一類Kirchhoff型雙曲方程在任意初始能量下的有限時刻爆破

邵湘琨 唐國吉

(1.廣西民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院,廣西南寧 530006;2.廣西混雜計算與集成電路設(shè)計分析重點實驗室,廣西南寧 530006)

§1 引言

本文主要考慮如下帶有分?jǐn)?shù)次算子的Kirchhoff型雙曲方程的初邊值問題

其中Ω ?RN是一個具有Lipschitz邊界的有界區(qū)域,0

這里Bε(x)表示以x ∈RN為中心,ε>0為半徑的球,函數(shù)K:RN {0}→(0,+∞) 滿足

(k1)wK ∈L1(RN),其中w(x)=min{1,|x|2};

(k2) 存在正常數(shù)K0,使得對任意x ∈RN {0},都有K(x)≥K0|x|?N?2s.

Kirchhoff函數(shù)M滿足

(M0) 對任意的t ∈[0,+∞)和有M(t):=tθ?1,其中

此外,假設(shè)函數(shù)f:R→R滿足

(S1)f ∈C1(R),f(0)=f′(0)=0,并且在原點附近有f/≡0;

(S2) 滿足下面的(a)或(b);

(a)f(u)在R上是單調(diào)的,且在(0,+∞)上是凸函數(shù),在(?∞,0)上是凹函數(shù);

(b)f(u)在R上是凸函數(shù);

近幾十年來,分?jǐn)?shù)次Kirchhoff型方程受到國內(nèi)外專家學(xué)者的廣泛研究(見[1-7]及其參考文獻(xiàn)),它可以描繪大量的自然現(xiàn)象,能夠作為大氣流體力學(xué),金融經(jīng)濟(jì)學(xué)等諸多實際問題中的模型,在解的性質(zhì)方面也得到了許多很好的成果,比如方程解的存在性,漸進(jìn)性和爆破性質(zhì)(詳見[8-11]及其參考文獻(xiàn))等.

特別地,當(dāng)Kirchhoff函數(shù)M滿足假設(shè)(M0)并且f滿足假設(shè)(S1)-(S4)時,問題(1)已經(jīng)在文獻(xiàn)[12]中被研究,通過應(yīng)用Galerkin方法以及勢阱法(參見[13]),Pan-Pucci-Zhang討論了問題解的真空隔離現(xiàn)象,得到了解在低初始能量和臨界初始能量下的全局存在性以及低初始能量時的有限時刻爆破性質(zhì).一個自然的問題是:問題(1)的解是否在任意高初始能量下有限時刻爆破呢?這是本文研究的主要動機.

本文找到了一個與勢阱深度無關(guān)的有限時刻爆破條件,進(jìn)一步利用此爆破條件得到了問題(1)的解在任意高初始能量時的有限時刻爆破結(jié)果.此工作進(jìn)一步擴展了文獻(xiàn)[12]中得到的爆破結(jié)果.

本文余下部分這樣安排:§2給出一些預(yù)備知識,并列出一些重要的引理;§3給出本文的主要結(jié)果.

§2 預(yù)備知識

在這一節(jié),先回顧分?jǐn)?shù)次Sobolev空間的一些定義和性質(zhì)(見[12]).用(·,·)表示空間L2(Ω)的內(nèi)積,用‖·‖p表示空間Lp(Ω),p ∈[1,+∞]的范數(shù).

設(shè)W是由Lebesgue可測函數(shù)u:RN→R 構(gòu)成的線性空間,并且滿足u ∈L2(Ω)和?u(y)|2K(x ?y)dxdy <+∞,其中Q=R2N (C(Ω)×C(Ω)),C(Ω)=RN Ω.其范數(shù)定義為

接著定義線性閉子空間W0={u ∈W:u(x)=0在RN Ω上幾乎處處成立},其范數(shù)與(2)等價(見[14]),

由條件(k1)和[15,引理6]可知,空間W0連續(xù)嵌入到空間Lq(Ω),q ∈[1,],因此對任意的u ∈W0和q ∈[1,],存在正常數(shù)Cq,使得‖u‖q ≤Cq‖u‖W0.

