非對合剩余格的模糊理想理論

劉春輝

(赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古赤峰 024001)

§1 引言

在經(jīng)典的二值邏輯推理中,已知前提所使用的概念和提供的信息都是精確的,就能保證推得的結(jié)果也是準(zhǔn)確無誤的,這種精確的,嚴(yán)格的邏輯推理是人工智能科學(xué)及相關(guān)研究中普遍采用的方法,并在邏輯程序設(shè)計,定理自動證明和知識推理等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用.它不僅為計算機(jī)程序設(shè)計語言提供了主要思想,而且在計算機(jī)硬件設(shè)計中也有一定應(yīng)用,形成了傳統(tǒng)計算機(jī)科學(xué)的理論基礎(chǔ).然而傳統(tǒng)計算機(jī)通常只能按照經(jīng)典邏輯進(jìn)行識別,對模糊概念和模糊信息的識別和處理卻表現(xiàn)得無能為力.為了克服經(jīng)典邏輯在計算機(jī)應(yīng)用中的不足,1965 年,L.A.Zadeh提出了模糊邏輯的概念[1],從而使計算機(jī)不但可以對模糊概念進(jìn)行處理,還可以在信息有限的情況下,提供精確的答案.模糊邏輯主要采用代數(shù)邏輯的研究方法,而后者則以邏輯代數(shù)為工具來進(jìn)行研究,由此可知,邏輯代數(shù)在模糊邏輯的研究中起著十分重要的作用[2].在模糊邏輯對應(yīng)的代數(shù)系統(tǒng)研究中,由Ward和Dilworth于1939年在文獻(xiàn)[3]中首次提出的剩余格是一類重要且應(yīng)用廣泛的邏輯代數(shù).近年來,剩余格已經(jīng)被越來越多的學(xué)者公認(rèn)為是模糊邏輯的理想代數(shù)框架之一,逐漸成為邏輯代數(shù)中最為活躍的研究對象.究其原因,主要體現(xiàn)在以下兩方面:其一,剩余格是一類范圍較廣寬泛的邏輯代數(shù),諸如MTL代數(shù),BL代數(shù),MV代數(shù)和Glivenko代數(shù)等著名的邏輯代數(shù)都是其特殊子類;其二,幾乎所有的子結(jié)構(gòu)邏輯,如直覺主義邏輯,多值邏輯,模糊邏輯以及線性邏輯等都是以剩余格為基礎(chǔ)來建立相應(yīng)的代數(shù)語義.因此,對剩余格結(jié)構(gòu)的深入研究具有廣泛而基本的重要意義,相關(guān)研究成果也頗為豐富[4-10].

偏序結(jié)構(gòu)被布爾巴基學(xué)派冠名為三大數(shù)學(xué)母結(jié)構(gòu)之一,濾子和理想最早是作為偏序集的兩類相互對偶的特殊子集而被提出的概念.在模糊邏輯理論研究中，濾子和理想又被作為研究模糊邏輯代數(shù)及與它們相對應(yīng)的邏輯推理系統(tǒng)完備性的兩個重要工具而進(jìn)行了擴(kuò)充和推廣.值得注意的是,在否定運(yùn)算滿足對合(正則)性質(zhì)的邏輯代數(shù)中,考慮到濾子和理想是相互對偶存在的,各種理想的性質(zhì)都可借助于與之相對偶的濾子概念的性質(zhì)直接獲得.所以,人們大都將目光集中于對濾子問題的思考和探索[11-17].然而,當(dāng)邏輯代數(shù)中否定運(yùn)算失去對合性時,理想和濾子的對偶關(guān)系也隨之被打破.因此,在非對合剩余格,MTL代數(shù)和BL代數(shù)等非對合邏輯代數(shù)框架下探索理想及其應(yīng)用問題是一項(xiàng)十分有意義的工作.鑒于此,文獻(xiàn)[18]在MTL代數(shù)中引入了超理想,素理想和關(guān)聯(lián)理想等概念并考察了它們的性質(zhì)和相互關(guān)系.文獻(xiàn)[19]在BL代數(shù)中引入了理想概念并研究了其性質(zhì)及其與濾子概念的關(guān)系.文獻(xiàn)[20-23]在非對合剩余格中引入了理想和模糊理想的概念并討論了其相關(guān)性質(zhì)和結(jié)構(gòu)特征.文獻(xiàn)[24]在非對合剩余格中引入了正規(guī)模糊理想并基于這一概念給出了一致拓?fù)涞臉?gòu)造方法.文獻(xiàn)[25]又在MTL代數(shù)這一非對合剩余格的特例上基于素理想成功構(gòu)造了拓?fù)淇臻g.在上述工作的基礎(chǔ)上,本文進(jìn)一步深入系統(tǒng)地研究非對合剩余格的模糊理想問題,引入了非對合剩余格的模糊弱理想,模糊強(qiáng)理想,模糊MV理想,模糊布爾理想,模糊關(guān)聯(lián)理想,模糊正關(guān)聯(lián)理想和模糊超理想七類概念,系統(tǒng)討論了它們的性質(zhì),等價刻畫以及概念之間的相互關(guān)系,并利用它們的性質(zhì)獲得了幾類特殊剩余格的特征定理.獲得了一些有意義且有趣的結(jié)果.進(jìn)一步豐富和完善了非對合剩余格理想問題的理論體系.

§2 預(yù)備知識

定義2.1[3]稱(2,2,2,2,0,0)型代數(shù)(L,≤,∧,∨,?,→,0,1)為一個剩余格,簡稱L為一個剩余格,如果下列各條件成立.

