一類具有時(shí)變系數(shù)的超線性拋物系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性

鄭 軍?何 莎

(1.西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都 611756;2.蒙特利爾工學(xué)院 電氣工程系,加拿大蒙特利爾H3T 1J4)

§1 引言

在晶體生長(zhǎng),金屬澆鑄和退火,固體氣體反應(yīng)系統(tǒng),固體和流體力學(xué),以及生物系統(tǒng)中出現(xiàn)的許多問(wèn)題中,所涉及的輸運(yùn)反應(yīng)現(xiàn)象通常用具有時(shí)變系數(shù)的拋物型偏微分方程來(lái)描述,例如[1-6].具有時(shí)變系數(shù)的拋物型偏微分方程解的適定性以及正則性理論已有廣泛發(fā)展(如[7-9]).然而對(duì)于具有時(shí)變系數(shù)的拋物型偏微分方程解的穩(wěn)定性研究還比較有限,例如[10-13]考察的對(duì)象僅是具有時(shí)變系數(shù)的線性拋物系統(tǒng),其中[10-12]通過(guò)控制器設(shè)計(jì),得到系統(tǒng)的穩(wěn)定性,而[13]建立了系統(tǒng)的可觀性.基于此,本文考察具有時(shí)變系數(shù)的超線性拋物型偏微分方程

的穩(wěn)定性.其中Ω ?RN(N ≥1)為有界開(kāi)區(qū)域,且邊界?Ω是C1-的,a ∈C(Ω ×R+;R≥0),c ∈C(Ω ×R+;R)均依賴于時(shí)間變量t,f ∈C(Ω ×R+×R;R)為非線性項(xiàng),且存在a0,μi ∈C(R≥0;R≥0),i=1,2,···,n,及c0∈C(R≥0;R)使得

這里mi >1,i=1,2,···,n,n為正整數(shù),R為實(shí)數(shù)集,R+為正實(shí)數(shù)集,R≥0為非負(fù)實(shí)數(shù)集.

對(duì)于(1) 中的方程,一個(gè)典型的形式為

其中c,μ1,μ2為連續(xù)函數(shù),p,q >1且p≠q.當(dāng)c,μ1不依賴于時(shí)間變量且μ2(t)≡0時(shí),在不同條件下,已有大量文獻(xiàn)利用Galerkin方法,或能量方法,或穩(wěn)定性集和半群理論等方法,對(duì)(4)的解在有限時(shí)間的爆破性,或在小初值條件下系統(tǒng)的穩(wěn)定性等進(jìn)行探討,現(xiàn)不再詳述.然而,當(dāng)c,μ1,μ2依賴于時(shí)間變量且μ2(t)/≡0時(shí),對(duì)該類問(wèn)題的穩(wěn)定性或者爆破性質(zhì)進(jìn)行研究存在著較大困難.另外,如前所述,由于許多工程實(shí)際問(wèn)題中,描述物理現(xiàn)象的經(jīng)常是具有時(shí)變系數(shù)的超線性方程,且從控制角度考慮,必須要保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性(以及可控性,可觀性,可測(cè)性等),因此,對(duì)具有時(shí)變系數(shù)的超線性拋物系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行研究具有十分重要的意義.

在一定程度上,證明拋物系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以歸屬于偏微分方程正則性理論研究的范疇,因此許多偏微分正則性方法可以應(yīng)用于拋物系統(tǒng)穩(wěn)定性理論,例如,可以通過(guò)以下幾個(gè)基本思路對(duì)拋物系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行探究:一是方程本身就具有較好的結(jié)構(gòu)性質(zhì),如非線性項(xiàng)具有良好的“ 符號(hào)”特征(或單調(diào)性質(zhì)),則可以證明具有非時(shí)變系數(shù)的拋物系統(tǒng)的穩(wěn)定性,例如[14-15];二是通過(guò)控制器設(shè)計(jì),可以保證具有時(shí)變系數(shù)的線性拋物系統(tǒng)的穩(wěn)定性,例如[10-12];三是利用擾動(dòng)的思想研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性,例如,當(dāng)初值為零時(shí),若0為系統(tǒng)的平衡點(diǎn),則對(duì)于較小的初值,可以得到具有非時(shí)變系數(shù)的超線性拋物系統(tǒng)的穩(wěn)定性,例如[16-17].值得一提的是,對(duì)于一些具有非時(shí)變系數(shù)的拋物系統(tǒng),證明在大初值條件下解是爆破的,可以看作是思路三的逆向思維的體現(xiàn),例如[9-16].

