“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式”教學(xué)過程的優(yōu)化策略

陳新曦

【摘要】數(shù)學(xué)是一門注重邏輯推理的學(xué)科，學(xué)好數(shù)學(xué)有利于開拓學(xué)生的思維，提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)。三角函數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，學(xué)生在初中階段會(huì)學(xué)習(xí)簡單的三角函數(shù)，但三角函數(shù)中基本關(guān)系式的變換是其主要內(nèi)容，學(xué)習(xí)這方面的內(nèi)容能夠在原有認(rèn)知上繼續(xù)延伸，加深學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的理解，本文就“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式”進(jìn)行教學(xué)優(yōu)化，并提出一些具體的策略。

【關(guān)鍵詞】同角三角函數(shù);基本關(guān)系式;教學(xué)優(yōu)化

三角函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)工具，在物理學(xué)、化學(xué)等自然科學(xué)中都有較為廣泛的應(yīng)用。學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過一部分三角函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，但沒有進(jìn)行深入探究，本文旨在促進(jìn)學(xué)生在初中學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，繼續(xù)拓展，進(jìn)行更加深入的研究，對(duì)三角函數(shù)及其基本關(guān)系式的變換等進(jìn)行學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思想，能夠讓其用數(shù)學(xué)思維去解決問題，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性，讓其意識(shí)到自己作為學(xué)習(xí)主體的意義，從而積極與教師配合，完成教學(xué)任務(wù)，并提升自己的數(shù)學(xué)成績，為以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

一、教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生理解基本概念

三角函數(shù)是數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著重要的地位，和許多其它數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)都緊密相聯(lián)系。三角函數(shù)的概念比較難理解，教師在教學(xué)時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)出現(xiàn)困難的原因并不是學(xué)生解題能力不高，而是不能很好地理解三角函數(shù)的概念。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)中會(huì)比較吃力，長期以往會(huì)對(duì)未來的學(xué)習(xí)產(chǎn)生重大影響。

教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)該加深學(xué)生對(duì)三角函數(shù)概念的理解，理解概念是理解知識(shí)的本源，不但知其然，還要知其所以然，概念形象地闡述知識(shí)的來龍去脈，是理解數(shù)學(xué)知識(shí)的“鑰匙”。因此，教師在開展教學(xué)時(shí)，應(yīng)以改善學(xué)生的思維方式為出發(fā)點(diǎn)，讓學(xué)生適應(yīng)三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，積極引導(dǎo)他們運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方式來理解概念，如數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、演繹證明等。三角函數(shù)知識(shí)以坐標(biāo)軸為主要工具，主要依靠圖形來實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)將主要的精力和時(shí)間用在定義的概括和理解上，教師也應(yīng)積極引導(dǎo)，注意培養(yǎng)學(xué)生的思維發(fā)散能力，還要幫助其建立清晰的思維脈絡(luò)，使學(xué)生能夠舉一反三，提升學(xué)習(xí)的效率。在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的定義時(shí)，在單位為1的圓內(nèi)學(xué)習(xí)，設(shè)單位圓內(nèi)任意一點(diǎn)為p（x，y）在角為a的邊上，設(shè)op=r，則sina=y/r，cosa=x/r，tana=y/x，可以得出 ，sin2a+cos2a=1，tana=sina/cosa.

通過這個(gè)推導(dǎo)過程能夠加深學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的理解，然后再帶入一些具體的數(shù)值，對(duì)定義進(jìn)行理解，能夠加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，在這種環(huán)境下，教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生探究相應(yīng)的方法，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行拆分，提升解題效率。

二、教師在教學(xué)期間應(yīng)將三角函數(shù)整合在教學(xué)中

我國社會(huì)主義已經(jīng)進(jìn)入了新時(shí)代，素質(zhì)教育成為當(dāng)下教育的主題，數(shù)學(xué)學(xué)科是一門縝密的學(xué)科，能夠促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。在新課標(biāo)的理念下，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是單一的科目教學(xué)，而應(yīng)當(dāng)運(yùn)用一種整體性與協(xié)同性并存的教學(xué)模式，由于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)缺乏足夠的興趣，很多學(xué)生的基礎(chǔ)并不牢固，因此，教師應(yīng)當(dāng)運(yùn)用循序漸進(jìn)的方法來促進(jìn)教學(xué)，幫助學(xué)生理解遇見的每一種三角函數(shù)公式，并將其合理運(yùn)用到解題思路中去，拓寬學(xué)生的思維，使其學(xué)會(huì)運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想分析解決問題。

