考慮發(fā)電機(jī)閥點(diǎn)效應(yīng)的改進(jìn)拉格朗日松弛有功調(diào)度策略

陳建華，丁 冬，于希娟，丁 紅，忻 煜

（1. 國(guó)網(wǎng)冀北電力有限公司，北京市 100053；2. 國(guó)網(wǎng)北京市電力公司，北京市 100031；3. 國(guó)網(wǎng)北京市電力公司電力科學(xué)研究院，北京市 100075）

0 引言

經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題是電力系統(tǒng)運(yùn)行中最重要的優(yōu)化問題之一［1-2］，其目的是在保證電力系統(tǒng)安全運(yùn)行的前提下，通過優(yōu)化調(diào)整機(jī)組出力實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)運(yùn)行經(jīng)濟(jì)性最優(yōu)的目的［3-4］。目前，經(jīng)濟(jì)調(diào)度運(yùn)行中，一般認(rèn)為機(jī)組運(yùn)行成本與機(jī)組出力之間為簡(jiǎn)單的二次多項(xiàng)式關(guān)系。但實(shí)際上，對(duì)大型發(fā)電機(jī)組來說，其進(jìn)氣閥突然開啟時(shí)出現(xiàn)的拔絲現(xiàn)象會(huì)在機(jī)組耗量曲線上疊加一個(gè)脈動(dòng)效果，產(chǎn)生閥點(diǎn)效應(yīng)，從而導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題呈現(xiàn)非光滑和非凸特性，增加了模型的復(fù)雜度，給優(yōu)化求解帶來較大難度［5］。

以往對(duì)于考慮閥點(diǎn)效應(yīng)的有功調(diào)度問題的研究主要以啟發(fā)式算法為主，包括粒子群優(yōu)化算法［6-7］、自組織遷移算法、人工蜂群算法、人工免疫算法、共生生物搜索算法、和聲搜索算法［8-14］等。部分研究將2 種或多種算法進(jìn)行混合求解［15-19］，其中先由一種方法進(jìn)行初步搜索，以縮小搜索范圍，然后用另外一種方法進(jìn)行精細(xì)搜索，以達(dá)到最優(yōu)。啟發(fā)式算法的優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)優(yōu)化問題的形狀要求較少，對(duì)于非凸非光滑優(yōu)化問題也能獲得優(yōu)化解。但啟發(fā)式算法每一次優(yōu)化結(jié)果均不相同，存在前后兩次結(jié)果差別較大的情況，且結(jié)果不能復(fù)現(xiàn)，因此，目前尚難以在實(shí)際現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用。

在數(shù)學(xué)優(yōu)化領(lǐng)域，對(duì)于此類非凸非光滑優(yōu)化問題，一般采用分段線性化方法進(jìn)行求解，但由此會(huì)產(chǎn)生2 個(gè)問題：一是優(yōu)化模型中引入了整數(shù)變量，從而變?yōu)榛旌险麛?shù)規(guī)劃問題，降低了求解效率；二是對(duì)于存在多個(gè)局部最優(yōu)點(diǎn)的優(yōu)化問題，可能會(huì)出現(xiàn)最優(yōu)解來回跳變，從而導(dǎo)致優(yōu)化過程不收斂問題。

本文提出一種改進(jìn)的拉格朗日松弛有功調(diào)度算法，以考慮發(fā)電機(jī)閥點(diǎn)效應(yīng)影響。提出一種二次多項(xiàng)式分段擬合算法及基于近端梯度法的增廣求解策略，能夠在確保結(jié)果最優(yōu)性的基礎(chǔ)上加快收斂速度。

1 考慮閥點(diǎn)效應(yīng)的有功經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題模型

有功經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題模型的目標(biāo)函數(shù)和約束條件分析如下。

1）目標(biāo)函數(shù)

一般以火電機(jī)組煤耗最小作為有功經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，如式（1）所示。

式中：f(pi)為火電機(jī)組i的煤耗成本，pi為機(jī)組i的有功出力；ai，bi，ci為機(jī)組i的煤耗成本系數(shù)。

當(dāng)考慮閥點(diǎn)效應(yīng)時(shí)，式（1）將轉(zhuǎn)變?yōu)槭剑?）。

式中：n為系統(tǒng)中所有火電機(jī)組數(shù)量；ei和fi為常數(shù)；為第i臺(tái)機(jī)組的有功出力下限。

2）約束條件

發(fā)電負(fù)荷平衡約束為：

式中：D為系統(tǒng)負(fù)荷需求預(yù)測(cè)值。

發(fā)電機(jī)出力限值約束為：

輸電斷面容量約束為：

可以看出，當(dāng)考慮常規(guī)機(jī)組閥點(diǎn)效應(yīng)時(shí)，優(yōu)化目標(biāo)將由傳統(tǒng)的凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉峭狗枪饣瑑?yōu)化問題。由于目前未有針對(duì)這一問題的有效求解策略，使得經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題優(yōu)化求解困難。

