數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

紀(jì)華香

（山東省威海市環(huán)翠區(qū)第十中學(xué) 山東威海 264200）

素質(zhì)教育的出發(fā)點(diǎn)是讓學(xué)生更全面、和諧、持續(xù)的發(fā)展，這要求教師在教學(xué)時(shí)更注重方法和策略。隨著素質(zhì)教育的推行，我國(guó)也逐漸把教育重點(diǎn)從應(yīng)試教育轉(zhuǎn)變成為素質(zhì)教育，在這期間考試的重點(diǎn)也不再考學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)，而是變成了基本能力，合理的利用數(shù)形結(jié)合，也能夠更好地體現(xiàn)這一根本思想。

一、數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵

“數(shù)”和“形”都是數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的兩個(gè)概念，他們既是對(duì)立的又是統(tǒng)一的。數(shù)形結(jié)合可以讓復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題具體化。在教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，人們?cè)絹?lái)越發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合可以培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀(guān)念和數(shù)感，不僅可以培養(yǎng)形象思維，還可以培養(yǎng)抽象思維，這兩種思維的交叉使用和多種思維的相互促進(jìn)可以讓學(xué)生學(xué)得更加清楚。數(shù)形結(jié)合完美地將代數(shù)和幾何的形象直接相互結(jié)合，相互利用，這也是解決數(shù)學(xué)難點(diǎn)的一個(gè)很重要方法。數(shù)形結(jié)合在其他的領(lǐng)域也發(fā)揮著非常突出的作用，數(shù)學(xué)知識(shí)是枯燥抽象的數(shù)形結(jié)合，可以生動(dòng)形象地將數(shù)學(xué)的抽象轉(zhuǎn)變成為形象，讓學(xué)生學(xué)得更清楚，只要掌握好數(shù)形結(jié)合的方法，那么教學(xué)就會(huì)實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛躍，讓學(xué)生學(xué)起來(lái)更省力[1]。

在教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，該怎么樣讓學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合方式來(lái)解決問(wèn)題呢？方法有以下幾點(diǎn)：第一，讓學(xué)生在解不等式及一些關(guān)于代數(shù)模型時(shí)使用數(shù)形結(jié)合。第二，出現(xiàn)關(guān)于方程式和函數(shù)時(shí)，讓學(xué)生用函數(shù)圖像的方式解決。第三，出現(xiàn)與函數(shù)相關(guān)的代數(shù)和幾何問(wèn)題時(shí)。第四，運(yùn)用圖像的形式處理信息的應(yīng)用性問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)里面有著很重要的作用，要想讓數(shù)形結(jié)合發(fā)揮最大的問(wèn)題，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，就必須找出數(shù)與形之間的關(guān)鍵，讓數(shù)和形相輔相成，相互配合合二為一。在數(shù)學(xué)學(xué)科如果能夠利用數(shù)形結(jié)合的話(huà)，那數(shù)學(xué)學(xué)科里面所有的科目都會(huì)變得非常簡(jiǎn)單，這樣一來(lái)也會(huì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，促進(jìn)學(xué)生更加主動(dòng)地學(xué)習(xí)知識(shí)。

二、數(shù)形結(jié)合思想的重要性

（一）讓代數(shù)與幾何問(wèn)題更加形象

幾何本身是立體的，而代數(shù)又是抽象的，如果把兩者結(jié)合起來(lái)?yè)P(yáng)長(zhǎng)避短更能打破局限，促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展。數(shù)和形都是數(shù)學(xué)里面最基本的東西，數(shù)是指數(shù)字，形是指圖像，如果能將這兩者結(jié)合在一起，那就能化抽象為形象揭示很多數(shù)學(xué)的本質(zhì)。[2]直角坐標(biāo)系的建立可以將代數(shù)和幾何圖形連接在一起，為解決很多事情都提供了思路，也有事半功倍的效果，所以數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)就是“以形助數(shù)”。

（二）使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化

數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)就是將抽象的數(shù)字變?yōu)橹庇^(guān)的圖形，讓抽象變得具體起來(lái)，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，想到它的形狀，從而刺激思維找到解決的思路?；蛘咴诳磮D形時(shí)，將它轉(zhuǎn)換為數(shù)的性質(zhì)解決幾何上的難題，實(shí)現(xiàn)抽象和具體的相互轉(zhuǎn)化讓困難變得容易，讓抽象變得更加直觀(guān)。在初中的學(xué)習(xí)階段，數(shù)比較常見(jiàn)的是實(shí)數(shù)、代數(shù)式、函數(shù)和不等式，而形比較常見(jiàn)的是直角形、三角形、四邊形、多邊形、勾股定理等。函數(shù)的使用是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容。在函數(shù)與平面圖形的對(duì)應(yīng)，建立一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中k、b的值與圖像的相互對(duì)應(yīng)關(guān)系，即k＞0、b＞0或k＞0、b0或k0的解集是x＞-3。

