抽象、建構(gòu)與生長(zhǎng)*
——小學(xué)生數(shù)學(xué)眼光系統(tǒng)培養(yǎng)的實(shí)踐與思考

□張紅波

“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”，能夠體現(xiàn)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)看、用數(shù)學(xué)想、用數(shù)學(xué)表達(dá)是數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)。筆者以數(shù)學(xué)眼光為切入口，探討在新時(shí)代背景下，學(xué)生數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)的提升之法。

一、數(shù)學(xué)眼光是有價(jià)值的

（一）時(shí)代環(huán)境的使然

知識(shí)雖然會(huì)隨著時(shí)代的發(fā)展而不斷地更新迭代，但基于知識(shí)學(xué)習(xí)而獲得的能力素養(yǎng)卻可伴隨人的一生。近幾年，中國(guó)基礎(chǔ)教育已逐步邁入“核心素養(yǎng)時(shí)代”。數(shù)學(xué)教學(xué)歷來關(guān)注學(xué)習(xí)的實(shí)踐與應(yīng)用，數(shù)學(xué)日記、實(shí)踐調(diào)查、項(xiàng)目研究等都以能力素養(yǎng)培養(yǎng)為重心。隨著時(shí)代的發(fā)展，知識(shí)可以隨時(shí)“查閱”“調(diào)用”，知識(shí)掌握得多少不再是影響人發(fā)展的最重要的目標(biāo)。對(duì)未來公民來說，以知識(shí)為基礎(chǔ)，以能力為依托，逐步構(gòu)建起來的素養(yǎng)體系變得越來越重要。在數(shù)字化時(shí)代，能用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，能從現(xiàn)實(shí)世界中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，是時(shí)代發(fā)展的大勢(shì)所趨。

（二）教育教學(xué)的確然

經(jīng)過多年的課改實(shí)踐，小學(xué)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的核心目標(biāo)逐步走向清晰聚焦。教師要善于引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察具體情境中的現(xiàn)象，用數(shù)學(xué)的語言對(duì)問題進(jìn)行抽象，提出問題進(jìn)行表征，并逐步啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維方式分析問題，用數(shù)學(xué)的方法解決問題。這正日益成為數(shù)學(xué)教學(xué)改革的關(guān)鍵路徑。

以“應(yīng)用題”教學(xué)為例，從原有的側(cè)重于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的十一類應(yīng)用題專題教學(xué)，到滲透至所有領(lǐng)域的問題解決，“應(yīng)用題”教學(xué)不再聚焦于某項(xiàng)單一能力的培養(yǎng)，而更側(cè)重于發(fā)展學(xué)生基于現(xiàn)實(shí)背景和真實(shí)問題解決的綜合能力，更致力于讓學(xué)生經(jīng)歷從用數(shù)學(xué)眼光提出問題到用數(shù)學(xué)方法解決問題的全過程。

（三）學(xué)生發(fā)展的必然

培育數(shù)學(xué)眼光是提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)眼光指向的是讓學(xué)生獲得一種本領(lǐng)和素養(yǎng)，以不變應(yīng)萬變，其本質(zhì)是學(xué)生在現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力。

數(shù)學(xué)眼光就是“應(yīng)用已知概念或已證為真的命題解決新問題，獲得新概念或者新原理，亦即揭示與建立新舊數(shù)學(xué)對(duì)象之間聯(lián)系的眼光”。當(dāng)下學(xué)生學(xué)習(xí)中所倡導(dǎo)的深度學(xué)習(xí)，就是通過學(xué)習(xí)過程中情境、問題、素材、方式、評(píng)價(jià)的革新升級(jí)，幫助他們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中學(xué)會(huì)以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)進(jìn)行思考。

因此，數(shù)學(xué)眼光是有價(jià)值的，教師要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。

二、數(shù)學(xué)眼光是可以培養(yǎng)的

（一）借助經(jīng)驗(yàn)的抽象，萌芽數(shù)學(xué)眼光

教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體情境中抽象出知識(shí)本質(zhì)并將其符號(hào)化的過程，學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光會(huì)在這一過程中萌芽、生長(zhǎng)。

【案例1】從現(xiàn)象到符號(hào)，逐步抽象

“比大小”是學(xué)生初次認(rèn)識(shí)表示大小關(guān)系符號(hào)的教學(xué)內(nèi)容，人教版教材將其安排在一年級(jí)上冊(cè)第三單元“1～5的認(rèn)識(shí)和加減法”中。