2 改進(jìn)拉格朗日松弛法求解算法

2.1 整體求解流程

對(duì)第1 章中的有功經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型，采用拉格朗日松弛法進(jìn)行求解，對(duì)應(yīng)的拉格朗日對(duì)偶問題如式（6）所示。

式中：C為常數(shù)項(xiàng)。

可以看出，式（7）可以看成是多個(gè)單機(jī)約束的優(yōu)化子問題之和。因此，原優(yōu)化問題可以表示為多個(gè)并行的單機(jī)優(yōu)化子問題，每個(gè)子問題中的變量及約束僅與一臺(tái)機(jī)組相關(guān)，而與其他機(jī)組無關(guān)。子問題的表達(dá)式如式（8）所示。

對(duì)于傳統(tǒng)有功調(diào)度問題而言，f(pi)為二次多項(xiàng)式函數(shù)，因此，子問題為二次規(guī)劃問題，最優(yōu)解可以較容易獲得。

在子問題獲得最優(yōu)解后，通過次梯度法更新主問題的拉格朗日乘子，并不斷對(duì)主問題、子問題進(jìn)行迭代，即可逐漸逼近最優(yōu)解。

2.2 考慮閥點(diǎn)效應(yīng)的改進(jìn)拉格朗日松弛算法

當(dāng)考慮閥點(diǎn)效應(yīng)時(shí)，f(pi)轉(zhuǎn)變?yōu)槭剑?）的非凸非光滑函數(shù)形式，如圖1 所示，導(dǎo)致傳統(tǒng)的數(shù)值優(yōu)化算法不再適用。

圖1 考慮閥點(diǎn)效應(yīng)的機(jī)組煤耗成本與有功出力關(guān)系Fig.1 Relationship between coal consumption cost and active power output of generator considering valve-point effect

式中：αi，k、βi，k、γi，k為第i臺(tái)機(jī)組第k分段二次擬合多項(xiàng)式系數(shù)。

以圖1 所示的發(fā)電機(jī)有功出力曲線為例，二次多項(xiàng)式擬合的誤差曲線如圖2 所示。其中，擬合誤差=|擬合值- 真實(shí)值|/機(jī)組額定出力下的煤耗成本。

圖2 擬合誤差曲線Fig.2 Fitting error curve

由圖2 可知，二次擬合最大誤差為0.25%左右，能夠滿足實(shí)際應(yīng)用需要。

將擬合后的二次多項(xiàng)式（9）代入式（2）可以得到火電機(jī)組煤耗成本為：

將式（14）代入式（8），可以得到此時(shí)拉格朗日子問題的表達(dá)式為：

式（15）為分段函數(shù)形式，其中，對(duì)第k分段來說，其優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為二次函數(shù)，開口方向取決于二次項(xiàng)系數(shù)大小，對(duì)應(yīng)的二次項(xiàng)系數(shù)為：

因此，當(dāng)ai＞4ei f2i/π2時(shí)，最優(yōu)輸出功率為：

當(dāng)ai＜4ei f2i/π2時(shí)，最優(yōu)輸出功率為：

實(shí)際上，對(duì)絕大多數(shù)火電機(jī)組來說，ai取值一般在10-4～10-3之間，而ei的取值一般為102量級(jí)、fi的取值一般為10-2量級(jí)，因此，ai＜4ei f2i/π2總是成立，優(yōu)化過程中一般只需要考慮式（18）一種情況即可。式（18）表明，對(duì)于開口向下的二次函數(shù)，其最小值將在某一邊界處取得。因此，優(yōu)化問題簡(jiǎn)化為只考慮每臺(tái)機(jī)組少數(shù)幾個(gè)閥點(diǎn)即可，此時(shí)需要松弛發(fā)電負(fù)荷平衡約束（v≥0），確保問題能夠收斂。

2.3 基于近端梯度法的改進(jìn)子問題求解策略

拉格朗日松弛法對(duì)原問題進(jìn)行對(duì)偶求解做法的一個(gè)主要缺點(diǎn)是要求原問題具有凸結(jié)構(gòu)，否則對(duì)偶問題的最優(yōu)解與原問題之間不僅存在對(duì)偶間隙，而且導(dǎo)致對(duì)偶問題收斂性較差，容易出現(xiàn)振蕩不收斂情況。

