一類平面等時(shí)中心的極限環(huán)分支

魏怡倩,梁海華

(廣東技術(shù)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510665)

§1 引言

平面微分系統(tǒng)定性理論中一個(gè)重要的問題是確定極限環(huán)的個(gè)數(shù).極限環(huán)是指平面系統(tǒng)的孤立閉軌,它的個(gè)數(shù)和分布狀況在很大程度上決定了系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)行為.正因如此,探討極限環(huán)的個(gè)數(shù)問題一直是微分動(dòng)力系統(tǒng)定性理論的一個(gè)熱點(diǎn)課題.著名的Hilbert第十六個(gè)問題的第二部分就是求所有n次平面多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)及其位置分布情況.盡管這個(gè)問題至今仍未取得實(shí)質(zhì)性進(jìn)展,但人們?cè)谘芯克倪^程中發(fā)展了很多方法和技術(shù),獲得了豐富的成果.特別是,人們發(fā)現(xiàn)了產(chǎn)生極限環(huán)的某些機(jī)理.其中一個(gè)重要機(jī)理是所謂的Poincare分支:平面系統(tǒng)的周期環(huán)域(即圍繞中心奇點(diǎn)的閉軌族)受到適當(dāng)?shù)臄_動(dòng)后將產(chǎn)生極限環(huán),詳見[1]的介紹.

研究Poincare分支的方法主要有Menikov函數(shù)法和平均函數(shù)法.如果系統(tǒng)的擾動(dòng)項(xiàng)僅有一個(gè)擾動(dòng)參數(shù),則上述兩種方法是等價(jià)的,即對(duì)同樣的k,由k階Menikov函數(shù)和k階平均函數(shù)所確定的極限環(huán)個(gè)數(shù)是一樣的.這個(gè)看似顯然的結(jié)論,直到2016年才由韓茂安等人給出嚴(yán)格的證明[2].迄今,已有很多文獻(xiàn)使用這兩種方法來討論平面系統(tǒng)的極限環(huán)分支問題.2016 年,文[3]利用一階平均法研究了如下系統(tǒng)

他們證明了,當(dāng)n分別等于0和1且擾動(dòng)參數(shù)ε充分小時(shí),從未擾系統(tǒng)(1)ε=0的周期環(huán)域分支出極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)為3和8.

由[3]的證明過程容易看出,對(duì)于n=0的情形,該問題的討論非常簡(jiǎn)單.當(dāng)n=1時(shí),文獻(xiàn)[3]所給出的結(jié)論是:未擾系統(tǒng)(1)ε=0的周期環(huán)域在所有不超過五次的多項(xiàng)式擾動(dòng)下產(chǎn)生的極限環(huán)最大個(gè)數(shù)為8.于是,很自然地產(chǎn)生以下幾個(gè)有趣的問題:當(dāng)n=1時(shí),

(1) 哪些類型的擾動(dòng)能使得系統(tǒng)(1)ε=0產(chǎn)生8個(gè)極限環(huán)? 如,四次多項(xiàng)式擾動(dòng)是否也能夠產(chǎn)生8個(gè)極限環(huán)?

(2) 更一般地,一次,二次,三次,四次多項(xiàng)式分別能擾動(dòng)出多少個(gè)極限環(huán)?

(3) 如果換成超過五次的多項(xiàng)式擾動(dòng),是否可以產(chǎn)生超過8個(gè)的極限環(huán)? 系統(tǒng)產(chǎn)生極限環(huán)個(gè)數(shù)的上界與擾動(dòng)項(xiàng)的次數(shù)是否存在某些規(guī)律?

對(duì)于上述問題,從文獻(xiàn)[3]的結(jié)論以及證明過程中,均沒能得到答案.因此,本文將展開這方面的探討.

當(dāng)n ∈N時(shí),未擾系統(tǒng)(1)ε=0

具有唯一的有限平衡點(diǎn)(0,0),它是一個(gè)一致等時(shí)中心(其定義見本文的第二節(jié)).系統(tǒng)(2)受到單參數(shù)的m次多項(xiàng)式擾動(dòng)后變成

其中ε是一個(gè)充分小的參數(shù),m ∈Z+,aij,bij ∈R.

記H(m)為利用一階平均法獲得的系統(tǒng)(3)從未擾系統(tǒng)(2)的周期環(huán)域分支出極限環(huán)的最大個(gè)數(shù).以下兩個(gè)定理是本文的主要結(jié)果.

定理1.1當(dāng)系統(tǒng)(2)的次數(shù)n ∈N時(shí),對(duì)任何正整數(shù)k均有H(2k ?1)=H(2k).

定理1.2當(dāng)n=1時(shí),H(1)=H(2)=1,H(3)=H(4)=4,H(5)=H(6)=8.

