具有隨機(jī)收入和擴(kuò)散干擾的相型風(fēng)險(xiǎn)模型的 期望折現(xiàn)罰函數(shù)

黎 琴

(菲律賓圣保羅大學(xué) 工商管理學(xué)院,菲律賓 土格加勞 3500)

1 模型與假設(shè)

在保險(xiǎn)數(shù)學(xué)研究中,許多文獻(xiàn)假設(shè)索賠到達(dá)時(shí)間的間距服從phase-type 分布,因?yàn)閜hase-type 分布包括了指數(shù)分布、超指數(shù)分布、Erlang(n)分布等,因此,研究這類更新風(fēng)險(xiǎn)模型,可以得到具有更一般性的結(jié)論.文[1]研究索賠到達(dá)時(shí)間間距服從phase-type 分布風(fēng)險(xiǎn)模型中的期望折現(xiàn)罰函數(shù),文[2]推廣了文[1]中的風(fēng)險(xiǎn)模型,考慮兩類索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的期望折現(xiàn)罰函數(shù).文[3]基于文[2]提出的風(fēng)險(xiǎn)模型,研究直到破產(chǎn)時(shí)的總紅利支付問題.文[4]探索帶擴(kuò)散干擾多閾值兩類索賠更新風(fēng)險(xiǎn)模型,當(dāng)兩類索賠到達(dá)時(shí)間間距均服從phase-type 分布時(shí),得到期望折現(xiàn)罰函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).這些文獻(xiàn)都假設(shè)單位時(shí)間年金收入率為一個(gè)常數(shù)或?yàn)殡A梯函數(shù).

近年來(lái),隨機(jī)年金收入的保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型研究得到廣泛的關(guān)注.文[5]假設(shè)年金收入到達(dá)過程為Poisson過程時(shí),研究索賠過程為復(fù)合Poisson 過程風(fēng)險(xiǎn)模型中的期望折現(xiàn)罰函數(shù).文[6]考慮索賠數(shù)量與索賠到達(dá)過程具有相依關(guān)系時(shí)的期望折現(xiàn)罰函數(shù).

本文在文[7]研究的具有隨機(jī)收入的更新風(fēng)險(xiǎn)模型中引入擴(kuò)散干擾項(xiàng),在索賠到達(dá)時(shí)間間距服從phase-type 分布時(shí),探索期望折現(xiàn)罰函數(shù)和破產(chǎn)概率的相關(guān)性質(zhì).

考慮具有隨機(jī)年金收入和擴(kuò)散干擾的保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型

其中u≥ 0為初始資本; {M(t);t≥ 0}是參數(shù)為λ＞ 0的Poisson 過程,表示到時(shí)刻t時(shí)的年金收入次數(shù); {Xi;i≥ 1}是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,表示第i次的年金收入數(shù)量,其分布函數(shù)為F(x),x≥ 0,且概率密度函數(shù)f(x)=F′(x),Laplace 變換表示到時(shí)刻t時(shí)的索賠到達(dá)次數(shù); {Yi;i≥ 1}是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,表示第i次的索賠數(shù)量,其分布函數(shù)為且概率密度函數(shù)g(x)=G′(x)以及Laplace 變換{B(t);t≥ 0}為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng);σ＞ 0表示擴(kuò)散系數(shù).設(shè){M(t);t≥ 0},{N(t);t≥ 0},{Xi;i≥ 1},{Yi;i≥ 1}和{B(t);t≥ 0}相互獨(dú)立.索賠到達(dá)時(shí)間間距Ti(i=1,2,… )的分布函數(shù)K(t)服從PH(α,A)分布,其中是n×n矩陣,滿足aii＜ 0,當(dāng)i≠j時(shí),aij≥ 0和且a=-Aen,en是分量均為1 的n維列向量,eT是e的轉(zhuǎn)置,I表示單位矩陣.由文[8]可知,K(t) = 1-αTeAten,t≥ 0;k(t)=αTeAta,t≥ 0和

根據(jù)phase-type 分布的定義,索賠時(shí)間間距Ti(i=1,2,… )對(duì)應(yīng)于終止連續(xù)時(shí)間Markov 鏈到達(dá)吸收狀態(tài)時(shí)間,其中有n個(gè)瞬時(shí)狀態(tài){S1,S2,…,Sn}和一個(gè)吸收態(tài){S0}.

