三相不平衡高頻振蕩的相量測量方法

陳 壘，謝小榮，于光遠(yuǎn)，尹愛輝

（1. 清華大學(xué)電機(jī)工程與應(yīng)用電子技術(shù)系，北京市 100084；2. 國網(wǎng)山東省電力公司濟(jì)南供電公司，山東省濟(jì)南市 250000）

0 引言

近年來，中國電力系統(tǒng)發(fā)生了多次高頻振蕩事件。例如：2017 年魯西背靠背柔性直流輸電工程出現(xiàn)了1 270 Hz 左右的高頻振蕩現(xiàn)象，導(dǎo)致?lián)Q流器跳閘［1］；2018 年渝鄂柔性直流輸電工程在調(diào)試期間分別出現(xiàn)了700 Hz 和1 810 Hz 的振蕩［2］。這種高頻振蕩一旦發(fā)生，將會嚴(yán)重危害電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運行。目前，中國海上風(fēng)電多采用柔性直流輸電系統(tǒng)送出，因此，高頻振蕩風(fēng)險不可避免。

為了讓系統(tǒng)調(diào)度員實時了解振蕩的頻率和幅值信息，并針對性地采取振蕩抑制措施，需要實現(xiàn)高頻振蕩相量和頻率的實時準(zhǔn)確測量。基于巨磁阻效應(yīng)的電流傳感器在大量程、寬頻帶范圍內(nèi)均有良好的性能［3-4］，且相應(yīng)的測量方法可依托相量測量單元（phasor measurement unit，PMU）實現(xiàn)。這些均為在柔性直流輸電系統(tǒng)中準(zhǔn)確測量高頻振蕩相量提供了基礎(chǔ)。

通過分析現(xiàn)場數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，柔性直流系統(tǒng)中發(fā)生的高頻振蕩一般具有三相不平衡特征。這主要是由于系統(tǒng)在振蕩頻率處正負(fù)序均存在不穩(wěn)定模式，系統(tǒng)擾動后同時引發(fā)正序振蕩和負(fù)序振蕩，造成三相不平衡［5］。

由文獻(xiàn)［6］可知，負(fù)序振蕩分量會對正序相量測量造成干擾，從而導(dǎo)致高頻振蕩相量測量存在誤差。因此，在測量正序相量時，測量方法應(yīng)具備負(fù)序分量干擾的抑制能力。而目前已有的振蕩相量測量方法主要關(guān)注三相平衡下正序振蕩相量的測量問題，少有關(guān)注振蕩三相不平衡下負(fù)序分量干擾的抑制問題。

文獻(xiàn)［7-8］提出了基于Prony 和Adaline 等現(xiàn)代譜估計理論的低頻振蕩參數(shù)測量方法。針對電力系統(tǒng)次同步振蕩參數(shù)測量，文獻(xiàn)［9］對目前已有的方法進(jìn)行了綜述。目前文獻(xiàn)中的次同步振蕩檢測方法主要包括2 類。一類是基于PMU 同步基波相量測量數(shù)據(jù)的檢測方法［9-10］，其一般假設(shè)PMU 采用的相量測量方法為離散傅里葉變換（discrete Fourier transform，DFT），然后推導(dǎo)次同步振蕩參數(shù)與基波相量測量結(jié)果之間的關(guān)系。這一類方法并不適用高頻振蕩相量測量。這主要是由于PMU 最高數(shù)據(jù)上傳速率僅為100 幀/s。根據(jù)香農(nóng)采樣定理，如此低頻率的數(shù)據(jù)不包含高頻振蕩信息，因此不能從PMU測量得到的基波相量數(shù)據(jù)中恢復(fù)高頻振蕩相量等信息。另一類是基于電網(wǎng)電壓電流采樣信號的測量方法［11-13］。例如，文獻(xiàn)［12］提出先用平均濾波方法濾除基波和諧波分量，再采用DFT 計算次同步振蕩幅值和相位等參數(shù)?；谠摲椒ㄓ嬎阏蛘袷幭嗔繒r，須首先計算各相的振蕩相量，然后采用對稱分量法計算正序相量。然而，當(dāng)三相振蕩分量不平衡時，鏡像振蕩頻率分量對各相振蕩相量測量結(jié)果的影響不同，也就導(dǎo)致計算得到的正序振蕩相量中含有負(fù)序分量干擾，因此存在誤差。文獻(xiàn)［13-14］中的方法也存在該問題。另外，文獻(xiàn)［15］提出的基于子空間的電力系統(tǒng)振蕩相量測量算法考慮了不超過300 Hz 的中頻振蕩參數(shù)測量問題。文獻(xiàn)［16］討論了寬頻帶相量測量框架，并提出用DFT 測量寬頻帶相量。但這些方法都未考慮三相振蕩信號不平衡情況下的高頻振蕩相量測量問題。