(RL1) (L,∧,∨,0,1)是分別以0和1為最小元和最大元的有界格;

(RL2) (L,?,1)是一個以1為單位元的交換半群;

(RL3) (?,→)是L上的伴隨對,即(?x,y,z ∈L)(x ?y≤z ?x≤y→z).

定義2.2[4-8,10]設(shè)L是一個剩余格.則

(1) 稱L為非對合剩余格,如果L滿足:(?x ∈L)(x′′≠x);

(2) 稱L為對合(正則)剩余格,如果L滿足:(?x ∈L)(x′′=x);

(3) 稱L為強(qiáng)剩余格(Glivenko代數(shù)),如果L滿足:(?x ∈L)((x′′→x)′′=1);

(4) 稱L為預(yù)線性剩余格(MTL代數(shù)),如果L滿足:(?x,y ∈L)((x→y)∨(y→x)=1);

(5) 稱L為BL代數(shù),如果L為MTL代數(shù)且滿足:(?x,y ∈L)(x ∧y=x ?(x→y));

(6) 稱L為MV代數(shù),如果L為BL代數(shù)且滿足:(?x,y ∈L)((x→y)→y=(y→x)→x).

引理2.1[2-10,18-21]設(shè)L是非對合剩余格,則對任意的x,y,z ∈L,下列結(jié)論成立.

其中,x′=x→0.

定義2.3[18-19]設(shè)L是非對合剩余格,?≠I ?L.稱I為L的理想,若I滿足

(I1) 0∈I;

(I2) (?x,y ∈L)((x ∈I且(x′→y′)′ ∈I)?y ∈I).

注2.1[18]設(shè)L是非對合剩余格,則{0}和L顯然都是L的理想,稱之為L的平凡理想.

定義2.4[1,19]設(shè)L是非對合剩余格,L上的一個模糊集f是指映射f:L→[0,1].設(shè)f和g是L上的兩個模糊集,定義f與g的模糊包含關(guān)系滿足:?x ∈L,

設(shè)A ?L,A的特征函數(shù)χA指的是L上的一個按如下方式定義的模糊集:?x ∈L,

為了敘述簡潔,對任意的x,y ∈[0,1],以下分別用x ∨y和x ∧y表示max{x,y}和min{x,y}.

定義2.5[19]設(shè)L是非對合剩余格,f為L上的模糊集.稱f為L的模糊理想,若f滿足

(FI1) (?x ∈L)(f(0)≥f(x));

(FI2) (?x,y ∈L)(f(y)≥f(x)∧f((x′→y′)′).

引理2.2[19]設(shè)L是非對合剩余格,f為L的模糊理想.則f滿足

(FI3) (?x,y ∈L)(x≤y ?f(x)≥f(y)).

§3 非對合剩余格的模糊弱理想和模糊強(qiáng)理想

本節(jié)在非對合剩余格中引入模糊弱理想和模糊強(qiáng)理想并考察它們的性質(zhì)特征.

定義3.1設(shè)L是非對合剩余格,f是L上的模糊集.稱f為L的模糊弱理想,若f滿足(FI1)和

(WFI) (?x,y ∈L)(f(x)≥f(y)∧f((x→y)′)).

定理3.1設(shè)L是非對合剩余格,f為L的模糊弱理想.則f滿足(FI3).

證任取x,y ∈L,設(shè)x≤y,則由(RL4)得(x→y)′=1′=0,所以由(WFI)和(FI1)得

故f滿足(FI3).

定理3.2設(shè)L是非對合剩余格.則L的任一模糊理想都是L的模糊弱理想.

證設(shè)f是L的模糊理想,則由定義2.5和引理2.2得f滿足(FI1)-(FI3).任取x,y ∈L,因?yàn)橛?RL17)得y′→x′≥x→y,所以由(RL15)得(y′→x′)′≤(x→y)′,從而由(FI3)得f((y′→x′)′)≥f((x→y)′).故再由(FI2)得

即f滿足(WFI).因此,由定義3.1便得f是L的模糊弱理想.

注3.1 下面的例子表明定理3.2的逆命題一般不真.即,非對合剩余格L的模糊弱理想一般不必為L的模糊理想.

例3.1設(shè)格L={0,a,b,c,1}且0

則(L,≤,∧,∨,?,→,0,1)是一個非對合剩余格.在L上定義模糊集f:[0,1]→L使f(0)=f(a)=α,f(b)=f(c)=f(1)=β,其中,0 ≤β <α≤1.可以驗(yàn)證f是L的一個模糊弱理想,但非L的模糊理想.這是因?yàn)閒(a)∧f((a′→b′)′)=f(a)∧f((c→c)′)=f(a)∧f(0)=α >β=f(b),即f不滿足(FI2).

定理3.3設(shè)L是強(qiáng)剩余格.則L的任一模糊弱理想都是L的模糊理想.

證設(shè)L是強(qiáng)剩余格.任取x,y ∈L,因?yàn)?/p>

所以((y→x)′→(x′→y′)′)′=1′=0.故由(WFI)和(FI1)得

即f滿足(FI2).因此由定義2.5便得f是L的模糊理想.

定義3.2設(shè)L是非對合剩余格,f是L的模糊理想.稱f為L的模糊強(qiáng)理想,若f滿足

(SFI) (?x ∈L)(f((x′′→x)′)=f(0)).

例3.2設(shè)格L={0,a,b,c,1}且其Hasse圖如圖1.定義L上的二元運(yùn)算→和?如下表.