§2 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)將介紹關(guān)于一致等時(shí)中心,一階平均法以及Chebyshev判據(jù)的知識(shí),下一節(jié)將根據(jù)這些知識(shí)證明本文的主要結(jié)論.

定義2.1設(shè)p ∈R2是平面微分系統(tǒng)的中心,不失一般性,設(shè)p為坐標(biāo)原點(diǎn).若存在一個(gè)p點(diǎn)的鄰域,其軌線的周期均為相同的常數(shù),則稱p為等時(shí)中心.若該微分系統(tǒng)在極坐標(biāo)變換下有如下形式:=G(θ,r),=k,k ∈R{0},則稱p為一致等時(shí)中心.

在極坐標(biāo)變換下,系統(tǒng)(2)可化為下列等價(jià)微分方程

關(guān)于一致等時(shí)中心的更多介紹,請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[4].下面介紹專著[5-6]中的連續(xù)微分系統(tǒng)的一階平均法.關(guān)于平均法的一般介紹可以參考專著[7-8].

考慮從如下微分系統(tǒng)分支出的T-周期解

其中ε是一個(gè)充分小的參數(shù),F0,F1:R×Ω→Rn,F2:R×Ω ×(?ε0,ε0)→Rn關(guān)于t是T周期的C2函數(shù),Ω是Rn的一個(gè)開子集.設(shè)系統(tǒng)(4)的未擾動(dòng)系統(tǒng)

有一個(gè)維數(shù)為n的周期解,x(t,z,ε)是系統(tǒng)(5)滿足初始條件x(0,z,ε)=z的解.把系統(tǒng)(5)沿周期解x(t,z,0)的線性部分記作

用Mz(t)表示線性微分系統(tǒng)的基本解矩陣.

引理2.2假設(shè)存在一個(gè)有界的開集V滿足Cl(V)?Ω,使得對(duì)于任意的z ∈Cl(V),x(t,z,0) 是以T為周期的周期解.對(duì)于函數(shù)

若存在α ∈V使得F(α)=0,且det((dF/dz)(a))≠0,則系統(tǒng)(4)存在一個(gè)周期為T的解x(t,ε),當(dāng)ε→0時(shí),x(0,ε)→0.

下面再介紹判別由多個(gè)函數(shù)的線性組合產(chǎn)生的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的一個(gè)有用工具.

定義2.3令f1(s),f2(s),···,fn(s)為開區(qū)間D ?R上的n個(gè)解析函數(shù),稱

是區(qū)間D上的Extended Complete Chebyshev系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱ECT-系統(tǒng)),若對(duì)所有的k=1,2,···,n,任何線性組合

在區(qū)間D上至多有k ?1個(gè)零點(diǎn)(包括重次).

引理2.4(見[9]) (f1(s),f2(s),···,fn(s))在區(qū)間D上為ECT-系統(tǒng),當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有的k=1,2,···,n和x ∈D,Wronskian行列式(f1(s),f2(s),···,fn(s))

§3 主要定理的證明

3.1 定理1.1的證明

為了應(yīng)用引理2.2,作極坐標(biāo)變換x=rcosθ,y=rsinθ.當(dāng)m分別等于2k ?1和2k(k ∈Z+)時(shí),系統(tǒng)(3)在極坐標(biāo)下分別化為

這里C=cosθ,S=sinθ.本文的剩余部分也將采用這種記號(hào).

方程(8)ε=0,(9)ε=0有一個(gè)滿足r(0,r0)=r0的周期解

其中0

Υ2k+1(C,S)和Υ2k+3(C,S)分別是關(guān)于C,S的2k+1,2k+3次齊次式.

由此,得到F2k(r0)?F2k?1(r0)=0,即F2k?1(r0)=F2k(r0),k ∈Z+.由引理2.2可知平均函數(shù)F2k?1(r0)與F2k(r0)的最大零點(diǎn)個(gè)數(shù)相等,即對(duì)于任意自然數(shù)n,系統(tǒng)(3)m=2k?1和(3)m=2k從原點(diǎn)的周期環(huán)域分支出極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)相等.因此當(dāng)k ∈Z+時(shí),H(2k ?1)=H(2k).

3.2 定理1.2的證明

本節(jié)始終假定n=1.將依次證明H(5)=H(6)=8,H(1)=H(2)=1和H(3)=H(4)=4.

首先文獻(xiàn)[3]利用一階平均法得到了系統(tǒng)(3)m=5從原點(diǎn)的周期環(huán)域最多可以分支出8個(gè)極限環(huán),并且這個(gè)上界是可達(dá)的.因此,由定理1.1可以得到H(5)=H(6)=8.