針對(duì)子問題的非連續(xù)可微特性，本文提出一種基于近端梯度法的改進(jìn)子問題求解方法。近端梯度法是一種特殊的梯度下降算法，主要用于求解目標(biāo)函數(shù)不可微的最優(yōu)化問題。如果目標(biāo)函數(shù)在某些點(diǎn)是不可微的，那么該點(diǎn)的梯度無法求解，傳統(tǒng)的梯度下降法也就無法使用。

近端梯度法的核心思想是通過proximal 映射，將不可微函數(shù)轉(zhuǎn)化為易求解的proximal 映射函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)近似求解。假設(shè)約束函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閁，則自變量x的proximal 映射為：

本文在上式基礎(chǔ)上，通過在目標(biāo)函數(shù)中引入懲罰因子?，在不影響原優(yōu)化問題的優(yōu)化結(jié)果的基礎(chǔ)上，加快問題收斂速度。

式中：?為懲罰項(xiàng)系數(shù)；y為輔助變量。為加快收斂速度，在第λ次迭代時(shí)，本文令y取為第λ-1 次迭代時(shí)對(duì)應(yīng)的有功出力。

可以看出，式（20）優(yōu)化問題的最優(yōu)解p*i與式（15）優(yōu)化問題最優(yōu)解相同，且在最優(yōu)解處，有y=p*i。因此，二次懲罰項(xiàng)的加入不影響原優(yōu)化問題的優(yōu)化結(jié)果。

對(duì)于式（20）的優(yōu)化問題，其目標(biāo)函數(shù)的Hessian矩陣為：

當(dāng)?取值過小時(shí)，將導(dǎo)致優(yōu)化問題Hesssian 矩陣條件數(shù)過大，從而導(dǎo)致優(yōu)化問題病態(tài)；而當(dāng)?取值過大時(shí)，優(yōu)化問題凸性不足，將導(dǎo)致優(yōu)化問題難以收斂。因此，合適的懲罰項(xiàng)系數(shù)選取對(duì)于保證優(yōu)化問題的最優(yōu)性及高效性具有重要意義。一般來說，為保證問題的收斂性，一般要求Hessian 矩陣為正定矩陣，即：

由式（22）、式（23）可知，?的取值區(qū)間建議為：

以2.2 節(jié)中發(fā)電負(fù)荷平衡約束松弛后獲得的解作為優(yōu)化初值，用式（20）替換式（15），通過對(duì)每一分段分別求解并比較各分段區(qū)間優(yōu)化解的經(jīng)濟(jì)性即可得到最優(yōu)煤耗及對(duì)應(yīng)的發(fā)電機(jī)組出力。

3 算例分析

3.1 40 機(jī)測(cè)試系統(tǒng)仿真結(jié)果

選取文獻(xiàn)［20］中的40 機(jī)測(cè)試系統(tǒng)作為研究對(duì)象，系統(tǒng)負(fù)荷需求為10 500 MW，懲罰項(xiàng)系數(shù)?取0.01。

不考慮閥點(diǎn)效應(yīng)時(shí)，有功調(diào)度問題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的二次規(guī)劃問題，可以采用傳統(tǒng)的拉格朗日松弛法快速求解，得到最小運(yùn)行成本為118 660.2 美元。

考慮閥點(diǎn)效應(yīng)時(shí)，采用本文方法及與其他方法優(yōu)化結(jié)果比較如表1 所示。

表1 幾種方法優(yōu)化結(jié)果比較（40 機(jī)測(cè)試系統(tǒng)）Table 1 Comparison of optimization results of several methods（40-machine test system）

由表1 可見，當(dāng)考慮閥點(diǎn)效應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)行成本由118 660.2 美元至少增加到121 412.5 美元，升高了2.32%，可見發(fā)電機(jī)閥點(diǎn)效應(yīng)特性對(duì)系統(tǒng)調(diào)度運(yùn)行的經(jīng)濟(jì)性具有明顯影響。

同時(shí)，本文方法計(jì)算結(jié)果為121 459.6 美元，僅比全局最優(yōu)解（121 412.5 美元）高0.03%左右，但計(jì)算時(shí)間僅為1.34 s，計(jì)算效率明顯高于混合整數(shù)規(guī)劃法。同時(shí)，本文方法計(jì)算結(jié)果也明顯優(yōu)于其他6 種計(jì)算方法，且計(jì)算所需時(shí)間最短、效率最高。本文方法的收斂特性曲線如圖3 所示，經(jīng)過200 次左右迭代，本文方法能夠快速逼近最優(yōu)點(diǎn)。

圖3 所提算法收斂特性Fig.3 Convergence characteristic of proposed algorithm

3.2 48 機(jī)測(cè)試系統(tǒng)仿真結(jié)果

以文獻(xiàn)［24］中的48 機(jī)測(cè)試系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)包括26 臺(tái)傳統(tǒng)火力發(fā)電機(jī)組、12 臺(tái)熱電聯(lián)產(chǎn)機(jī)組及10 臺(tái)供熱機(jī)組。系統(tǒng)負(fù)荷需求為4 700 MW，供熱需求為2 500 MWth，懲罰項(xiàng)系數(shù)?取值為0.9。