本文針對上述問題，提出基于sinc 插值函數(shù)的正序高頻振蕩相量測量方法，能有效抑制負(fù)序振蕩分量的干擾，并通過仿真實驗和實測數(shù)據(jù)驗證了所提方法的有效性。

1 高頻振蕩相量測量方法

1.1 高頻振蕩三相電流信號

含有基波和振蕩間諧波分量的三相電流信號sp(n)（p=A，B，C）可以表示為：

式中：f0、fih、fs分別為額定頻率、間諧波頻率和信號采樣頻率；a0，p和θ0，p分別為p相基波有效值和相位；aih，p和θih，p分別為p相間諧波初始有效值和相位；σp為p相間諧波幅值的衰減因子；n為采樣點編號。

根據(jù)上文所述，三相高頻振蕩分量可以是不平衡的，即三相的幅值aih，p、衰減因子σp和相位θih，p可以不相等。圖1 給出了國內(nèi)發(fā)生的某高頻振蕩事件中三相電壓電流波形，可以發(fā)現(xiàn)上述波形中有明顯的三相不平衡特征。

圖1 某高頻振蕩事件中三相電壓、電流波形Fig.1 Three-phase voltage and current waveforms in a high-frequency oscillation event

1.2 三相信號的Clark 變換

對式（1）所示三相信號進(jìn)行Clark 變換，并進(jìn)行推導(dǎo)后得到變換后的信號波形Cα，β(n)。

式中：下標(biāo)α和β分別表示正序和負(fù)序分量；bih，α(n)和bih，β(n)分別為信號變換后的正序和負(fù)序振蕩分量有效值。從式（2）可以看到，當(dāng)三相高頻振蕩信號不平衡時，bih，β(n) ≠0，而這部分負(fù)序分量會給正序振蕩相量的測量帶來干擾。

為了抑制負(fù)序分量干擾，本文的思路是在信號模型中加入負(fù)序分量，即可在實現(xiàn)正序振蕩相量測量的同時實現(xiàn)負(fù)序分量的陷波處理。但振蕩幅值是一個時變量，因此，還需要用參數(shù)化模型對正負(fù)序分量進(jìn)行建模，從而描述振蕩信號的時變特征。

1.3 振蕩相量建模

正負(fù)序振蕩相量一般可視作一個基帶帶限信號。那么，在很窄的時間窗n∈[-N2 +1，N2 ]內(nèi)，該帶限信號可以近似地表示為若干個sinc 插值函數(shù)的線性疊加［16-17］，其中N為時間窗長度。以正序振蕩相量建模為例，可以將其表示為：

式中：pih，α(n) =bih，α(n)ejθih，α為高頻振蕩正序相量，即為待測量的相量值；B為一個不小于基帶信號pih，α(n)最高頻率的頻率值（B≠0），2B為該帶限信號的采樣頻率；pk，α=pih，α(k2B)為pih，α(n)在n=kfs/(2B)時刻的采樣值；k為采樣點編號；2K為用于重構(gòu)振蕩相量信號的采樣點數(shù)，因此，2K可以被視為模型階數(shù)。另外，時間窗長度Tw一般應(yīng)滿足Tw＜k/B。需要說明的是，傳統(tǒng)的信號建模方式一般針對穩(wěn)態(tài)信號，而本文建模方式可準(zhǔn)確描述頻譜在一定范圍內(nèi)分布的時變信號［16-17］。

1.4 振蕩頻率和正序相量測算

在實現(xiàn)振蕩相量建模后，就可以實現(xiàn)式（2）中信號的近似表示。對該近似表示的電網(wǎng)信號進(jìn)行DFT 計算可以得到頻譜分析結(jié)果S(c)：