其次證明H(1)=H(2)=1.系統(tǒng)(3)m=1在極坐標(biāo)變換下化為

其中R0,1(θ,r)=r5cosθsinθ,

不難驗(yàn)證常數(shù)4(a10+b01),?(a10+7b01)是相互獨(dú)立的,因此,F1(r0)在區(qū)間(0,2?1/4)上至多有1個(gè)零點(diǎn),并且通過選取合適的a10,b01可使其具有1個(gè)零點(diǎn).

根據(jù)引理2.2知,系統(tǒng)(3)m=1從原點(diǎn)的周期環(huán)域最多可以分支出1個(gè)極限環(huán),并且這個(gè)上界是可以達(dá)到的.利用定理1.1可得H(1)=H(2)=1.

本節(jié)的最后將致力于證明H(3)=H(4)=4.

引理3.1利用一階平均法,系統(tǒng)(3)m=3從原點(diǎn)的周期環(huán)域分支出極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)等于以下函數(shù)的簡(jiǎn)單零點(diǎn)的最大個(gè)數(shù)

其中b1,b2,···,b5是相互獨(dú)立的任意常數(shù),

根據(jù)教育部辦公廳《關(guān)于開展全國(guó)農(nóng)村學(xué)校藝術(shù)教育實(shí)驗(yàn)工作的通知》（教體藝廳[2000]1號(hào)）精神，湛江市霞山區(qū)于2013年被教育部確定為“全國(guó)農(nóng)村學(xué)校藝術(shù)教育實(shí)驗(yàn)區(qū)”，并于2016年底順利通過省級(jí)驗(yàn)收。

這里g1(s)=2E(1?s2),g2(s)=2s2K(1?s2),K和E分別為第一類和第二類完全橢圓積分,

證作極坐標(biāo)變換,系統(tǒng)(3)m=3化成下列等價(jià)微分方程

不難驗(yàn)證常數(shù)e0,e1,···,e6是相互獨(dú)立的.通過計(jì)算得到

由此得到

其中f1(s),···,f5(s)是定義在(11)的函數(shù).常數(shù)b1,b2,···,b5均是α1,α2,···,α6,α7的線性組合,不難驗(yàn)證b1,b2,···,b5是相互獨(dú)立的.根據(jù)引理2.2可知,系統(tǒng)(3)m=3從原點(diǎn)的周期環(huán)域分支出極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)等于函數(shù)(11)的簡(jiǎn)單零點(diǎn)的最大個(gè)數(shù).

為了估計(jì)(11)的簡(jiǎn)單零點(diǎn)的最大個(gè)數(shù),需要用到引理2.4.用Wi(s)表示函數(shù)f1(s),···,fi(s)的Wronskian行列式

下面將證明Wi(s)≠0,i=1,···,5. 通過直接計(jì)算可以得到

為了簡(jiǎn)化計(jì)算,設(shè)s=(1?r2)/(1+r2),

引理3.2[3]函數(shù)h=(r)是下列微分方程的解

引理3.3W4(s)≠0,s ∈(0,1).

證設(shè)s=(1?r2)/(1+r2),r ∈(0,1).根據(jù)W4(s)的定義可得

顯然,p8(r)>0,C42(r)<0,r ∈(0,1).設(shè)曲線C在(r,h)平面的兩條分支為

直接計(jì)算并應(yīng)用Sturm定理可以得到

其中p11(r),p61(r)分別是關(guān)于r的階數(shù)為11,61的多項(xiàng)式.因此曲線C+與Υ1,Υ2無交點(diǎn).特別地,當(dāng)r=1/4時(shí)有

因此曲線C+總在曲線Υ1和Υ2的上方.

一方面,利用(13)通過計(jì)算可得

得到曲線Υ1與Γ有唯一的交點(diǎn)r1.特別地,當(dāng)r ∈(0,r1) 時(shí),曲線Υ1在Γ的下方,當(dāng)r ∈(r1,1)時(shí),曲線Υ1在Γ的上方.

另一方面,利用(13) 通過計(jì)算得

根據(jù)曲線C+,Υ1,Υ2,Γ的相對(duì)位置關(guān)系,具體見圖1,可以得到曲線C+總在曲線Γ的上方.

圖1 曲線C+與Γ無交點(diǎn)

其次基于以下三點(diǎn),可以得出曲線C?總在曲線Γ的下方.

(1) 由引理3.2可知:曲線?？傇趆(r)=1的上方,r ∈(0,1);

(2) 由C40(r)+C41(r)+C42(r)=4r2可知:曲線C?與h(r)=1無交點(diǎn),r ∈(0,1);

綜上所述,可知曲線C+,C?與Γ無交點(diǎn),因此ˉW4(r)≠0,即W4(s)≠0.

引理3.4W5(s)≠0,s ∈(0,1).