圖1 格L的Hasse圖

則(L,≤,∧,∨,?,→,0,1)是一個非對合剩余格.在L上定義模糊集f:[0,1]→L使f(0)=α,f(a)=β,f(b)=f(c)=f(1)=γ,其中,0 ≤γ <β <α≤1.可以驗(yàn)證f是L的一個模糊強(qiáng)理想.

定理3.4設(shè)L是非對合剩余格,f為L的模糊理想.則下列各陳述等價.

(1)f是L的模糊強(qiáng)理想;

(2) (?x,y ∈L)(f(((y→x′′)→(y→x)′′)′)=f(0));

(3) (?x,y ∈L)(f(((x→y)→(x′′→y)′′)′)=f(0));

(4) (?x,y ∈L)(f(((x′→y)→(y′→x)′′)′)=f(0)).

證(1)?(2) 設(shè)f是L的模糊強(qiáng)理想.任取x,y ∈L,因?yàn)橛?RL16)得y→x≤(y→x)′′,所以由(RL6)和(RL8)得x′′→x≤(y→x′′)→(y→x) ≤(y→x′′)→(y→x)′′,從而由(RL15)得((y→x′′)→(y→x)′′)′≤(x′′→x)′.故由(FI3)和(SFI)得f(((y→x′′)→(y→x)′′)′)≥f((x′′→x)′)=f(0). 因此,再由(FI1)便得f(((y→x′′)→(y→x)′′)′)=f(0).

(2)?(1) 設(shè)f滿足(2).任取x ∈ L,在(2)中令y=x′′,則由(RL5)和(RL16)得f(0)=f(((x′′→x′′)→(x′′→x)′′)′)=f((1→(x′′→x)′′)′)=f((x′′→x)′′′)=f((x′′→x)′),故f滿足(SFI).因此,由定義3.2便得f是L的模糊強(qiáng)理想.

(1)?(3) 設(shè)f是L的模糊強(qiáng)理想.任取x,y ∈L,因?yàn)橛?RL16)得x′′→y≤(x′′→y)′′,所以由(RL6)和(RL8)得x′′→x≤(x→y)→(x′′→y) ≤(x→y)→(x′′→y)′′,從而由(RL15)得((x→y)→(x′′→y)′′)′≤(x′′→x)′.故由(FI3)和(SFI)得f(((x→y)→(x′′→y)′′)′)≥f((x′′→x)′)=f(0).因此,再由(FI1)便得f(((x→y)→(x′′→y)′′)′)=f(0).

(3)?(1) 設(shè)f滿足(3).任取x ∈L,在(3)中令y=x,則由(RL5)和(RL16)得f(0)=f(((x→x)→(x′′→x)′′)′)=f((1→(x′′→x)′′)′)=f((x′′→x)′′′)=f((x′′→x)′),故f滿足(SFI).因此,由定義3.2便得f是L的模糊強(qiáng)理想.

(1)?(4) 設(shè)f是L的模糊強(qiáng)理想.任取x,y ∈L,因?yàn)橛?RL13)得x′′=x′→0 ≥(x′→y)?(y→0)=(x′→y)?y′且由(RL16)得y′→x≤(y′→x)′′,所以由(RL8)和(RL11)得x′′→x≤ (x′→ y)?y′→ x=(x′→ y)→(y′→ x) ≤ (x′→ y)→(y′→ x)′′,從而由(RL15)得((x′→y)→(y′→x)′′)′≤(x′′→x)′.故由(FI3)和(SFI)得f(((x′→y)→(y′→x)′′)′)≥f((x′′→x)′)=f(0).因此,再由(FI1)便得f(((x′→y)→(y′→x)′′)′)=f(0).

(4)?(1) 設(shè)f滿足(4).?x ∈L,在(4)中令y=x′,則由(RL5)和(RL16)得f(0)=f(((x′→x′)→(x′′→x)′′)′)=f((1→(x′′→x)′′)′)=f((x′′→x)′′′)=f((x′′→x)′),故f滿足(SFI).因此,由定義3.2便得f是L的模糊強(qiáng)理想.

注3.2由定義3.2,顯然可知非對合剩余格L的任一模糊強(qiáng)理想都是L的模糊理想.但是L的模糊理想一般不必是L的模糊強(qiáng)理想.例如,設(shè)L是例3.1中所給非對合剩余格,在L上定義模糊集f:[0,1]→L使f(0)=α,f(a)=f(b)=f(c)=f(1)=β,其中,0 ≤β <α≤1.可以驗(yàn)證f是L的一個模糊理想,但非L的模糊強(qiáng)理想.這是因?yàn)閒((a′′→a)′)=f((b→a)′)=f(c′)=f(b)=β≠α=f(0),即,f不滿足(SFI).

定理3.5設(shè)L是非對合剩余格,則下列各陳述等價.

(1)L是強(qiáng)剩余格(Glivenko代數(shù));

(2)L的任一模糊理想都是L的模糊強(qiáng)理想;

(3)χ{0}是L的模糊強(qiáng)理想.

證(1)?(2) 設(shè)L是強(qiáng)剩余格且f是L的模糊理想,則?x ∈L,由定義2.2(3)得(x′′→x)′′=1,從而由(RL16)得(x′′→x)′=(x′′→x)′′′=1′=0.故f((x′′→x)′)=f(0).因此,f是L的模糊強(qiáng)理想.

(2)?(3) 因?yàn)橛勺?.1得{0}是L的理想,所以由文獻(xiàn)[19]中定理3.17得χ{0}是L的模糊理想,故由(2)便得χ{0}是L的模糊強(qiáng)理想.