定義最終破產(chǎn)時(shí)間τ=inf{t|R(t) ≤ 0},若對(duì)任意t≥ 0都有R(t) ＞ 0,則τ=∞.R(τ- )表示破產(chǎn)前瞬時(shí)盈余,| R(τ)|為破產(chǎn)時(shí)赤字.破產(chǎn)概頻

I(E)為集E的示性函數(shù),即期望折現(xiàn)罰函數(shù)

其中δ≥ 0,w(x1,x2)是一個(gè)非負(fù)函數(shù),定義域?yàn)閇0,∞ ) ×[0,∞ ).

設(shè)mi(u)表示R(0)=u,時(shí)的期望折現(xiàn)罰函數(shù),即

因此,有

其中m(u) ≡(m1(u),m2(u),… ,mn(u))T.

2 m(u)滿足的積分-微分方程

考慮極小的時(shí)間區(qū)間(0,)ε,易知,有且僅有下列五種情況發(fā)生: (1)沒有收入到達(dá)也沒有狀態(tài)轉(zhuǎn)移; (2)有一次收入到達(dá)且沒有狀態(tài)轉(zhuǎn)移; (3)有一次狀態(tài)轉(zhuǎn)移但沒有發(fā)生索賠且沒有一次收入到達(dá); (4)有一次索賠發(fā)生但沒有一次收入到達(dá); (5)兩次或以上事件發(fā)生.因此

利用Itó公式

對(duì)式(6)進(jìn)行整理,并令ε→0 ,得

式(7)可以重寫為

將式(8)寫成矩陣的形式,可得到下面結(jié)論:

定理1期望折現(xiàn)罰函數(shù)向量m(u)滿足積分-微分方程

注1當(dāng)σ= 0時(shí),上式即為文[7]中的式(2.4).

注2當(dāng)索賠到達(dá)過程為超指數(shù)分布時(shí),即

由定理1,可得

注3當(dāng)索賠到達(dá)過程為廣義Erlang(n)分布時(shí),此時(shí)

由定理1 容易推出

3 年金收入量服從超指數(shù)分布

假設(shè)年金收入量服從超指數(shù)分布,即

其中β1＜β2＜ …＜βn,Gi＞ 0,且G1+G2+ …+Gn=1,則分布函數(shù)

定義算子Tr,

其中 ?(r) ≥0.容易驗(yàn)證: (1)即為f的拉普拉斯變換; (2)TrTsf(x)=算子Tr的其它性質(zhì)可參考文[9].

注意到,對(duì)i=1,2,…,n,s≠βj,j=1,2,… ,n有

其中 Φ*(s)表示 Φ(s)的伴隨矩陣.

由文[5],利用Rouché定理,當(dāng)δ＞ 0時(shí),推廣的Lundberg 方程det[ Φ(s)] =0恰好有n個(gè)實(shí)部大于0的根,不妨設(shè)為ρ1,ρ2,…,ρn.當(dāng)δ→ 0+時(shí),則ρi(δ)→ρi(0),i=1,2,… ,n,且s= 0為L(zhǎng)undberg 方程det[ Φ(s)] =0的一個(gè)根.為簡(jiǎn)單起見,下面假設(shè)ρ1,ρ2,… ,ρn各不相同.

當(dāng)設(shè)定初值條件m(0),m′ (0)時(shí),由式(16),可解得

為了進(jìn)一步的推導(dǎo),首先引入矩陣差商的定義.矩陣 Φ(s)關(guān)于不同的數(shù)r1,r2,…的差商為

由式(16),有

同時(shí),由于s=ρ2是式(17)最后一個(gè)等式大括號(hào)內(nèi)式子的一個(gè)零點(diǎn),因此

當(dāng)i= 1時(shí),Φ*[ρ1,ρi]=Φ*(ρ1).將上式代入式(17),由s=ρ3,ρ4,… ,ρn也是式(15)分子的根,可得如下結(jié)論:

定理2期望折現(xiàn)罰函數(shù)的拉普拉斯變換為

當(dāng)索賠數(shù)量分布函數(shù) ( )G x為有理分布函數(shù)族,即其拉普拉斯變換為有理分式時(shí),利用文[7]的相似推導(dǎo),可以得到期望折現(xiàn)罰函數(shù)的顯式解.