式中：pα=a0，αejθ0，α和pβ=a0，βejθ0，β分別為正、負(fù)序基波相量；pk，β=pih，β(k/2B)為pih，β(n)在n=kfs/(2B)時刻的采樣值；fc=cfs/N為DFT 計算的頻率，其中c為DFT 計算的譜線序號。可用振蕩頻率附近幅值最大的若干根譜線信息進(jìn)行pk，α的測算，fc即為這些譜線對應(yīng)的頻率。N取每周期采樣點數(shù)的整數(shù)倍。如此，基波和可能存在的低次諧波在高頻振蕩頻率附近的若干根譜線對應(yīng)DFT 的變換值為0，從而可有效避免基波和可能存在的諧波對振蕩頻率附近的頻譜值產(chǎn)生影響。為了減小計算負(fù)荷，同時提高正序振蕩相量測量的響應(yīng)速度，本文將N取為一個基波周期長。因此，在忽略式（4）中基波分量的DFT值后，其可表示為如下矩陣形式。

式中：Sα和Sβ分別為包含2K+1 個電網(wǎng)電流信號DFT 計算值的正、負(fù)序列向量，用于計算它們的DFT 頻率fc分別為振蕩頻率和負(fù)振蕩頻率附近幅值最大的譜線對應(yīng)的頻率；z為每一行包含了2K+1個sinc 插值函數(shù)DFT 的變換值；上標(biāo)*表示共軛算子；pα和pβ分別為包含了pk，α和pk，β的列向量；V為包含了z和z*的矩陣；X為包含了Sα和Sβ的列向量；R為包含了pα和pβ的列向量。

為了抑制負(fù)序分量對正序振蕩相量測量帶來的影響，式（5）中包含了負(fù)序分量部分的計算結(jié)果，如此，負(fù)序分量也包含在信號模型中。因此，在通過式（5）計算正序振蕩相量時，負(fù)序分量的影響得到了抑制，即從濾波器的角度考慮，可認(rèn)為實現(xiàn)了負(fù)序分量的陷波處理［18］。列向量R可通過式（6）進(jìn)行測算。

在對式（2）所示信號進(jìn)行近似表示時，fih是未知的。本文基于插值DFT 初步估計fih，記為f^ih。其計算原理和方法較為成熟，本文不再贅述，具體可參考文獻(xiàn)［14］。因此，根據(jù)式（3），正序振蕩相量在0 時刻的m階導(dǎo)數(shù)可以基于pk，α的估計值p^k，α進(jìn)行測算，即

式中：Im {·}表示相量虛部算子。

2 計算流程和計算量分析對比

本文方法通過如下步驟完成：①基于式（2）計算三相信號的Clark 變換信號；②基于插值DFT 粗略估計高頻振蕩頻率；③基于式（4）計算Sα和Sβ；④基于式（6）測算pk，α和pk，β；⑤基于式（8）和式（9）計算高頻振蕩相量和頻率。

由于計算相量導(dǎo)數(shù)和頻率僅需幾次加減和乘除，因此第⑤步的計算量基本可忽略不計。第①步中需要3(N-1)次加法和4N次乘法；第②步和第③步共需要進(jìn)行4K+2+N次DFT 計算（這里的DFT 計算是指計算每個頻譜值所需的計算量）；第④步中需要對4K+2 階方陣進(jìn)行求逆運算。由于本文K取1，因此待求逆方陣的階數(shù)僅為6 階。另外，由于時間窗長度僅為20 ms，因此即使當(dāng)PMU采樣率為12.8 kHz 時，以上計算量總和也不超過10 000 次浮點運算。

采用目前最常用的插值DFT 算法［16］計算正序振蕩相量時，首先需要對三相信號進(jìn)行Clark 變換，然后對變換后的信號進(jìn)行加窗DFT 運算，最后通過插值估計高頻振蕩頻率和高頻振蕩相量。相對于本文所提算法，插值DFT 方法不需要進(jìn)行上述步驟③至⑤中的計算，計算負(fù)荷明顯減小。