(3)?(1) 設(shè)χ{0}是L的模糊強(qiáng)理想,則由定義3.2得χ{0}((x′′→x)′)=χ{0}(0)=1,從而(x′′→x)′=0,故(x′′→x)′′=0′=1.因此由定義2.2(3)便得L是強(qiáng)剩余格.

推論3.1設(shè)L是非對合剩余格,則下列各陳述等價.

(1)L是強(qiáng)剩余格(Glivenko代數(shù));

(2)L的任一模糊弱理想都是L的模糊強(qiáng)理想;

(3)χ{0}是L的模糊強(qiáng)理想.

證由定理3.2,定理3.3和定理3.5立即可得.

§4 非對合剩余格的模糊MV理想

本節(jié)引入非對合剩余格的模糊MV理想并考察其性質(zhì),刻畫及其與模糊強(qiáng)理想的關(guān)系.

定義4.1設(shè)L是非對合剩余格,f為L的模糊理想.稱f為L的模糊MV理想,若f滿足

(MVFI) (?x,y ∈L)(f((((y′→x′)→x′)→y′)′)≥f((x′→y′)′)).

例4.1設(shè)格L={0,a,b,1}且0

則(L,≤,∧,∨,?,→,0,1)是一個非對合剩余格.在L上定義模糊集f:[0,1]→L使f(0)=α,f(a)=f(b)=f(1)=β,其中,0 ≤β <α≤1.可以驗(yàn)證f是L的一個模糊MV理想.

定理4.1設(shè)L是非對合剩余格,f為L的模糊理想.則下列各陳述等價.

(1)f是L的模糊MV理想;

(2) (?x,y,z ∈L)(f((((y′→x′)→x′)→y′)′)≥f(z)∧f((z′→(x′→y′))′));

(3) (?x,y ∈L)(f((((y′→x′)→x′)→((x′→y′)→y′))′)=f(0));

(4) (?x,y ∈L)(f(((x′→y′)→(((y′→x′)→x′)→y′))′)=f(0)).

證(1)?(2) 設(shè)f是L的模糊MV理想.任取x,y,z ∈L,則

(2)?(1) 設(shè)f滿足(2).在(2)中取z=0,則由(FI1)和(RL5)便得f滿足(MVFI),因此,由定義4.1得f是L的模糊MV理想.

(1)?(3) 設(shè)f是L的模糊MV理想.任取x,y ∈L,令U=((x′→y′)→y′)′,則

故由(MVFI)得f((((U′→x′)→x′)→U′)′) ≥f((x′→U′)′)=f(0).又由(RL7)和(RL18)得y′≤(x′→y′)→y′=((x′→y′)→y′)′′=U′,所以由(RL8)得U′→x′≤y′→x′,從而(y′→x′)→x′≤(U′→x′)→x′,進(jìn)而((U′→x′)→x′)→U′≤((y′→x′)→x′)→U′,故再由(RL16)得(((y′→x′)→x′)→U′)′≤(((U′→x′)→x′)→U′)′.于是由(FI3)又得

故再由(FI1)便得f((((y′→x′)→x′)→U′)′)=f(0).因此由(RL18)得

(3)?(1) 設(shè)f滿足(3).任取x,y ∈L,因?yàn)?/p>

所以f滿足(MVFI1),因此由定義4.1便得f是L的模糊MV理想.

(3)?(4) 任取x,y ∈L,因?yàn)橛?RL11)得

所以

當(dāng)且僅當(dāng)

定理得證.

定理4.2設(shè)L是非對合剩余格,則下列各陳述等價.

(1)L的任一模糊理想都是L的模糊MV理想;

(2)χ{0}是L的模糊MV理想;

(3) (?x,y ∈L)((x′→y′)→y′=(y′→x′)→x′);

(4) (?x,y ∈L)(((x′→y′)→y′)→x′=y′→x′).

證(1)?(2) 因?yàn)橛勺?.1得{0}是L的理想,所以由文獻(xiàn)[19]中定理3.17得χ{0}是L的模糊理想,故由(1)便得χ{0}是L的模糊MV理想.

(2)?(3) 設(shè)χ{0}是L的模糊MV理想,則由定理4.1中(3)得

從而(((y′→x′)→x′)→((x′→y′)→y′))′=0,進(jìn)而由(RL18)得

故由(RL4)得(y′→x′)→x′≤(x′→y′)→y′.同理可證(x′→y′)→y′≤(y′→x′)→x′.因此綜合便得(x′→y′)→y′=(y′→x′)→x′.

(3)?(4) 由(3)和(RL7)得

因此(4)成立.

(4)?(1) 設(shè)f是L的模糊理想,任取x,y ∈L,因?yàn)橛?4)得

所以((x′→y′)→(((y′→x′)→x′)→y′))′=1′=0,故

即f滿足定理4.1(4),因此f是L的模糊MV理想.

推論4.1設(shè)L是對合(正則)剩余格,則下列各陳述等價.

(1)L的任一模糊理想都是L的模糊MV理想;

(2)χ{0}是L的模糊MV理想;

(3) (?x,y ∈L)((x′→y′)→y′=(y′→x′)→x′);

(4) (?x,y ∈L)(((x′→y′)→y′)→x′=y′→x′);

(5)L是MV代數(shù).

證由定理4.2,只需證明(3)?(5)即可.事實(shí)上,任取x,y ∈L,因?yàn)長是對合剩余格,所以x′′=x且y′′=y.故由(3)得

因此由定義2.2(6)便得L是MV代數(shù).反之,若L是MV代數(shù),由定義2.2(6),顯然有(3)成立.