證設(shè)s=(1?r2)/(1+r2),r ∈(0,1).根據(jù)W5(s)的定義可得

通過直接計(jì)算可以發(fā)現(xiàn),C53(r)在區(qū)間(0,1)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)r2,其中,當(dāng)r ∈(0,r2)時(shí),C53(r)<0,當(dāng)r ∈(r2,1)時(shí),C53(r)>0.由于當(dāng)r=r2時(shí),(r)≠0.因此r=r2不是(r)的零解.

為了簡(jiǎn)化計(jì)算,定義

在平面(r,h)的交點(diǎn)個(gè)數(shù),下面研究曲線Γ與曲線C的相對(duì)位置關(guān)系.

圖2 曲線C與Γ無交點(diǎn)

第一 證明曲線C2總在曲線Γ的上方.由于曲線Γ不是一條代數(shù)曲線,為了簡(jiǎn)化計(jì)算,需要構(gòu)造一條輔助曲線Υ3:h=Φ3(r),r ∈(0,r2),其中

通過直接計(jì)算,并應(yīng)用Sturm定理可以得到

其中p89(r)是關(guān)于r的階數(shù)為89的多項(xiàng)式.因此,曲線C2與Υ3無交點(diǎn).特別地,當(dāng)直線r=1/2與曲線C2,Υ3交于點(diǎn).由于

因此曲線C2總在曲線Υ3的上方.

同時(shí)利用(13)直接計(jì)算得到

由計(jì)算可知上式在r ∈(0,r2)上恒正.因此曲線Υ3和向量場(chǎng)(13)無切觸點(diǎn),并且方程(13)的軌線由曲線Υ3的上方穿向下方,注意到

由于當(dāng)r ∈(0,r2)時(shí),,故曲線Υ3總在Γ的上方.根據(jù)曲線C2,Υ3,Γ的相對(duì)位置關(guān)系,可以得到曲線C2總在曲線Γ的上方.

第二 證明曲線C3總在曲線Γ的下方.構(gòu)造一條輔助曲線Υ4:h=Φ4(r),r ∈(0,r2),其中

通過直接計(jì)算,并應(yīng)用Sturm定理可以得到

其中p91(r)是關(guān)于r的階數(shù)為91的多項(xiàng)式.因此曲線C3與Υ4無交點(diǎn).特別地,當(dāng)直線r=1/2與曲線C3,Υ4交于點(diǎn),由于

因此,曲線C3總在曲線Υ4的下方.

同時(shí)利用(13)直接計(jì)算得到

由此易知上式在r ∈(0,r2)上恒負(fù).因此,曲線Υ4和向量場(chǎng)(13)無切觸點(diǎn),并且方程(13)的軌線由曲線Υ4的下方穿向上方,注意到

由于當(dāng)r ∈(0,r2)時(shí),,故曲線Υ4總在Γ的下方.根據(jù)曲線C3,Υ4,Γ的相對(duì)位置關(guān)系,可以得到曲線C3總在曲線Γ的下方.

第三 證明曲線C4總在曲線Γ的下方.構(gòu)造一條輔助曲線Υ5:h=Φ5(r),r ∈(r2,1),其中

通過直接計(jì)算,并應(yīng)用Sturm定理可以得到

其中p22(r)是關(guān)于r的階數(shù)為22的多項(xiàng)式.因此曲線C4與Υ5無交點(diǎn).特別地,當(dāng)直線r=4/5與曲線C4,Υ5交于點(diǎn),由于

因此曲線C4總在曲線Υ5的下方.

同時(shí)利用(13)直接計(jì)算得到

當(dāng)r→1?時(shí),+···,則有

由于當(dāng)r ∈(r2,1)時(shí),,故曲線Υ5在Γ的下方.根據(jù)曲線C4,Υ5,Γ的相對(duì)位置關(guān)系,可以得到曲線C4總在曲線Γ的下方.

第四 基于以下三點(diǎn),可以得出曲線C1,C5,C6總在曲線Γ的下方.

(1) 由引理3.2可知:曲線?？傇趆(r)=1的上方,r ∈(0,1);

(2) 由C50(r)+C51(r)+C52(r)+C53(r)=?32(r4+4r6+r8)可知:曲線C1,C5,C6均與h(r)=1無交點(diǎn),r ∈(0,1);

(3) 曲線C1,C5,C6分別是過點(diǎn)的連續(xù)曲線,其中

綜上所述,可知曲線C與Γ無交點(diǎn),因此(r)≠0,即W5(s)≠0.

根據(jù)引理3.3,3.4及引理2.4便知(f1(s),f2(s),···,f5(s))在區(qū)間(0,1)上為ECT-系統(tǒng).利用引理2.2和引理3.1可知,當(dāng)n=1時(shí),系統(tǒng)(3)m=3從原點(diǎn)的周期環(huán)域最多可以分支出4個(gè)極限環(huán),并且這個(gè)上界是可以達(dá)到的.由定理1.1便證得H(3)=H(4)=4.