三、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）在代數(shù)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程里面，代數(shù)的部分是比較枯燥無(wú)味的，如果能用數(shù)形結(jié)合的方式會(huì)加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的記憶，數(shù)形結(jié)合重視滲透和揭示基本數(shù)學(xué)思想的方法，加強(qiáng)數(shù)學(xué)和圖形之間的聯(lián)系。代數(shù)方法的一般性解題過(guò)程機(jī)械化，可操作性強(qiáng)，便于掌握，因此數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)中的重要方法，運(yùn)用好數(shù)形結(jié)合，能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，也有利于推廣數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用。在數(shù)與代數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該抓住數(shù)和數(shù)軸上相對(duì)應(yīng)點(diǎn)的關(guān)系，有序?qū)崝?shù)和平面坐標(biāo)點(diǎn)上相對(duì)應(yīng)的關(guān)系，從數(shù)形結(jié)合的角度去想，借助數(shù)軸處理好數(shù)和代數(shù)之間的關(guān)系以及分類(lèi)。教師要將這些知識(shí)有系統(tǒng)地進(jìn)行區(qū)分，采用符合新課標(biāo)理念的教法，在把課堂素材準(zhǔn)備充分的情況下，讓學(xué)生們親自實(shí)驗(yàn)探索體驗(yàn)解決問(wèn)題的樂(lè)趣，養(yǎng)成學(xué)生們主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)慣，從而激發(fā)他們學(xué)習(xí)的動(dòng)力[3]。

例如，在學(xué)習(xí)《一元二次方程的解》時(shí)，ax2+bx+c=0（a≠0）。先將常數(shù)c移到方程右邊：ax2+bx=-c，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1：x2+b/ax=-c/a，方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，方程左邊成為一個(gè)完全平方式。這是一元二次方程求解的基本過(guò)程，過(guò)程較為繁瑣，且容易出現(xiàn)失誤。如果利用數(shù)形結(jié)合的方式會(huì)更為直觀(guān)。教師可以先讓學(xué)生自己好好思考，讓學(xué)生們認(rèn)真思考、分類(lèi)、對(duì)比、提出疑問(wèn)，然后用數(shù)形結(jié)合的方式幫助同學(xué)們解答疑惑，讓學(xué)生們?cè)谟^(guān)察過(guò)程當(dāng)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，讓學(xué)生們知道兩個(gè)代數(shù)之間還可能有幾何的背景，感受到數(shù)學(xué)的魅力。在數(shù)與代數(shù)的教學(xué)當(dāng)中，教師應(yīng)該更加注重引入數(shù)形結(jié)合的方式，讓學(xué)生們看到數(shù)字就想到圖形，再由圖形轉(zhuǎn)換為數(shù)字的思路，這樣可以讓學(xué)生對(duì)數(shù)和代數(shù)理解得更深刻。可以做到有問(wèn)題時(shí)，由數(shù)轉(zhuǎn)換為形，或者從形轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)，這種數(shù)形相結(jié)合的方式可以讓同學(xué)們積極動(dòng)腦。

（二）在幾何圖形中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合

新課本當(dāng)中對(duì)幾何內(nèi)容作出了很大的調(diào)整，減少了以演繹推理為主的定理證明，降低了論證過(guò)程當(dāng)中的證明難度。教師應(yīng)該調(diào)整自身掌握好數(shù)學(xué)方法，在整個(gè)教學(xué)過(guò)程當(dāng)中起到重要地位。對(duì)于數(shù)形結(jié)合，教師也要善于利用身邊的素材，從數(shù)字到形態(tài)，揭示其中的本質(zhì)。

例如，在學(xué)習(xí)《等腰三角形的軸對(duì)稱(chēng)性》的有關(guān)定理時(shí)，教師可以讓學(xué)生自己畫(huà)一個(gè)等腰三角形ABC中畫(huà)出角A的角平分線(xiàn)AD，將三角形ABC剪下，沿著AD對(duì)折，這樣學(xué)生就可以清晰地認(rèn)識(shí)到兩邊重合，讓學(xué)生體會(huì)兩個(gè)三角形全等的性質(zhì)，從而真正做到靈活運(yùn)用。