考慮關(guān)于算子LK的特征值問題(見[9])

定義上述問題的第一特征值λ1為

進(jìn)一步可以得到

接著,由[12],以下回顧一系列泛函.

問題(1)的能量泛函為

勢阱能量泛函為

對應(yīng)的Nehari泛函為

問題(1)的弱解定義如下.

定義2.1如果函數(shù)u(x,t)滿足u ∈L∞(0,∞;W0),ut ∈L∞(0,∞;L2(Ω)),且

其中u(x,0)=u0∈W0,ut(x,0)=u1∈L2(Ω),T為解的最大存在時間,那么就稱u=u(x,t)是問題(1)的弱解.

下面這個引理(見[16-17])主要用于方程的解在有限時刻爆破的證明,而且可以用于估計爆破時間的上界.

引理2.1設(shè)0

其中ζ是個正常數(shù).如果M(0)>0,M′(0)>0,那么limt→T M(t)=+∞,而且

下面給出了關(guān)于方程組(1)的能量不等式(見[12]).

引理2.2假設(shè)(M0)成立,f滿足(S1)-(S4),T為解u的最大存在時間,則有

除此之外,回顧[12,引理3.3]如下.

引理2.3假設(shè)(M0)成立,f滿足(S1)-(S4),u ∈W0,u≠0,?是非負(fù)實數(shù),則有

下面給出I和E的一個關(guān)系式.

引理2.4假設(shè)(M0)成立,f滿足(S1)-(S4),u是問題(1)的弱解,則有

證利用(6),(5),(4)及假設(shè)(S4),簡單證明如下.

§3 主要結(jié)果

本節(jié)給出本文的主要結(jié)果.設(shè)u(x,t),t ∈[0,T)是問題(1)的弱解.

定理3.1假設(shè)(M0)成立,f滿足(S1)-(S4),u0∈W0,如果

那么問題(1)的弱解u在有限時刻T爆破,即

另外,若(i)成立,則有爆破時間T的上界估計

其中

若(ii)成立,則有爆破時間T的上界估計

設(shè)函數(shù)V(t):=(ut,u),t ∈[0,T),則由I(u)的定義得

下面把證明過程分為兩種情況進(jìn)行討論.

情況1(p ?1)θ >(p+1?2θ),初始能量E(0) 滿足(9).

首先證明對任意的t ∈[0,T),都有I(u)<0和(ut,u)≥(u1,u0).依次利用引理2.4,(2),(13),Schwarz不等式和條件(9)可得到I(u0)<0,詳細(xì)過程如下.

假如I(u)<0,?t ∈[0,T)不成立,那么一定存在一個時刻t0∈(0,T),使得I(u(t0))=0且在[0,t0)有I(u)<0,那么對于?t ∈[0,t0)有V′(t)>0,即V(t) 在[0,t0)單調(diào)遞增,故(u1,u0)<(ut(t0),u(t0)).

由能量不等式(8),I(u(t0))=0,引理2.4,(2),(13),Schwarz不等式,(u1,u0)<(ut(t0),u(t0)),有

這與(9)矛盾.因此I(u)<0,?t ∈[0,T)成立.從而,V(t)在[0,T) 單調(diào)遞增,即(ut,u)≥(u1,u0),?t ∈[0,T).