采用本文方法與其他方法的優(yōu)化結(jié)果比較如表2 所示，每一臺(tái)機(jī)組的優(yōu)化結(jié)果比較如附錄A 表A1所示。

表2 幾種方法優(yōu)化結(jié)果比較（48 機(jī)測(cè)試系統(tǒng)）Table 2 Comparison of optimization results of several methods（48-machine test system）

由表2 可見，受優(yōu)化模型目標(biāo)函數(shù)、約束條件均存在強(qiáng)非凸性的影響，傳統(tǒng)拉格朗日松弛法無法收斂，采用混合整數(shù)規(guī)劃法可以得到最優(yōu)的優(yōu)化結(jié)果，但算法運(yùn)行時(shí)間較長(zhǎng)，為84.82 s，效率較低。本文方法煤耗成本僅為115 806.55 美元，僅高于全局最優(yōu)解0.12%。與其他幾種方法相比，本文方法煤耗成本也最低。同時(shí)，本文方法運(yùn)行時(shí)間僅為6.29 s，遠(yuǎn)小于其他幾種方法，計(jì)算效率高。同時(shí)，對(duì)于現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際應(yīng)用來說，本文方法具有可重復(fù)性，且只需要運(yùn)行一次即可獲得最優(yōu)解，而啟發(fā)式算法需要反復(fù)運(yùn)行多次，且一般不能復(fù)現(xiàn)結(jié)果。

本文方法的收斂特性曲線如附錄B 圖B1和圖B2所示?？梢姡?jīng)過600 次左右迭代，本文方法能夠逐漸逼近最優(yōu)點(diǎn)。根據(jù)式（23）可知，要保證結(jié)果的收斂性，懲罰項(xiàng)系數(shù)?的取值范圍應(yīng)為[0，1.749]。對(duì)不同?取值下的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行分析，如表3 所示。

表3 不同懲罰項(xiàng)系數(shù)時(shí)的優(yōu)化結(jié)果比較Table 3 Comparison of optimization results with different penalty term coefficients

由表3 可見，當(dāng)?在允許區(qū)間范圍內(nèi)取值時(shí)，優(yōu)化結(jié)果及計(jì)算效率差別不大；當(dāng)?取值超出允許區(qū)間時(shí)，優(yōu)化過程不收斂。特別的，當(dāng)?取為∞時(shí)，優(yōu)化模型轉(zhuǎn)變?yōu)閭鹘y(tǒng)的拉格朗日松弛算法，此時(shí)，優(yōu)化過程不收斂。

進(jìn)一步，考慮不同負(fù)荷需求水平及供熱需求水平，本文方法的收斂性如附錄B 圖B3 所示。由圖B3 可見，在不同負(fù)荷需求及供熱需求水平下，本文方法均能夠快速收斂，證明了本文方法的魯棒性。同時(shí)可以看出，負(fù)荷水平變化時(shí)的收斂曲線具有一定的振蕩性，與不同供熱需求水平下的收斂曲線具有較大差異，這是由于考慮常規(guī)機(jī)組閥點(diǎn)效應(yīng)時(shí)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的非凸非光滑特性導(dǎo)致的。

4 結(jié)語

考慮閥點(diǎn)效應(yīng)的有功調(diào)度問題，以往的研究主要集中于啟發(fā)式算法。本文提出一種基于數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的求解策略，通過對(duì)拉格朗日松弛法進(jìn)行改進(jìn)，并結(jié)合近端梯度算法，消除了發(fā)電機(jī)閥點(diǎn)效應(yīng)導(dǎo)致的非凸非光滑特性的影響。同時(shí)，提出一種二次多項(xiàng)式分段擬合及基于近端梯度法的增廣優(yōu)化求解策略。40 機(jī)及48 機(jī)兩個(gè)測(cè)試系統(tǒng)上的優(yōu)化結(jié)果表明：本文方法收斂性好、運(yùn)行效率較高，較為適合在現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際應(yīng)用。

同時(shí)，需要指出的是，考慮閥點(diǎn)效應(yīng)的有功調(diào)度問題為非凸優(yōu)化問題，由于對(duì)偶間隙的存在，拉格朗日松弛法在求解此類問題時(shí)，只能得到局部最優(yōu)解。下一步需要對(duì)此進(jìn)行改進(jìn)，結(jié)合其他數(shù)學(xué)規(guī)劃算法的優(yōu)點(diǎn)，尋求能夠快速獲得全局最優(yōu)解的高效算法。

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