一般而言，為進(jìn)一步提高準(zhǔn)確度，須將上述插值DFT 算法估計得到的高頻振蕩頻率作為式（3）信號模型中的初始頻率值，并進(jìn)一步在頻域?qū)⑿盘柲Ｐ团c實際信號進(jìn)行比較，估計得到高頻相量和頻率值。具體原理與本文方法類似，唯一的區(qū)別是式（5）中不包括負(fù)序高頻振蕩分量對應(yīng)的計算值，即Sβ，而計算步驟與本文方法相同。與本文方法相比，該算法在第②步和第③步中僅需進(jìn)行2K+1+N次DFT 計算；第④步中需要對2K+1 階方陣進(jìn)行求逆運算。因此，該算法的總計算量也小于本文算法。

然而，由于每次執(zhí)行本文算法所需的浮點運算數(shù)不超過10 000 次，而目前常用的數(shù)字信號處理器每秒能進(jìn)行上億次浮點運算。因此，完全能夠完成本文算法計算。

3 算法性能測試

本章通過仿真實驗分析所提高頻振蕩相量測量方法的性能。首先，采用數(shù)值仿真信號評價振蕩頻率取值和電流存在諧波對所提振蕩檢測方法性能的影響；然后，采用典型柔性直流輸電系統(tǒng)中出現(xiàn)的高頻振蕩PSCAD 仿真信號驗證所提振蕩相量測量方法的性能；最后，采用國內(nèi)發(fā)生的高頻振蕩錄波數(shù)據(jù)測試所提出方法的性能。

為了展示本文方法對負(fù)序分量干擾的抑制性能，與未考慮負(fù)序分量干擾的振蕩相量測量方法進(jìn)行比較。插值DFT 算法是一種常用的高頻振蕩相量測量方法［16］，但由于該方法不存在迭代環(huán)節(jié)，因此準(zhǔn)確度比本文方法低。為了公平地進(jìn)行比較，在插值DFT 算法的基礎(chǔ)上增加類似本文的迭代環(huán)節(jié)，區(qū)別在于式（5）中不包含負(fù)序分量部分，下文將該方法稱為傳統(tǒng)方法。實驗中電網(wǎng)信號的采樣率為10 kHz，正/負(fù)序振蕩相量建模參數(shù)B取2.5 Hz，采用振蕩頻率和負(fù)振蕩頻率附近3 根幅值最大的譜線信息進(jìn)行振蕩相量測算，并用IEEE/IEC 標(biāo)準(zhǔn)［19］中定義的綜合矢量誤差（total vector error，TVE）和頻率誤差評價2 種方法的性能。

3.1 振蕩頻率的影響

不同振蕩模式下振蕩頻率可能不同，本節(jié)考察振蕩頻率對所提出方法性能的影響。采用式（10）中的信號sp(t)進(jìn)行分析。在各個子實驗中，fih以20 Hz的步長從500 Hz 遞增到2 500 Hz。衰減因子σ為1，A 相初始振蕩幅值a為0.2，基波頻率f為50 Hz。

附錄A 圖A1 展示了高頻振蕩頻率為540 Hz 時本文方法的中間結(jié)果，包括Clark 變換信號的頻譜分析結(jié)果（見圖A1（a））及插值DFT 估計得到的高頻振蕩頻率值（見圖A1（b））。從圖A1（a）可以看出，三相不平衡信號中含有明顯的負(fù)序分量。從圖A1（b）可以看出，插值DFT 估計得到的頻率誤差較大，需進(jìn)一步通過迭代運算提高準(zhǔn)確度。

圖2 和圖3 分別展示了不同振蕩頻率下本文方法和傳統(tǒng)方法對應(yīng)的TVE 和頻率誤差?？梢园l(fā)現(xiàn)，即使振蕩頻率不同，本文所提出的方法的TVE 和頻率誤差均很小，如TVE 總小于0.002%，頻率誤差總小于0.002 Hz。而且，本文所提出的方法的準(zhǔn)確度要明顯高于傳統(tǒng)方法。對振蕩頻率測算而言，本文方法將傳統(tǒng)方法近0.22 Hz 的誤差減小為0.002 Hz。這說明本文方法對負(fù)序分量干擾起到了很好的抑制作用。

圖2 不同振蕩頻率下2 種方法對應(yīng)的TVEFig.2 TVE corresponding to two methods with different oscillation frequencies

