大位移。由于其最大位移往往發(fā)生在其結構的一階共振頻點處，因此一般在工程中確定低頻截止頻率時，一種是采用對低頻進行位移標定的方法；另外一種是采用將結構共振點附近較為關注的頻率作為下限頻率的方法，在避免不必要頻率影響同時，提高算法計算的準確度。

3 結論

文中利用不同算法對加速度積分求解位移進行了計算及分析，并與激光位移傳感器的測量結果進行對比，驗證了積分算法的準確性，同時對積分算法的誤差來源進行了分析。研究結果表明，在動力學環(huán)境試驗中，時域積分算法適用于噪聲和直流分量可忽略的情況，頻域積分算法適應于低頻誤差較小的情況。在確定頻率適用范圍且對加速度信號數(shù)據(jù)進行必要、有效的預處理后，其位移積分結果具有較高的準確性，能夠滿足一般工程實際測試需求。