教材中的情境圖（第17頁）首先呈現(xiàn)散亂排布著的小猴和水果，然后呈現(xiàn)“猴”與“物”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。教學(xué)時(shí)教師一般會(huì)先讓學(xué)生借助直觀感知圖中有什么，然后引導(dǎo)學(xué)生按水果種類進(jìn)行分類，統(tǒng)計(jì)出數(shù)量，再通過一一對(duì)應(yīng)的方法建立“猴”與“物”之間的關(guān)系，最后通過觀察和比較發(fā)現(xiàn)這些數(shù)量之間的多少關(guān)系。在后續(xù)的教學(xué)中，通過數(shù)學(xué)符號(hào)“＞”“＜”“＝”的學(xué)習(xí)，學(xué)生看“符號(hào)”即知“多少”，體驗(yàn)到用符號(hào)表達(dá)多少關(guān)系的簡(jiǎn)潔與便利，由此提升用一般化的符號(hào)表達(dá)具體情境與問題的能力。

如上過程中，學(xué)生觀察事物的眼光從隨意無序到聚焦且有條理，再到能用符號(hào)表達(dá)多少關(guān)系。學(xué)生在這個(gè)過程中逐步體會(huì)如何“用數(shù)學(xué)的眼光”看問題。

其實(shí)，小學(xué)數(shù)學(xué)中的許多概念都是先從生活中、活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，再通過剝離其具體背景，用符號(hào)化的形式逐步建構(gòu)起來的。

比如人教版教材二年級(jí)上冊(cè)“角的初步認(rèn)識(shí)”的教學(xué)。教師出示教材第39頁例1中的圖，學(xué)生從熟悉的、簡(jiǎn)單明了的、容易突出角的本質(zhì)特征的物品或圖形入手，知道角是由一個(gè)頂點(diǎn)和兩條邊組成的。后續(xù)學(xué)生通過找角、折角、比角等一系列操作活動(dòng)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)角，深化對(duì)角概念的認(rèn)識(shí)。最終學(xué)生在生活中的“角”和數(shù)學(xué)中的“∠”之間建立了關(guān)系并進(jìn)行了聯(lián)結(jié)。

通過這樣先抽象再符號(hào)化的過程，學(xué)生就能從原生經(jīng)驗(yàn)中萌發(fā)出審視知識(shí)本質(zhì)的數(shù)學(xué)眼光。

【案例2】從變化到規(guī)律，定向抽象

“商不變性質(zhì)”是小學(xué)數(shù)學(xué)中的重要概念，人教版教材將其安排在四年級(jí)上冊(cè)“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元進(jìn)行教學(xué)。這一內(nèi)容也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)眼光的極佳素材。

教材由兩組算式引入（第87頁）。教學(xué)時(shí)，教師一般先引導(dǎo)學(xué)生觀察除數(shù)不變，商是如何隨被除數(shù)的變化而變化的，接著觀察如果被除數(shù)不變，商是如何隨除數(shù)的變化而變化的，最后引導(dǎo)學(xué)生從上往下和從下往上觀察整組算式，發(fā)現(xiàn)商不變的規(guī)律。

在這一學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生首先會(huì)經(jīng)歷從紛亂的變化中發(fā)現(xiàn)影響“變”與“不變”因素的過程，其次會(huì)體驗(yàn)到鎖定某一個(gè)不變因素，再去觀察變化因素，就能很快地發(fā)現(xiàn)兩者之間的關(guān)系，從而使得觀察事物和現(xiàn)象的眼光更具選擇性和辨析力。同樣的方法在探究“小數(shù)的性質(zhì)”“分?jǐn)?shù)的性質(zhì)”“比的性質(zhì)”“等式的性質(zhì)”的過程中，也有非常廣泛的應(yīng)用。

在數(shù)學(xué)概念和原理的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分類、聚焦、辨析、發(fā)現(xiàn)等數(shù)學(xué)活動(dòng)，能有效地幫助他們厘清現(xiàn)象與本質(zhì)的聯(lián)系，辨析新舊對(duì)象的關(guān)系與差異，建構(gòu)起逐層遞進(jìn)的知識(shí)體系。在這一過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光得以萌芽和生長(zhǎng)，更具理性和客觀性。