圖3 不同振蕩頻率下2 種方法對應(yīng)的頻率誤差Fig.3 Frequency errors corresponding to two methods with different oscillation frequencies

3.2 不平衡程度的影響

不同振蕩事件中，三相振蕩分量的不平衡程度可能不同。本節(jié)通過不斷調(diào)節(jié)式（10）中A 相信號的振蕩幅值來改變不平衡程度，以測試本文方法和傳統(tǒng)方法的性能。具體而言，在10 次測試中，參數(shù)a的值以0.1 的步長逐漸從0.1 變化到1，而A 相的初相位總是0°，振蕩頻率為520 Hz。

附錄A 圖A2 和圖A3 分別展示了不同不平衡程度下本文方法和傳統(tǒng)方法對應(yīng)的TVE 和頻率誤差?？梢钥吹?，當(dāng)a值為0.1、相位為0°，即三相振蕩分量平衡時，本文方法與傳統(tǒng)方法的TVE 及頻率誤差均相同。而隨著不平衡程度的增加，傳統(tǒng)方法的TVE 及頻率誤差快速增加。相較而言，本文方法的TVE 及頻率誤差基本維持不變。這主要是由于本文方法有效抑制了負(fù)序分量干擾。

3.3 次同步間諧波干擾的影響

在高頻振蕩發(fā)生過程中，由于干擾影響，信號中還可能存在次同步間諧波分量。本節(jié)分析該分量對高頻振蕩相量測量的影響。在9 次測試中，次同步間諧波的頻率以5 Hz 的步長逐漸從5 Hz 變化到45 Hz，幅值為基波幅值的1%，相位與基波相位相同，高頻振蕩頻率為520 Hz。

附錄A 圖A4 和圖A5 分別展示了次同步間諧波頻率不同時本文方法和傳統(tǒng)方法對應(yīng)的TVE 和頻率誤差?？梢钥吹?，當(dāng)信號中存在次同步間諧波分量時，本文方法的TVE 和頻率誤差均增大。TVE 值最高約達(dá)0.8%，頻率誤差最高約達(dá)0.08 Hz。然而，即使在次同步間諧波干擾的情況下，本文方法的準(zhǔn)確度仍要高于傳統(tǒng)方法。

3.4 諧波干擾的影響

電網(wǎng)信號中不可避免地會存在諧波分量。本節(jié)根據(jù)IEEE/IEC 標(biāo)準(zhǔn)［19］測試諧波對所提方法性能的影響。一般而言，電網(wǎng)中較低次諧波含量更為豐富。本節(jié)主要測試信號中含有第2 至7 次諧波分量時方法的性能。具體地，在式（10）中增加一個諧波水平為1%的諧波分量。為了測試所提出方法可能受到的最大影響，振蕩頻率應(yīng)盡量靠近諧波，為此將振蕩頻率設(shè)定為520 Hz。

附錄A 圖A6 和圖A7 分別展示了不同次數(shù)諧波干擾下2 種方法對應(yīng)的TVE 和頻率誤差?？梢钥吹?，即使受到諧波干擾，2 種方法的準(zhǔn)確度基本不變。這主要是由于本文采用基于DFT 的頻域插值的方法測算振蕩相量值，而DFT 能很好地抑制諧波分量對振蕩頻率附近頻譜的干擾，因此諧波干擾基本不影響高頻振蕩相量的測量準(zhǔn)確度。

3.5 振蕩頻率時變的影響

由于系統(tǒng)拓?fù)浠蚱渌麉?shù)變化，高頻振蕩頻率也可能是時變的。為了測試這種情況的影響，本節(jié)考慮振蕩頻率在520～521 Hz 范圍內(nèi)線性變化。其他參數(shù)與式（10）一致，即振蕩幅值也存在時變。

附錄A 圖A8 和圖A9 分別給出了振蕩頻率線性變化下2 種方法對應(yīng)的TVE 和頻率誤差?？梢钥吹?，本文方法對應(yīng)的最大TVE 及頻率誤差分別為0.002%、0.01 Hz；而傳統(tǒng)方法對應(yīng)的最大TVE及頻率誤差分別為0.74%、0.24 Hz。因此，本文方法仍明顯比傳統(tǒng)方法準(zhǔn)確。