（一）加強(qiáng)課堂訓(xùn)練，扎牢知識(shí)根基

三角函數(shù)基本關(guān)系式是主要的基礎(chǔ)內(nèi)容，基本關(guān)系式的變換反映了三角函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)，不但能夠鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而且能夠解決多種實(shí)際問題。要讓學(xué)生記憶一些常見的三角函數(shù)值的大小，如sin30O=1/2，cos30O=/2，sin45°=/2，cos45=/2等，這些常見的三角函數(shù)值對(duì)未來的解題有很大的幫助，也是學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)知識(shí)之一。

在學(xué)習(xí)基本關(guān)系式時(shí)，教師要幫助學(xué)生使用不同的方法來掌握，僅僅靠死記硬背是行不通的，應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)靈活使用，明白每一個(gè)變換式的推導(dǎo)過程，要想實(shí)現(xiàn)這一教學(xué)目標(biāo)，教師應(yīng)當(dāng)在課堂上和學(xué)生一起分析不同三角函數(shù)表達(dá)式的性質(zhì)和特征，可以運(yùn)用多種口訣幫助學(xué)生理解，如，“奇變偶不變，符號(hào)看象限”。此外還應(yīng)讓學(xué)生理解哪些誘導(dǎo)公式只需改變?nèi)呛瘮?shù)名稱，哪些誘導(dǎo)公式不但要改變名稱，還要改變符號(hào)的正負(fù)。通過一系列的學(xué)習(xí)后，教師應(yīng)準(zhǔn)備相關(guān)的練習(xí)題，讓學(xué)生自己嘗試去做，加深印象，提升效率。如，在推導(dǎo)公式sina2+cosa2=1時(shí)，應(yīng)當(dāng)運(yùn)用常規(guī)的方法來進(jìn)行推導(dǎo)，使學(xué)生充分理解每一個(gè)步驟的由來，從而在腦海里建立一個(gè)全面的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖。

教師應(yīng)當(dāng)選擇立體化的教學(xué)方式來提升教學(xué)質(zhì)量。三角函數(shù)基本關(guān)系式雖然復(fù)雜，但只要使用正確的學(xué)習(xí)方法，也能夠迅速掌握。如，運(yùn)用“雨課堂”的形式來設(shè)置練習(xí)，用以檢測學(xué)生對(duì)公式的掌握程度，便于教師檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，并根據(jù)學(xué)習(xí)情況調(diào)整教學(xué)進(jìn)度和教學(xué)方式，更好地突破教學(xué)重難點(diǎn)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量。如以下例題：已知α為第一象限的角，能夠推出哪些基本表達(dá)式？要想解決這一問題，首先應(yīng)了解第一象限角的特點(diǎn)，在第一象限內(nèi)，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)均為正值，可以得出：cosa=-sin2同理可得正弦函數(shù)也為正值，在第二象限內(nèi)正弦函數(shù)為正值，余弦函數(shù)為負(fù)值，只需變換符號(hào)即可。

由以上例題可以看出，高中三角函數(shù)的學(xué)習(xí)本身就是一個(gè)提升學(xué)生思維能力和學(xué)習(xí)水平的一個(gè)過程，學(xué)生只有具備較強(qiáng)的學(xué)習(xí)思維，才能快速解決數(shù)學(xué)問題。因此，教師在上課時(shí)應(yīng)當(dāng)注重提升學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，讓學(xué)生從被動(dòng)者變?yōu)橹鲃?dòng)者，教師從開拓者變?yōu)橐龑?dǎo)者，教師應(yīng)將自主探究的學(xué)習(xí)時(shí)間交給學(xué)生，讓學(xué)生根據(jù)自身的學(xué)習(xí)特點(diǎn)選擇最適合自己的學(xué)習(xí)方法。在這一過程中，教師應(yīng)當(dāng)監(jiān)督學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，避免他們出現(xiàn)不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣，影響學(xué)習(xí)效果。

（二）注重因材施教，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力

不同的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不同，有的學(xué)生數(shù)學(xué)功底較強(qiáng)，很快就能掌握三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，有的學(xué)生基礎(chǔ)比較薄弱，在學(xué)習(xí)時(shí)會(huì)比較吃力。因此，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，注重因材施教。在一個(gè)班級(jí)內(nèi)部大約有幾十名學(xué)生，教師應(yīng)根據(jù)效益最大化原則，用一種普遍能夠接受的教學(xué)方式，既能照顧基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，也不影響基礎(chǔ)較好的學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)。如，可以選用“簡便性結(jié)論”來加深學(xué)生對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)與記憶，簡便性結(jié)論通常通俗易懂，對(duì)于那些基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生是一條捷徑，他們可以通過這些“簡便結(jié)論”記憶三角函數(shù)關(guān)系式，加深學(xué)習(xí)印象，在解題時(shí)如魚得水，即使最初他們不懂得這些公式的來源推導(dǎo)過程，但隨著解題能力的提升，遇見習(xí)題的種類越來越多，他們會(huì)逐漸悉曉三角函數(shù)關(guān)系式的變換與應(yīng)用，所謂萬變不離其宗，就是這個(gè)道理。

