用改進(jìn)的直接法求解非線性Possion方程

謝元喜

(湖南理工學(xué)院 物理與電子科學(xué)學(xué)院,湖南 岳陽414006)

0 引言

很多自然現(xiàn)象和規(guī)律本質(zhì)上是非線性的,因此如何求解這些反映自然現(xiàn)象和規(guī)律的非線性演化方程就顯得尤為重要.目前已有許多學(xué)者致力于這方面的研究,并提出一些求解非線性演化方程的方法[1～7].Sirendaoreji和Sun[8]通過引入一個(gè)特殊的輔助常微分方程,提出一種求解某些超越非線性演化方程的直接法,并用它求得非線性Possion方程的幾個(gè)顯式精確解.受該文啟發(fā),本文通過引入一個(gè)一般的輔助常微分方程,對(duì)Sirendaoreji和Sun的方法做了一定程度改進(jìn),提出一種改進(jìn)的直接法,并用它求得非線性Possion方程的更多顯式精確解.

1 非線性Possion 方程的求解

非線性Possion方程是非線性數(shù)學(xué)物理中一個(gè)十分重要的方程,它在許多數(shù)學(xué)物理理論以及工程實(shí)際中有著非常廣泛的應(yīng)用.其一般形式為

對(duì)式(1)做行波變換

可將其化為非線性常微分方程

為便于求解方程(3),Sirendaoreji 和Sun 假設(shè)其中的u(ξ)滿足如下特殊的輔助常微分方程 并據(jù)此求得非線性Possion 方程的幾個(gè)顯式精確解.

為了求得非線性Possion 方程的更多顯式精確解,本文將輔助常微分方程(4)修改為以下一般的形式

其中ak(k=0,1,2,…) 和bk(k= 1,2,… )為待定常數(shù),而正整數(shù)n可由主項(xiàng)分析法確定.

利用公式

并將式(6)代入式(5),同時(shí)結(jié)合主項(xiàng)分析法可求得n=1 .于是,式(5)變?yōu)?/p>

只要求得方程(7)的解,就相當(dāng)于間接求得方程(1)的解,因此主要任務(wù)是求解方程(7).為一般起見,先來尋求方程(7)的一般形式解.利用變量分離法,可求得方程(7)的多種形式的解.

情況 1 當(dāng)a1=b1=0,a0≠ 0時(shí),方程(7)有以下解:

情況2 當(dāng)a0=b1=0,a1≠ 0時(shí),方程(7)有以下解:

情況3 當(dāng)a0=a1=0,b1≠ 0時(shí),方程(7)有以下解:

情況4 當(dāng)a1=0,a0≠0,b1≠ 0時(shí),方程(7)有以下解:

情況5 當(dāng)b1=0,a0≠0,a1≠ 0時(shí),方程(7)有以下解:

情況6 當(dāng)a0=0,a1≠0,b1≠ 0時(shí),方程(7)有以下解:

情況7 當(dāng)a0≠0,a1≠0,b1≠ 0時(shí),方程(7)有以下解:

為了確定方程(7)中的待定常數(shù)a0,a1和b1,將式(7)代入式(3),并令式(3)兩邊的余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的系數(shù)相等,可得如下一組非線性代數(shù)方程:

求解此代數(shù)方程組可得兩組解

根據(jù)式(8)和式(9),并考慮到情況2 和情況3,可求得非線性Possion 方程(1)的許多顯式精確解

其中a1和b1為任意非零實(shí)數(shù).顯然,式(10)和式(11)與文[8]求得的解完全等價(jià),而其他解則是求得的非線性Possion 方程(1)的新解.

2 結(jié)束語

本文通過引入一個(gè)一般的輔助常微分方程,對(duì)文[8]提出的直接法做了一定程度的改進(jìn),提出一種改進(jìn)的直接法,并用它求得非線性Possion方程的更多顯式精確解.進(jìn)一步工作將推廣本方法,用于求解其他超越非線性演化方程.