定理4.3設(shè)L是強(qiáng)剩余格.則L的任一模糊MV理想都是L的模糊強(qiáng)理想.

證設(shè)f是L的模糊MV理想,則由定義4.1得f是L的模糊理想.因此再由定理3.5便得f是L的模糊強(qiáng)理想.

注4.1定理4.3的結(jié)論對不是強(qiáng)剩余格的非對合剩余格L而言不一定成立.例如,考慮例4.1中所給非對合剩余格L,因?yàn)?a′′→a)′′=(b→a)′′=a′′=b≠1,所以L不是強(qiáng)剩余格.再考慮例4.1中所定義的L的模糊MV理想f,因?yàn)閒((a′′→a)′)=f((b→a)′)=f(b′)=f(b)=β≠α=f(0),所以f不是L的模糊強(qiáng)理想.

注4.2下面的例子表明定理4.3的逆命題一般不真.即強(qiáng)剩余格L的模糊強(qiáng)理想一般不必為L的模糊MV理想.

例4.2設(shè)格L={0,a,b,c,1}且0

則(L,≤,∧,∨,?,→,0,1)是一個強(qiáng)剩余格.在L上定義模糊集f:[0,1]→L使f(0)=α,f(a)=f(b)=f(c)=f(1)=β,其中,0 ≤β <α≤1.可以驗(yàn)證f是L的一個模糊強(qiáng)理想,但不是L的模糊MV理想.這是因?yàn)閒((((a′→b′)→b′)→a′)′)=f((((b→a)→a)→b)′)=f(((a→a)→b)′)=f(a)=β <α=f((b′→a′)′)=f(0),即f不滿足(MVFI).

定理4.4設(shè)L是BL代數(shù),f是L上的模糊集.則下列各陳述等價.

(1)f是L的模糊理想;

(2)f是L的模糊弱理想;

(3)f是L的模糊強(qiáng)理想;

(4)f是L的模糊MV理想.

證設(shè)L是BL代數(shù),任取x ∈L,因?yàn)橛晌墨I(xiàn)[19]中命題2.6(17)以及(RL16)和(RL5)得

所以由定義2.2(3)得L是強(qiáng)剩余格.故由定理3.2,定理3.3和定理3.5便得(1)?(2)?(3).因此為了完成定理的證明,只需證明(1)?(4),而由定義4.1可知,只需證明(1)?(4)即可.事實(shí)上設(shè)f是L的模糊理想,任取x,y ∈L,因?yàn)?/p>

所以f((((y′→x′)→x′)→y′)′) ≥f((x′→y′)′),故f滿足(MVFI).則由定義4.1便得f是L的模糊MV理想.

§5 非對合剩余格的模糊布爾(關(guān)聯(lián)和正關(guān)聯(lián))理想

本節(jié)引入非對合剩余格的模糊布爾理想,模糊關(guān)聯(lián)理想和模糊正關(guān)聯(lián)理想并考察它們的性質(zhì),刻畫及相互關(guān)系.同時,討論它們與模糊強(qiáng)理想和模糊強(qiáng)MV理想的關(guān)系.

定義5.1設(shè)L是非對合剩余格,f為L的模糊理想.稱f為L的模糊布爾理想,若f滿足

(BFI) (?x,y ∈L)(f(x ∧x′)=f(0)).

例5.1設(shè)格L={0,a,b,1}且0

則(L,≤,∧,∨,?,→,0,1)是一個非對合剩余格.在L上定義模糊集f:[0,1]→L使f(0)=f(a)=α,f(b)=f(1)=β,其中,0 ≤β <α≤1.可以驗(yàn)證f是L的一個模糊布爾理想.

定理5.1設(shè)L是非對合剩余格,f為L的模糊理想.則下列各陳述等價.

(1)f是L的模糊布爾理想;

(2) (?x ∈L)(f(x)≥f((x→x′)′));

(3) (?x,y ∈L)(f(x)≥f((x→(y→x)′)′)).

證(1)?(2) 設(shè)f是L的模糊布爾理想.任取x ∈L,由(RL16)得x ∧x′≤(x ∧x′)′′,故

從而由(RL15)得((x ∧x′)′→x′)′≤(x→x′)′.因此,由(FI2),(BFI)和(FI2)得

(2)?(3) 設(shè)f滿足(2),任取x,y ∈L,因?yàn)閥≤1,所以由(RL5)和(RL8)得x=1→x≤y→x,從而由(RL15)得(y→x)′≤x′,進(jìn)而由(RL8)得x→(y→x)′≤x→x′,故再由(RL15)得(x→x′)′≤(x→(y→x)′)′.因此,由(2)和(FI3)便得

(3)?(1) 設(shè)f滿足(3),任取x ∈L,因?yàn)?/p>

所以由(RL15)得((x ∧x′)→(1→(x ∧x′))′)′≤1′=0,從而((x ∧x′)→(1→(x ∧x′))′)′=0.故由(3)得f(x ∧x′)≥f(((x ∧x′)→(1→(x ∧x′))′)′)=f(0),于是再由(FI1)得f(x ∧x′)=f(0),即f滿足(BFI).因此由定義5.1得f是L的模糊布爾理想.

定義5.2設(shè)L是非對合剩余格,f為L上模糊集.稱f為L的模糊關(guān)聯(lián)理想,若f滿足(FI1)和

(IFI) (?x,y,z ∈L)(f(x)≥f(z)∧f((z′→((x′→y′)→x′)′′)′)).