除了因材施教外，教師也應(yīng)當(dāng)多培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，提升他們的理性思維，培養(yǎng)他們的做題感覺，使其形成一個(gè)完善的解題思路。市場上有很多的練習(xí)冊(cè)，但很少存在提升學(xué)生思維能力的習(xí)題冊(cè)。因此，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)這一點(diǎn)，多搜集這種類型的習(xí)題，讓學(xué)生在課堂上鞏固練習(xí)，或在課下拔高練習(xí)，不斷提升學(xué)生的創(chuàng)新思維，加快學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基本關(guān)系式的掌握。

（三）注重復(fù)習(xí)總結(jié)和查漏補(bǔ)缺

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是一個(gè)拔高的過程，在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，只有不斷地回頭反思總結(jié)，才能起到良好的教學(xué)效果。同角三角函數(shù)關(guān)系式注重應(yīng)用，因此教師應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)備足夠多的習(xí)題來鞏固提升，并在提升中注意復(fù)習(xí)總結(jié)和查漏補(bǔ)缺，形成一套高效的學(xué)習(xí)機(jī)制。在三角函數(shù)恒等變換中，雖然公式較多，但只要把握住解題的關(guān)鍵，就能夠出奇制勝，呈現(xiàn)出不一樣的效果。例如，已知sina=4/5，已知a為第二象限角，求cosa和tana的值，在這一例題中，根據(jù)三角恒等變換，得出cosa=-3/5，tana=-3/4，根據(jù)相關(guān)公式，一步步來解答，最終得出最后的答案。

在這上述例子中，學(xué)生最容易出錯(cuò)的地方就是象限和符號(hào)的問題，有的學(xué)生只關(guān)注恒等變換，忽略了符號(hào)也需要改變。因此，在日常的練習(xí)中，教師應(yīng)注意加強(qiáng)這方面的習(xí)題訓(xùn)練，在恒等變換中多設(shè)置象限障礙，讓學(xué)生在做題中不斷地查找自己的缺陷，形成縝密的思維，在做題時(shí)更加細(xì)心，提升做題的正確率。另外，在設(shè)置練習(xí)時(shí)，應(yīng)層層遞進(jìn)，先從最簡單的恒等變換開始，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際掌握情況，再慢慢加大難度，最終達(dá)到靈活運(yùn)用的境界，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的樂趣，不斷愛上數(shù)學(xué)，不再感覺學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一件枯燥的事情。

（四）運(yùn)用多媒體輔助教學(xué)

如今已經(jīng)進(jìn)入了信息化時(shí)代，教師應(yīng)當(dāng)善于運(yùn)用PPT等多媒體技術(shù)來輔助教學(xué)，幫助學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的能力。同角三角函數(shù)的概念、定義和基本關(guān)系式都是通過圖像推導(dǎo)出來的，尤其是在坐標(biāo)軸中體現(xiàn)得更是淋漓盡致。因此，運(yùn)用多媒體技術(shù)，將三角函數(shù)的來源及推導(dǎo)展現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生通過圖像，就能夠清晰地學(xué)習(xí)、掌握。這種教學(xué)模式簡單直觀，能夠減少教師的教學(xué)壓力，還能幫助學(xué)生快速理解三角函數(shù)的知識(shí)，并形成數(shù)形結(jié)合思維，為以后的解題帶來了很大的幫助。除上述外，教師還可以根據(jù)多媒體技術(shù)查找更多教學(xué)資源，讓網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源進(jìn)入課堂，為教師的教學(xué)提供更多的可能性，不斷延伸教學(xué)情境，讓學(xué)生足不出戶也能享受到更多的教學(xué)資源。

三、總結(jié)

綜上所述，三角函數(shù)是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心內(nèi)容，不但能夠聯(lián)系其它數(shù)學(xué)知識(shí)，在其它學(xué)科中也有廣泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)運(yùn)用先進(jìn)的教學(xué)方式，將三角函數(shù)教學(xué)變得有趣、易懂，使學(xué)生快速掌握，三角函數(shù)基本關(guān)系式是對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的進(jìn)一步延伸，是常用的數(shù)學(xué)模型。因此，教師應(yīng)合理運(yùn)用多種教學(xué)策略，提升學(xué)生的應(yīng)用水平，使其在解題中形成良好的數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)成績，為以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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