（三）在有理數(shù)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合

有理數(shù)也是初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容，我們只要知道任意一個(gè)有理數(shù)，都可以在數(shù)軸上將它表示出來(lái)，所以我們?cè)诮虒W(xué)有理數(shù)時(shí)可以利用數(shù)軸和數(shù)字進(jìn)行轉(zhuǎn)換，利用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問(wèn)題，通過(guò)數(shù)軸顯示，快速進(jìn)行大小的比較，更能直觀(guān)地讓學(xué)生們觀(guān)察到有理數(shù)的絕對(duì)值和相反值等概念[4]。假設(shè)c大于0，d小于0，并且 d的絕對(duì)值小于c的絕對(duì)值，請(qǐng)比較c、-c、d、-d的大小，這種比較大小的題目，僅憑推測(cè)是很難得得到結(jié)果的，如果我們?cè)谧鲞@道題的時(shí)候?qū)崿F(xiàn)數(shù)形相結(jié)合，在數(shù)軸上將這些數(shù)標(biāo)注出來(lái)，凡是在數(shù)軸右邊的數(shù)都大于左邊的數(shù)，然后再逐一進(jìn)行對(duì)比，答案就出來(lái)了。在學(xué)習(xí)和生活當(dāng)中，我們可以經(jīng)常利用數(shù)形結(jié)合的方法解決有理數(shù)的加減以及應(yīng)用題等問(wèn)題。

比如有一個(gè)小女孩，她先是沿著數(shù)軸的方向開(kāi)始往前走，一開(kāi)始她的位置正好是數(shù)軸中心0的位置，緊接著他向右邊走了5米，又向左邊走了7米，請(qǐng)問(wèn)現(xiàn)在這個(gè)小女孩現(xiàn)在在什么位置？這道題通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式能夠快速地得出答案，所以只要我們合理的利用數(shù)形結(jié)合，就能讓復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。

（四）在應(yīng)用題中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合

應(yīng)用題不光能夠驗(yàn)證學(xué)生對(duì)于基本知識(shí)了解的多少，更是讓學(xué)生學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用解決問(wèn)題的重要部分。從考試的方向來(lái)看，應(yīng)用題所占的分?jǐn)?shù)是比較重的，所以怎樣學(xué)好應(yīng)用題也是初中教學(xué)一直以來(lái)的重點(diǎn)。我們?cè)谧鰬?yīng)用題時(shí)，一般都會(huì)采用數(shù)形結(jié)合的方式?；貞浿拔覀儗W(xué)習(xí)的過(guò)程當(dāng)中很容易發(fā)現(xiàn)，其實(shí)我們?cè)趯W(xué)習(xí)關(guān)于走路問(wèn)題的時(shí)候，通常會(huì)在紙上不自覺(jué)地畫(huà)出相應(yīng)的圖形來(lái)幫助我們得到答案，其實(shí)這就是最初數(shù)形結(jié)合的原型。當(dāng)學(xué)生們開(kāi)始進(jìn)入初中學(xué)習(xí)應(yīng)用題之后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)初中的應(yīng)用題其實(shí)跟小學(xué)的應(yīng)用題還是不一樣的，已經(jīng)變得復(fù)雜了，所以在初中好好利用數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)解決應(yīng)用題，已經(jīng)是一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)了。

例如，甲、乙兩人相距300千米，現(xiàn)在甲乙兩人開(kāi)車(chē)同時(shí)出發(fā)，如果他們現(xiàn)在都是用一樣的速度前進(jìn)，那么甲一小時(shí)行駛了60公里，乙一小時(shí)行駛了70公里，那他們需要多長(zhǎng)時(shí)間才能相遇？這樣的題目只要將路線(xiàn)畫(huà)出來(lái)，題目就非常容易了。在數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，一定要注意數(shù)形結(jié)合的方式，在很多題目上，這種方式真的很有必要，有些時(shí)候我們可以給數(shù)字賦予一些新的含義，也可以給圖形賦予一些新的含義，這樣可以讓數(shù)字輔助于形狀，形狀又輔助數(shù)字，有效地解決學(xué)習(xí)上的困難。

三、結(jié)束語(yǔ)

由此可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合在教學(xué)當(dāng)中還是有著非常重要的意義，它可以將抽象的文字變得具體化，利用圖形結(jié)合的方式，也能夠幫助同學(xué)發(fā)散思維，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣，同學(xué)們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的訓(xùn)練，也可以在實(shí)際解題的過(guò)程當(dāng)中主動(dòng)去利用數(shù)形結(jié)合的方法，那在教學(xué)方面肯定也會(huì)引起質(zhì)的提高，提升教學(xué)質(zhì)量的同時(shí)，也提高了學(xué)生自我的滿(mǎn)足感。這對(duì)于教學(xué)來(lái)說(shuō)也是非常重要的一點(diǎn)，教師也可以利用這種思想完成教學(xué)計(jì)劃，在實(shí)行數(shù)形結(jié)合的過(guò)程當(dāng)中，教師一定要充分充當(dāng)引導(dǎo)者的角色，讓同學(xué)們更好地利用數(shù)形結(jié)合打開(kāi)他們學(xué)習(xí)的新方法。