本文基于上述思路三,在小初值的條件下,為具有時(shí)變系數(shù)的超線性拋物系統(tǒng)(1)建立不同范數(shù)意義下的漸近穩(wěn)定性.為了克服時(shí)變系數(shù)及多個(gè)超線性項(xiàng)為系統(tǒng)穩(wěn)定性的建立帶來(lái)的困難,本文將首先考察一個(gè)含時(shí)變系數(shù)的非線性常微分系統(tǒng),并證明在小初值條件下,該微分系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的,即后文的引理4.1.最后,利用Lyapunov方法,并應(yīng)用引理4.1,可以證明,在小初值條件下,具有時(shí)變系數(shù)的超線性拋物系統(tǒng)(1)在不同范數(shù)意義下均是漸近穩(wěn)定的.

盡管本文建立的是小初值前提下的超線性拋物系統(tǒng)(1)的漸近穩(wěn)定性,但由于引理4.1可以應(yīng)用于或推廣到更為廣泛的系統(tǒng),因此,本文方法也適用于具有更為一般形式的偏微分系統(tǒng),或者常微分系統(tǒng),或者抽象形式的有限維或無(wú)限維系統(tǒng)(參見(jiàn)后文注4.1及注4.3),從而,本文所使用的方法對(duì)于考察非線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性或非線性偏微分方程的正則性具有一定啟發(fā)意義.

§2 記號(hào)與常用不等式

記K:={γ:R≥0→R≥0|γ(0)=0,γ連續(xù),嚴(yán)格遞增},L:={γ:R≥0→R≥0|γ連續(xù),嚴(yán)格遞減,且,KL:={μ:R≥0×R≥0→R≥0|對(duì)于任意固定的t ∈R≥0,μ(·,t)∈K,對(duì)于任意固定的s ∈R+,μ(s,·)∈L}.

本文使用的函數(shù)空間的記號(hào)都是標(biāo)準(zhǔn)的,參見(jiàn)[9].記‖u‖q:=‖u‖Lq(Ω),?q ∈[1,+∞],特別地,記‖u‖:=‖u‖L2(Ω),‖u‖1,q:=‖u‖W1,q(Ω),?q ∈[1,+∞].未加特殊說(shuō)明外,本文出現(xiàn)的C均表示為常數(shù),各處可以取不同值;對(duì)于任意常數(shù)ε>0,C(ε)表示為依賴于ε的常數(shù),各處可以取不同值.

引理2.1[18,p313,314,119]下列插值不等式成立.

引理2.2[18,p285,290]下列Sobolev不等式成立.

§3 主要結(jié)論

本文作如下假設(shè).

(H1) 1≤N ≤2,1

(H2)N >2,2

(H3) 存在常數(shù)δ0∈[0,1)及M >0使得

其中CE為引理1.2中的Sobolev 嵌入常數(shù).

(H2’)N >2,2<2mi <2?,i=1,2,···,n.

(H3’) 在(H3)中,δ0=0,M=1.

當(dāng)a,c,f,u0及?Ω充分光滑且f滿足Bernstein-Nagumo型條件時(shí),對(duì)于任意T >0,由[7,§6,Chap.V]知,在[0,T]時(shí)間段,系統(tǒng)(1) 一定存在古典解(或強(qiáng)解),其估計(jì)式依賴于T.當(dāng)a,c,f,u0及?Ω正則性降低,且f滿足Bernstein-Nagumo型條件時(shí),則通過(guò)函數(shù)序列逼近技巧可知(1)一定存在弱解.另外,當(dāng)f不滿足Bernstein-Nagumo型條件,但a,c,f,u0及?Ω有較好的正則性時(shí),對(duì)于某個(gè)固定的常數(shù)T >0,在[0,T]時(shí)間段,(1)一定存在弱解,見(jiàn)[19].特別地,若存在p >N且p ≥2,使得弱解的W1,p-估計(jì)式關(guān)于t一致有界,則該弱解是全局的,見(jiàn)[19].因此,只要稍加條件,總可以保證系統(tǒng)(1)的古典解(或強(qiáng)解),或弱解的全局或局部存在性.由于本文重點(diǎn)在于說(shuō)明系統(tǒng)(1)的漸近穩(wěn)定性,因此,在不加強(qiáng)調(diào)的情況下,本文僅假設(shè)a,c,f是連續(xù)的及?Ω是C1-的(見(jiàn)引言部分),同時(shí)不再對(duì)初值u0,f的正則性進(jìn)行特別的說(shuō)明,所謂的解也總是使得本文每個(gè)式子都有意義.本文主要結(jié)論如下.

定理3.1記u為超線性拋物系統(tǒng)(1)的解,下面結(jié)論成立.

§4 主要結(jié)論的證明

為了證明定理3.1,先證明一個(gè)有用的結(jié)論,它可以用于判斷具有多個(gè)非線性項(xiàng)的控制系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性.