3.6 典型柔性直流輸電系統(tǒng)高頻振蕩仿真信號

本節(jié)以典型柔性直流輸電系統(tǒng)為例，通過PSCAD 時域仿真獲取高頻振蕩電流信號驗證所提出方法的性能。本文所考慮的典型柔性直流輸電系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如附錄A 圖A10 所示［5］。由圖A10 可見，當(dāng)變電站間的輸電線由于檢修或其他原因斷開后，系統(tǒng)中出現(xiàn)了高頻振蕩線性。

附錄A 圖A11 展示了振蕩發(fā)生前后測量點處的三相電流波形及振蕩發(fā)生后的電流信號頻譜（時間窗長度為1 s）。從三相電流波形圖可以看出，該高頻振蕩具有明顯的三相不平衡特征。從頻譜圖可以看出，系統(tǒng)發(fā)生了約1 272 Hz 的振蕩。

圖4 和附錄A 圖A12 分別展示了本文方法和傳統(tǒng)方法測算得到的振蕩頻率和正序振蕩幅值。可以發(fā)現(xiàn)測量結(jié)果與附錄A 圖A11 中的頻譜分析結(jié)果相近。由于實際振蕩頻率和正序振蕩相量未知，所以無法計算振蕩頻率誤差和TVE。但由于高頻振蕩發(fā)生后系統(tǒng)參數(shù)并未發(fā)生改變，因此可認(rèn)為振蕩頻率一直不變。如此，可以通過分析頻率值的波動程度判斷測量方法的精度。通過計算得到，傳統(tǒng)方法距離平均值的最大偏差為0.50 Hz，而本文方法僅為0.38 Hz。在如附錄A 圖A12 所示的2.5～2.6 s 范圍內(nèi)，可認(rèn)為二次擬合后得到的振蕩幅值曲線為振蕩幅值真實值。本文方法與真實值之間的最大偏差為0.47 A，而傳統(tǒng)方法為0.57 A。根據(jù)上述分析，可知本文方法比傳統(tǒng)方法有更高的精度。

圖4 2 種方法的振蕩頻率測算值Fig.4 Measured values of oscillation frequency for two methods

4 高頻振蕩事件實測數(shù)據(jù)

分別對圖1 所示的國內(nèi)某高頻振蕩事件實測電壓、電流數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，得到了如圖5 所示的振蕩頻率的測算值。通過比較本文方法和傳統(tǒng)方法測量結(jié)果發(fā)現(xiàn)，本文方法最大偏離平均值為0.4 Hz，而傳統(tǒng)方法最大偏離平均值為0.65 Hz。因此，可以得出本文方法比傳統(tǒng)方法精度更高的結(jié)論。

圖5 基于電壓實測數(shù)據(jù)計算的振蕩頻率Fig.5 Calculated oscillation frequencies based on voltage measured data

5 結(jié)語

本文針對高頻振蕩三相信號不平衡問題，提出了一種基于sinc 插值函數(shù)的高頻振蕩相量測量方法。首先，對三相信號進(jìn)行Clark 變換；然后，基于sinc 插值函數(shù)對正序和負(fù)序分量進(jìn)行參數(shù)化建模；最后，通過求逆運算得到模型參數(shù)，并進(jìn)一步計算得到正序振蕩相量和振蕩頻率。本文通過sinc 插值函數(shù)對負(fù)序分量進(jìn)行建模，實現(xiàn)了負(fù)序分量干擾的有效抑制。通過數(shù)值仿真實驗、PSCAD 仿真數(shù)據(jù)實驗和實測數(shù)據(jù)實驗發(fā)現(xiàn)，本文方法的頻率誤差總小于0.08 Hz，TVE 總小于0.8%；而且本文方法比傳統(tǒng)方法更能抑制因三相不平衡引入的負(fù)序分量干擾，具有更高的振蕩相量測量準(zhǔn)確度。另外，本文方法還具有計算量低的特點，工程應(yīng)用潛力大。

但是，本文尚未在實際工程中驗證所提方法的性能。下一步將考慮研制高頻振蕩相量測量裝置，并將其應(yīng)用于工程實踐中。

附錄見本刊網(wǎng)絡(luò)版（http：//www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx），掃英文摘要后二維碼可以閱讀網(wǎng)絡(luò)全文。