定理5.2設(shè)L是非對合剩余格.則L的任一模糊關(guān)聯(lián)理想都是L的模糊理想.

證設(shè)f是L的模糊關(guān)聯(lián)理想,則由定義5.2得f滿足(FI1)和(IFI).任取x,y ∈L,由(RL5)和(RL16)得

所以由(IFI)得

故f亦滿足(FI2).因此由定義2.5便得f是L的模糊理想.

注5.1定理5.2的逆命題一般不真.即非對合剩余格L的模糊理想一般不必為L的模糊關(guān)聯(lián)理想.例如設(shè)L是例5.1中所給非對合剩余格,在L上定義模糊集f:[0,1]→L使f(0)=α,f(a)=f(b)=f(1)=β,其中,0 ≤β <α≤1.可以驗(yàn)證f是L的模糊理想,但不是L的模糊關(guān)聯(lián)理想.這是因?yàn)閒(0)∧f((0′→((a′→1′)→a′)′′)′)=f(0)∧f((a→b)′)=f(0)=α>β=f(a).

定理5.3設(shè)L是非對合剩余格,f為L的模糊理想.則下列各陳述等價.

(1)f是L的模糊關(guān)聯(lián)理想;

(2) (?x,y ∈L)(f(x)≥f(((x′→y′)→x′)′)).

證(1)?(2) 設(shè)f是L的模糊關(guān)聯(lián)理想.任取x,y ∈L,因?yàn)?/p>

所以由(IFI)和(FI1)得

(2)?(1) 設(shè)f滿足(2),任取x,y,z ∈L,因?yàn)閒為L的模糊理想,所以由(2)和(FI2)得

即,f滿足(IFI).因此,由定義5.2便得f是L的模糊關(guān)聯(lián)理想.

定義5.3設(shè)L是非對合剩余格,f為L的模糊理想.稱f為L的模糊正關(guān)聯(lián)理想,若f滿足

(PIFI) (?x,y,z ∈L)(f((x′→z′)′)≥f((x′→(y′→z′))′)∧f((x′→y′)′)).

定理5.4設(shè)L是非對合剩余格,f為L的模糊理想.則下列各陳述等價.

(1)f是L的模糊正關(guān)聯(lián)理想;

(2) (?x,y ∈L)(f((x′→y′)′)≥f((x′→(x′→y′))′));

(3) (?x,y,z ∈L)(f(((x′→y′)→(x′→z′))′)≥f((x′→(y′→z′))′)).

證(1)?(2) 設(shè)f是L的模糊正關(guān)聯(lián)理想.則f滿足(PIFI),在(PIFI)中取z=y且y=x,則由(RL5)和(FI1)便得

(2)?(3) 設(shè)f滿足(2),任取x,y,z ∈L,則由(RL6)得y′→z′≤(x′→y′)→(x′→z′),故由(RL7)得x′→(y′→z′)≤x′→((x′→y′)→(x′→z′)),從而由(RL17)得

進(jìn)而由(FI3)得f((x′→((x′→y′)→(x′→z′)))′)≥f((x′→(y′→z′))′). 因此便得

(3)?(1) 設(shè)f滿足(3),任取x,y,z ∈L,因?yàn)閒是L的模糊理想,所以

故f滿足(PIFI).因此由定義5.3得f是L的模糊正關(guān)聯(lián)理想.

定理5.5設(shè)L是非對合剩余格,f為L的模糊理想,則下列各陳述等價.

(1)f是L的模糊布爾理想;

(2)f是L的模糊關(guān)聯(lián)理想;

(3)f是L的模糊正關(guān)聯(lián)理想.

證(1)?(2) 設(shè)f是L的模糊布爾理想.任取x,y ∈L,因?yàn)橛?RL17)得y→x≤x′→y′,所以由(RL8)和(RL17)得

從而由(RL15)得((x′→y′)→x′)′≥(x→(y→x)′)′.故由定理5.1(3)和(FI3)得

因此,由定理5.3便得f是L的模糊關(guān)聯(lián)理想.

(2)?(3) 設(shè)f是L的模糊關(guān)聯(lián)理想.任取x,y ∈L,則由(RL18)和(RL6)得x′→(x′→y′)=x′→(x′→y′)′′≤((x′→y′)′′→y′)→(x′→y′)=((x′→y′)′′→y′)→(x′→y′)′′,所以由(RL15)得(((x′→y′)′′→y′)→(x′→y′)′′)′≤(x′→(x′→y′))′.故由定理5.3和(FI3)得

因此,由定理5.4(2)便得f是L的模糊正關(guān)聯(lián)理想.

(3)?(1) 設(shè)f是L的模糊正關(guān)聯(lián)理想.任取x ∈L,因?yàn)?/p>

所以f((x′′→(x′′→(x′′→x′)′))′)=f(0).又因?yàn)橐来斡?RL18),(RL16)和(RL17)得

所以又得f(((x→x′)′′→x′)′)=f((x′′→(x′′→x′)′)′).故

因此由定理5.1(2)便得f是L的模糊布爾理想.

定理5.6設(shè)L是非對合剩余格.則L的任一模糊布爾理想都是L的模糊MV理想.

證設(shè)f是L的模糊布爾理想.任取x,y ∈L,令U=(y′→x′)→x′,則

從而便得

進(jìn)而由(RL4)得((U→y′)′→(U→y′)′′)′≤(x′→y′)′.故由(FI3)得

于是,由定理5.1(2)得

即f滿足(MVFI).因此由定義4.1便得f是L的模糊MV理想.