引理4.1設(shè)如下條件成立.

對(duì)于任意T >0,若y為定義在[0,T]上的非負(fù),絕對(duì)連續(xù)函數(shù),且?guī)缀跆幪帩M足如下微分不等式

其中y0≥0,則對(duì)于任意ε ∈(0,1?k),一定存在常數(shù)r?=r?(ε)>0與函數(shù)βε ∈KL,使得當(dāng)y0

注意到G(0)=0及對(duì)于任意的s ≥0,總有βε(s,0)=s.斷言由(7)定義的βε為KL-函數(shù).事實(shí)上,由于η(s),η?1(s)及G(t)均連續(xù),并注意到,則βε(s,t)關(guān)于s與t均連續(xù).由于η(s)與η?1(s)均嚴(yán)格單調(diào)遞減,則對(duì)于固定的t,βε(s,t)關(guān)于s嚴(yán)格單調(diào)遞增.由條件(i)及(7)可知,對(duì)于固定的s,.綜上,由(7)定義的βε為KL-函數(shù).

現(xiàn)令t?=inf{t ∈[0,T]|y(t)≥r?}.由于y(0)=y0

若t?∈(0,T],則由t?的定義知

從而由(5),(6)及條件(i)得

如果y0>0,由(8)可得

由η(s)的定義,并注意到η?1(s) 在[0,+∞)上單調(diào)遞減,可得

如果y0=0,由(8)可知,y(t)在[0,t?)上單調(diào)遞減,從而對(duì)于任意t ∈[0,t?)總有y(t)=0=βε(0,t)=βε(y0,t).

因此只要0≤y0

這是一個(gè)矛盾! 因此{(lán)t ∈[0,T]|y(t)≥r?}=?,即

進(jìn)而,如上述過(guò)程可證明當(dāng)y0

注4.1引理4.1的證明思想來(lái)源于[20,引理4.4].在文獻(xiàn)[20]中,g2(t)α2(y)≡0,因此引理4.1是[20,引理4.4]在系統(tǒng)具有更多個(gè)非線性項(xiàng)的情形下的推廣.并且,值得一提的是,Dini 導(dǎo)數(shù)意義下,引理4.1 的結(jié)論仍然成立.

定理3.1的證明首先,證明(i)中的結(jié)論.將(1)兩邊乘以u(píng)并積分,經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算得

再利用結(jié)構(gòu)性條件得

下面分兩種情形進(jìn)行討論.

由引理2.1(i)得

由引理2.2(ii)及Young不等式得

由(9),(10)及(H3)得

由引理2.1(ii)得

由引理2.2(i),引理2.2(ii)及Young不等式得

注意到此時(shí)仍有

類似情形1可證得結(jié)論.

其次,證明(ii)中結(jié)論.采用(i)的證明方法.事實(shí)上,將(1)兩邊乘以Δu,再積分并整理得

注意到條件(H1)(或(H2’))總可以保證

由引理4.1可知:對(duì)于任意σ ∈(0,1),一定存在常數(shù)r?=r?(σ)>0,使得當(dāng)‖?u0‖2

推論3.1的證明只需注意到(13)與(14),并關(guān)于時(shí)間變量進(jìn)行積分,則可以得到推論3.1的結(jié)論.

注4.3引理4.1可以用來(lái)處理更為廣泛的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,包括偏微分控制系統(tǒng),常微分控制系統(tǒng),以及具有抽象形式的有限維或無(wú)限維系統(tǒng).例如,考察如下非線性常微分系統(tǒng)

首先注意到y(tǒng)=0滿足方程(15a),故由比較原理可知,對(duì)于任意t ≥0,總有y ≥0.其次,注意到對(duì)于任意t ≥0,總有t ≤(1+t)ln(1+t),因此,為證明(15)的穩(wěn)定性,只需證明下面系統(tǒng)的穩(wěn)定性.(因?yàn)橛杀容^原理知,0≤y ≤z)

§5 結(jié)束語(yǔ)

本文首先證明了一類具有小初值與多個(gè)非線性項(xiàng)的時(shí)變系數(shù)常微分系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性,在此基礎(chǔ)上,獲得了一類具有時(shí)變系數(shù)與小初值的超線性拋物系統(tǒng)在不同范數(shù)意義下的漸近穩(wěn)定性.注意到本文所考察的具有時(shí)變系數(shù)的非線性常微分系統(tǒng)具有較為一般的形式,因此,本文的方法有望推廣應(yīng)用到更為廣泛的非線性偏微分系統(tǒng),以及其他控制系統(tǒng).特別地,在下一個(gè)工作中,將利用本文引理與定理的證明思想,考察一類抽象形式的無(wú)限維控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.