接下來證明問題(1)解的有限時刻爆破性質(zhì),并估計爆破時間的上界.對于任意的T0∈(0,T),定義如下函數(shù)

其中α,β為正常數(shù).容易算得F′(t)=2(u,ut)+2α(β+t),再用Schwarz不等式,可以得到

依次利用I(u)的定義,引理2.4,(2),(8),(13),有

再結(jié)合Schwarz不等式以及(ut,u)≥(u1,u0),?t ∈[0,T),可以得到

其中由(9)可知

把上述關(guān)于(F′(t))2和F′′(t)的結(jié)果代入下式,很容易得到

時,有F′(0)>0.進(jìn)一步,由引理2.1可得

其中φ:=αβ,又由(15)可得到

由(14)可得

現(xiàn)在求g(φ,β)的下確界,其中φ滿足(16),β滿足(17),則

類似于情況1.首先證明對任意的t ∈[0,T),都有I(u)<0和(ut,u)≥(u1,u0).使用引理2.4,(2),(13),Schwarz不等式和(10)可得到I(u0)<0,詳細(xì)過程如下.

假如I(u)<0,?t ∈[0,T)不成立,那么一定存在一個時刻t1∈(0,T),使得I(u(t1))=0且在[0,t1)有I(u)<0,那么對于?t ∈[0,t1)有V′(t)>0,即V(t)在[0,t1)單調(diào)遞增,故(u1,u0)<(ut(t1),u(t1)).

根據(jù)(8),I(u(t1))=0,引理2.4,(2),(13),Schwarz不等式,(u1,u0)<(ut(t1),u(t1)),有

與(10)矛盾.因此I(u)<0,?t ∈[0,T).從而V′(t)>0,V(t)在[0,T)單調(diào)遞增,即(ut,u)≥(u1,u0),?t ∈[0,T).

接下來證明問題(1)解的有限時刻爆破性質(zhì),并估計爆破時間的上界.對于任意的T1∈(0,T),定義如下函數(shù)

其中ω,ν為正常數(shù).容易算得

再用Schwarz不等式,可以得到

由(6),引理2.4,(2),(8)和(13),有

再結(jié)合Schwarz不等式以及(ut,u)≥(u1,u0),?t ∈[0,T),可以得出

由(10)可知

把上述(G′(t))2和G′′(t) 的結(jié)果代入下式,很容易得到

時,有G′(0)>0.進(jìn)一步由引理2.1可得

其中ξ:=ων,又由(19)可得

由(18)可得

現(xiàn)在求h(ξ,ν)的下確界,其中ξ滿足(20),ν滿足(21),則

由T1∈(0,T)的任意性可得

注1定理3.1展現(xiàn)了一個新的與d無關(guān)的有限時刻爆破條件,而且這個條件蘊含著I(u0)<0.因此,與[12]中定理5.6 相比,它不需要再考慮Nehari泛函的初始值I(u0)的符號問題.

定理3.2假設(shè)(M0)成立,f滿足(S1)-(S4),u0∈W0,u=u(x,t)是問題(1)的弱解,那么問題(1)的解在任意高初始能量下是有限時刻爆破的,即不論E(0)取何值,都有

證可以取得σ(x)∈W0和γ(x)∈L2(Ω),且σ(x),γ(x)≠0,使得(σ(x),γ(x))=0.對任意的常數(shù)D,令

其中a,b為正常數(shù).容易算得

由E(t)的定義,有

令引理2.3中u=σ,?=a,得到

接下來從兩種情況進(jìn)行分析,證明問題(1)的解在任意高初始能量下有限時刻爆破.

情況1.

根據(jù)(23),能夠找到足夠大的a使得

對上述a,取

對上面取得的a和b,令

再結(jié)合(22),(24),(25),可以得到,

即初始能量E(0)滿足(9),結(jié)合定理3.1 的(i),有

情況2.

根據(jù)(23),能夠找到足夠大的a使得

對上面取得的a和b,令

再結(jié)合(22),(26),(27),可以得到

即初始能量E(0)滿足(10),結(jié)合定理3.1 的(ii)可得

注2定理3.2得到了問題(1)的解在任意高初始能量下的有限時刻爆破,是對[12]中定理5.6的低初始能量下爆破結(jié)果的進(jìn)一步推廣.