注5.2定理5.6的逆命題一般不真.即非對合剩余格L的模糊MV理想一般不必為L的模糊布爾理想.例如例4.1中所給非對合剩余格L的模糊MV理想f不是L的模糊布爾理想.這是因?yàn)閒(a ∧a′)=f(a ∧b)=β≠α=f(0).

定理5.7設(shè)L是非對合剩余格.則L的任一模糊布爾理想都是L的模糊強(qiáng)理想.

證設(shè)f是L的模糊布爾理想.?x ∈L,則由(RL7)得x≤x′′→x,故由(RL15)得

進(jìn)而由(RL12)和(RL16)得

故(x′′→x)′?x′′=0.令U=x′′→x,則

故(U′→(U′→1′))′=0,從而由定理5.4(2)和定理5.5得

進(jìn)而由(FI1)得f((U′→1′)′)=f(0).又因?yàn)?/p>

故f((x′′→x)′)=f(0),即f滿足(SFI).因此由定義3.2便得f是L的模糊強(qiáng)理想.

注5.3定理5.7的逆命題一般不真.即非對合剩余格L的模糊強(qiáng)理想一般不必為L的模糊布爾理想.例如設(shè)L是例5.1中所給非對合剩余格,在L上定義模糊集f:[0,1]→L使f(0)=α,f(a)=f(b)=f(1)=β,其中0 ≤β <α≤1.可以驗(yàn)證f是L的模糊強(qiáng)理想,但不是L的模糊布爾理想.這是因?yàn)閒(a ∧a′)=f(a)=β≠α=f(0).

下面利用模糊布爾理想的性質(zhì)給出Boole代數(shù)的特征刻畫.

定義5.4[10]設(shè)(L,∧,∨)是有界分配格.如果存在L上的一元運(yùn)算?:L→L滿足:?x ∈L,x ∧x?=0且x ∨x?=1,則稱L是一個Boole代數(shù).

引理5.1[18]任一MTL代數(shù)都是有界分配格.

定理5.8設(shè)L是MTL代數(shù).則下列各陳述等價.

(1)L是Boole代數(shù);

(2)L的任一模糊理想都是L的模糊布爾理想;

(3)χ{0}是L的模糊布爾理想.

證(1)?(2) 設(shè)L是Boole代數(shù)且f是L的模糊理想,則?x ∈L,x ∧x′=0.故f(x ∧x′)=f(0).因此由定義5.1得fL的模糊布爾理想.

(2)?(3) 因?yàn)橛勺?.1得{0}是L的理想,所以由文獻(xiàn)[19]中定理3.17得χ{0}是L的模糊理想.因此由(2)得χ{0}是L的模糊布爾理想.

(3)?(1) 設(shè)χ{0}是L的模糊布爾理想,則由定義5.1得χ{0}(x ∧x′)=χ{0}(0)=1,從而x ∧x′=0,進(jìn)而由(RL20)又得x ∨x′=1.又因?yàn)長是MTL代數(shù),所以由引理5.1得L是有界分配格,因此由定義5.4便得L是Boole代數(shù).

§6 非對合剩余格的模糊超理想

本節(jié)引入非對合剩余格的模糊超理想概念并考察其性質(zhì),刻畫及其與模糊布爾理想概念間的關(guān)系.

定義6.1設(shè)L是非對合剩余格,f為L的非常值模糊理想.稱f為L的模糊超理想,若f滿足

(UFI) (?x ∈L)(f(x)=f(0)或f(x′)=f(0)).

例6.1設(shè)格L={0,a,b,c,d,1}且0

則(L,≤,∧,∨,?,→,0,1)是一個非對合剩余格.在L上定義模糊集f:[0,1]→L使f(0)=f(a)=f(b)=α,f(c)=f(d)=f(1)=β,其中,0 ≤β <α≤1.可以驗(yàn)證f是L的一個模糊超理想.

定理6.1設(shè)L是非對合剩余格,f為L的非常值模糊理想.則下列各陳述等價.

(1)f是L的模糊超理想;

(2) (?x,y ∈L)((f(x)≠f(0)且f(y)≠f(0))?(f((x→y′))=f(0)且f((y→x′))=f(0))).

證(1)?(2) 設(shè)f是L的模糊超理想.任取x,y ∈L,設(shè)f(x)≠f(0)且f(y)≠f(0),則由(UFI)得f(x′)=f(0)且f(y′)=f(0).因?yàn)?/p>

所以(x′′→(y→x)′′)′=0,從而f((x′′→(y→x)′′)′)=f(0).故由(FI2)和f(x′)=f(0)得

再由(FI1)得f((y→x′))=f(0).類似地,由f(y′)=f(0)可得f((x→y′))=f(0).即f滿足(2).

(2)?(1) 設(shè)f滿足(2).因?yàn)閒為L的非常值模糊理想,所以f(1)≠f(0).任取x ∈L,如果f(x)≠f(0),則由(RL5)和(2)得f(x′)=f((1→x)′)=f(0),故f滿足(UFI).因此,由定義6.1便得f是L的模糊超理想.

定理6.2設(shè)L是非對合剩余格,則L的任一模糊超理想都是L的模糊布爾理想.

證設(shè)f是L的模糊超理想,則f是L的模糊理想.任取x ∈L,因?yàn)閤∧x′≤x且x∧x′≤x′,所以由(FI3)得f(x ∧x′)≥f(x)且f(x ∧x′)≥f(x′).又因?yàn)橛?UFI)得f(x)=f(0)或f(x′)=f(0),所以f(x ∧x′)≥f(0),故由(FI1)便得f(x ∧x′)=f(0),即f滿足(BFI).因此由定義5.1得f是L的模糊布爾理想.