（二）依托知識(shí)的建構(gòu)，錘煉數(shù)學(xué)眼光

蘇聯(lián)著名教育家斯托利亞爾在《數(shù)學(xué)教育學(xué)》中提出“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”，可以通過經(jīng)驗(yàn)材料的數(shù)學(xué)組織化、數(shù)學(xué)材料的邏輯組織化和數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用，在活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的能力素養(yǎng)。學(xué)生在活動(dòng)中所經(jīng)歷的從表征到結(jié)構(gòu)、從過程到方法的真實(shí)體驗(yàn)，能有效地幫助學(xué)生基于運(yùn)動(dòng)、聯(lián)系、變化的觀點(diǎn)，研究現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式，錘煉與發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光。

【案例3】從表征到結(jié)構(gòu)，循序建構(gòu)

“倍”是小學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的基礎(chǔ)性概念，它表示數(shù)量之間的一種關(guān)系，涉及兩個(gè)量之間的比較。倍的概念較為抽象，在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著承前啟后的重要作用。學(xué)生認(rèn)識(shí)“倍”，要經(jīng)歷兩個(gè)階段，這兩個(gè)階段都是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)眼光的契機(jī)。

第一階段是概念建立的初始階段。在這個(gè)階段的教學(xué)中，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)實(shí)物的分類計(jì)數(shù)、圈圖比較等方式，把抽象的“倍”與學(xué)生已經(jīng)掌握的“幾個(gè)幾”進(jìn)行溝通。隨后安排多次兩個(gè)量倍數(shù)關(guān)系的練習(xí)加以鞏固，幫助學(xué)生建立倍的直觀模型，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看“形”識(shí)“意”。

第二階段是后續(xù)的問題解決階段。這時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生借助線段圖表達(dá)倍概念的本質(zhì)特征，理解確定標(biāo)準(zhǔn)的“1倍量”的重要性，掌握分析1倍與多倍之間關(guān)系的方法和策略，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看“結(jié)構(gòu)”、悟“方法”。

數(shù)學(xué)眼光的培養(yǎng)強(qiáng)調(diào)關(guān)聯(lián)，而結(jié)構(gòu)化的知識(shí)模型的建構(gòu)能有效幫助學(xué)生聚焦知識(shí)本質(zhì)，形成對(duì)知識(shí)的深度理解。

【案例4】從表象到要素，精準(zhǔn)建構(gòu)

以“圖形的旋轉(zhuǎn)”的教學(xué)為例，在教學(xué)旋轉(zhuǎn)三要素前，學(xué)生對(duì)于旋轉(zhuǎn)雖然已經(jīng)有了感性的認(rèn)識(shí)，但他們的認(rèn)識(shí)僅停留在“觀察運(yùn)動(dòng)后‘形’是如何變化的”這一層面上。如何引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察和發(fā)現(xiàn)“形變”的本質(zhì)呢？可以在課堂實(shí)踐中安排這樣的對(duì)比。

出示線段AB分別繞點(diǎn)A、B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的過程（如圖1）。學(xué)生很自然地按旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向描述旋轉(zhuǎn)過程，但觀察后會(huì)隨之提出疑問，用語言描述兩次旋轉(zhuǎn)過程似乎是完全一樣的，但兩次旋轉(zhuǎn)真的完全一樣嗎？通過對(duì)比，學(xué)生領(lǐng)悟到旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度是旋轉(zhuǎn)的三要素。

圖1

基于對(duì)比活動(dòng)，突出旋轉(zhuǎn)三要素在運(yùn)動(dòng)變化中對(duì)圖形所產(chǎn)生的影響，有助于學(xué)生從核心要素的視角去觀察和發(fā)現(xiàn)問題，辨析關(guān)系，領(lǐng)悟本質(zhì)。

由此可見，錘煉數(shù)學(xué)眼光的過程需要關(guān)注知識(shí)結(jié)構(gòu)，更需要聚焦知識(shí)的核心要素。通過從表征到結(jié)構(gòu)、從表象到要素的持續(xù)跟進(jìn)，學(xué)生就能更自如地在生活的現(xiàn)實(shí)世界與抽象的數(shù)學(xué)問題之間進(jìn)行切換，借助知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，完成數(shù)學(xué)抽象和直觀想象，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)與體系，在現(xiàn)實(shí)問題中“看到”數(shù)學(xué)內(nèi)涵，從數(shù)學(xué)內(nèi)涵“想到”現(xiàn)實(shí)案例，為數(shù)學(xué)眼光的發(fā)展注入源源不斷的知識(shí)活水。

（三）回歸思想的生長(zhǎng)，發(fā)展數(shù)學(xué)眼光

數(shù)學(xué)活動(dòng)中研究的對(duì)象、需要解決的問題，往往與學(xué)生已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相關(guān)。學(xué)生要建構(gòu)新概念、掌握新方法，必須厘清知識(shí)之間的區(qū)別與聯(lián)系，拓展知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)、聯(lián)系、發(fā)展的眼光看問題，建立數(shù)學(xué)整體觀。

【案例5】從散點(diǎn)到系統(tǒng)，凸顯內(nèi)涵

“面積”是小學(xué)數(shù)學(xué)中的重要概念。在不同圖形面積的教學(xué)中，圍繞著求不同圖形面積的問題，教師要教學(xué)測(cè)量、剪拼等方法，同時(shí)也要在教學(xué)中滲透轉(zhuǎn)化、推理、建模等思想。

圖形的面積教學(xué)在各年級(jí)教材中的安排線索如圖2所示。

圖2

不難發(fā)現(xiàn)，面積教學(xué)體系中，在知識(shí)內(nèi)容、推導(dǎo)方法以及所滲透的數(shù)學(xué)思想等方面，不同圖形之間既有不同之處，又有內(nèi)在聯(lián)系，需要教師統(tǒng)籌全局、整體把握。

具體來說，長(zhǎng)方形、正方形面積公式的推導(dǎo)始于測(cè)量，重點(diǎn)解決圖形中包含有幾個(gè)面積單位的問題。平行四邊形面積公式的推導(dǎo)，借助剪拼等方法，解決“不完整的單位面積如何通過拼組轉(zhuǎn)化為完整的單位面積再進(jìn)行計(jì)算”的問題，從測(cè)量到剪拼方法的運(yùn)用，既是方法的一次拓展，也是提升解決問題能力的抓手。三角形和梯形面積公式的推導(dǎo)主要利用其與等底等高平行四邊形面積之間的關(guān)系，進(jìn)行推理和計(jì)算，發(fā)展學(xué)生在運(yùn)動(dòng)和變化中發(fā)現(xiàn)知識(shí)本質(zhì)的能力和素養(yǎng)。圓面積公式的推導(dǎo)過程綜合運(yùn)用了之前學(xué)習(xí)的圖形面積計(jì)算方法，進(jìn)行等積轉(zhuǎn)化，不僅需要觀察、對(duì)比、分析，還需要想象。

由圖形面積的教學(xué)可見，隨著圖形復(fù)雜性的不斷增加，學(xué)生在圖形面積的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)眼光等方面逐步提升，要求教師總體把握，有序建構(gòu)。在這一過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光得以錘煉和發(fā)展，更具發(fā)展性和系統(tǒng)性。

【案例6】從方法到思想，感悟精髓

“雞兔同籠”是小學(xué)數(shù)學(xué)中的經(jīng)典內(nèi)容，不同的教師會(huì)有不同的教學(xué)路徑和方法。解決這一問題常見的方法有假設(shè)法、列表法、圖示法、面積轉(zhuǎn)化法等等。雖然用于問題解決的方法形式多樣，學(xué)生在運(yùn)用不同方法的學(xué)習(xí)過程中，能體驗(yàn)到假設(shè)—調(diào)整策略的應(yīng)用奧秘，能巧妙地將表格、圖示、面積運(yùn)用于“以形解數(shù)”的策略和技巧，但這一教學(xué)內(nèi)容最核心的價(jià)值是讓學(xué)生領(lǐng)悟到，當(dāng)變量復(fù)雜無法直接解決時(shí)，如何通過控制變量尋找解決問題的路徑和方法。在解決問題的過程中，有了多種方法的碰撞，多樣數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟，學(xué)生才能逐步發(fā)展系統(tǒng)性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)性強(qiáng)、關(guān)聯(lián)性強(qiáng)的數(shù)學(xué)眼光，進(jìn)而提升自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，逐步形成適應(yīng)社會(huì)發(fā)展所需要的必備品格和關(guān)鍵能力。