注6.1定理6.2的逆命題一般不真.即非對合剩余格L的非常值模糊布爾理想一般不必是L的模糊超理想.例如設(shè)L是例3.2中所給非對合剩余格.在L上定義模糊集f:[0,1]→L使f(0)=α,f(a)=f(b)=f(c)=f(1)=β,其中0 ≤β <α≤1.可以驗(yàn)證f是L的一個模糊布爾理想,但不是L的模糊超理想.這是因?yàn)閒(a)=β≠α=f(0)且f(a′)=f(b)=β≠α=f(0),即f不滿足(UFI).

文獻(xiàn)[19]引入了非對合剩余格的模糊素理想和二型模糊素理想的概念并討論了它們的性質(zhì).

定義6.2[19]設(shè)L是非對合剩余格,f為L的非常值模糊理想.

(1) 稱f為L的模糊素理想,若f滿足

(PFI) (?x,y ∈L)(f((x→y)′)=f(0)或f((y→x)′)=f(0)).

(2) 稱f為L的二型模糊素理想,若f滿足

(SPFI) (?x,y ∈L)(f(x ∧y)≤f(x)∨f(y)).

引理6.1[19]設(shè)L是非對合剩余格,f為L的非常值模糊理想.則

(1)L的任意模糊素理想都是L的二型模糊素理想,但反之不真;

(2) 當(dāng)L是MTL代數(shù)時,L的任意二型模糊素理想也都是L的模糊素理想;

(3)f是L的二型模糊素理想當(dāng)且僅當(dāng)f滿足

引理6.2[5]設(shè)L是MTL代數(shù),則對任意的x,y ∈L都有(x ∧y)′=x′∨y′.

定理6.3設(shè)L是MTL代數(shù),f為L的非常值模糊理想.則f是L的模糊超理想當(dāng)且僅當(dāng)f既是L的模糊布爾理想又是L的模糊素理想.

證設(shè)f是L的模糊超理想,則由定理6.2得f是L的模糊布爾理想.下證f是L的模糊素理想.事實(shí)上,任取x,y ∈L,設(shè)f(x ∧y)=f(0),若f(x)≠f(0),則由(UFI)得f(x′)=f(0).又因?yàn)?/p>

所以由(FI3)得f(((x ∧y)′→y′)′) ≥f(x′)=f(0),故再由(FI1)便得f(((x ∧y)′→y′)′)=f(0).于是,由(FI1)和(FI2)便得

這表明f(y)=f(0).因此,由引理6.1便得f為L的模糊素理想.

反之,設(shè)f既是L的模糊布爾理想又是L的模糊素理想.任取x ∈L,則由(BFI)得f(x ∧x′)=f(0),故由引理6.1得f(x)=f(0)或f(x′)=f(0),即,f滿足(UFI).因此,由定義6.1便得f是L的模糊超理想.

本節(jié)最后,指出如下事實(shí).

注6.2在MTL代數(shù)中,模糊素理想不必是模糊超理想.例如,容易驗(yàn)證例4.1中所給非對合剩余格是一個MTL代數(shù),在L上定義模糊集f:[0,1]→L使f(0)=α,f(a)=f(b)=f(1)=β,其中0 ≤β <α≤1.可以驗(yàn)證f是L的一個模糊素理想,但不是L的模糊超理想.這是因?yàn)閒(b)=β≠α=f(0)且f(b′)=f(b)=β≠α=f(0),即,f不滿足(UFI).

§7 結(jié)束語

眾所周知,在考察邏輯代數(shù)的結(jié)構(gòu)時,各類具有不同形式和特殊性質(zhì)的濾子和理想概念扮演著重要的角色.本文在非對合剩余格這一重要的否定運(yùn)算不具有對合(正則)性質(zhì)的邏輯代數(shù)框架下對模糊理想理論作了深入研究,引入了非對合剩余格的模糊弱理想,模糊強(qiáng)理想,模糊MV理想,模糊布爾理想,模糊關(guān)聯(lián)理想,模糊正關(guān)聯(lián)理想和模糊超理想七類概念,獲得了它們的若干性質(zhì)和等價刻畫,并利用這些性質(zhì)給出了強(qiáng)剩余格,MV代數(shù)和Boole代數(shù)的特征定理.系統(tǒng)分析了七類概念間的相互關(guān)系,指明了在非對合剩余格中,模糊布爾理想,模糊關(guān)聯(lián)理想和模糊正關(guān)聯(lián)理想等同;在強(qiáng)剩余格中,模糊弱理想和模糊強(qiáng)理想等同;在BL代數(shù)中,模糊強(qiáng)理想和模糊MV理想等同.同時,建立了模糊強(qiáng)理想,模糊MV理想和模糊布爾理想的擴(kuò)張定理,獲得了利用模糊理想構(gòu)造其特殊子類的方法.這些工作不但進(jìn)一步充實(shí)和豐富了非對合剩余格的模糊理想理論之研究內(nèi)容,厘清了概念間的層次關(guān)系,而且也能為充分利用理想工具揭示基于非對合剩余格的模糊邏輯系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征提供理論基礎(chǔ)上的支持和保障.

最后為直觀起見,將文中得到的非對合剩余格的各類模糊理想概念間關(guān)系圖示如下.

圖2 非對合剩余格中各類模糊理想概念間的相互關(guān)系