顆粒撞擊單顆粒覆層的數(shù)值計算

謝俊，李晨曦，朱正仁，馬昊東，李潤東

（沈陽航空航天大學(xué)能源與環(huán)境學(xué)院，遼寧 沈陽 110136）

顆粒碰撞過程廣泛存在于生產(chǎn)生活中。如在噴涂領(lǐng)域，汽車噴漆時油漆顆粒與汽車表面或底層油漆顆粒的碰撞過程，類似的如利用陶瓷顆粒制備陶瓷薄膜等[1-2]。在石油化工中，濾床處理油田污水過程中也存在顆粒碰撞現(xiàn)象[3]。在工業(yè)生產(chǎn)中，火力發(fā)電廠中含塵氣流流經(jīng)換熱面時，部分顆粒會停留在換熱器的表面形成積灰，影響換熱熱阻，這會大大影響換熱器的工作效率，嚴(yán)重時可能會導(dǎo)致發(fā)電廠停產(chǎn)[4]。因此，如何降低化工及工業(yè)生產(chǎn)中細(xì)顆粒物的危害是大家關(guān)注的熱點問題。細(xì)顆粒物的沉積主要包括三個運動過程：顆粒向壁面運輸、顆粒與壁面碰撞以及顆粒的黏附[5-6]。然而，在顆粒的運動過程中，并非所有的顆粒都會黏附在壁面上，在碰撞過后，顆粒也可能會反彈離開表面。顆粒與壁面不同的碰撞結(jié)果與顆粒的撞擊速度、撞擊角度、顆粒粒徑以及顆粒的材料性質(zhì)等因素有關(guān)[7]。若一旦生成積灰且不能及時清理就會發(fā)生顆粒與顆粒覆層的碰撞現(xiàn)象。

固體顆粒碰撞壁面后發(fā)生反彈行為的基本理論通常是基于Hertz[8]和Rayleigh[9]的開創(chuàng)性研究工作。針對不同的現(xiàn)象如塑性變形、黏附等，許多新模型對該基本理論進(jìn)行了擴展。目前，國內(nèi)外學(xué)者在顆粒碰撞方面已有許多研究，但對黏附和反彈現(xiàn)象的了解仍很有限[10]，特別是對于顆粒撞擊覆層的基礎(chǔ)研究有待深入。

現(xiàn)在有很多學(xué)者對顆粒撞擊不同粗糙度的壁面過程進(jìn)行了研究。王云萍[11]使用有限元軟件Abaqus對二氧化硅顆粒撞擊壁面的碰撞過程進(jìn)行了模擬，詳細(xì)研究了表面粗糙度、入射速度、顆粒粒徑及顆粒的彈性模量對碰撞特性的影響。牛佳佳等[12]對粒徑為600～800μm的砂粒撞擊樹脂涂層/鋁/合金鋼板的過程進(jìn)行實驗分析，研究了砂粒撞擊不同壁面材料的反彈特性?；诖耍袑W(xué)者進(jìn)一步研究了顆粒撞擊顆粒覆層的研究。Van Beek 等[13]研究了50μm的玻璃顆粒在不同的碰撞角度、碰撞速度下對薄玻璃顆粒覆層的撞擊情況，通過計算入射顆粒的法向恢復(fù)系數(shù)發(fā)現(xiàn)顆粒覆層存在很大的阻尼作用；并采用兩體碰撞模型預(yù)測了顆粒的反彈角度。Konstandopoulos[14]研究發(fā)現(xiàn)，兩體碰撞模型在碰撞顆粒具有較高動能時失效，導(dǎo)致預(yù)沉積顆粒重排或侵蝕。Abd-Elhady等[15]使用了與Van Beek等[13]相同的設(shè)備，用離散單元法代替兩體碰撞模型，研究了覆層顆粒的相互作用和顆粒的反彈行為，并對臨界捕集速度和反彈速度進(jìn)行了預(yù)測。

顆粒撞擊顆粒覆層與顆粒撞擊光滑壁面有很大的差別。當(dāng)撞擊表面存在覆層時，覆層的變化情況也會影響顆粒的反彈特性。國內(nèi)在微米顆粒碰撞過程，特別是撞擊覆層的研究尚待深入，同時顆粒接觸過程的動力學(xué)特性研究也需要進(jìn)一步探索。因此，本文開展了顆粒撞擊覆層的動力學(xué)特性研究，分析了顆粒撞擊覆層的動力學(xué)過程。

1 JKR動力學(xué)方程

1.1 JKR理論

目前被廣泛使用的各種黏附接觸模型的基礎(chǔ)為Hertz彈性碰撞模型。但Hertz模型只考慮了兩接觸顆粒在接觸區(qū)域內(nèi)的斥力，而忽略了接觸球體間的引力[8]。Johnson 等[16]基于Hertz 模型，考慮接觸區(qū)內(nèi)部的接觸壓力和黏性的影響，如圖1所示，利用儲存的能量與表面能損失之間的平衡推導(dǎo)出了JKR彈性碰撞模型，得到了接觸力FJKR和接觸半徑a之間的關(guān)系，如式(1)。

圖1 JKR接觸理論中顆粒間接觸示意圖

式中，接觸半徑a和顆粒重疊量δ的計算方法參考Chen等的研究[17]。

1.2 JKR動力學(xué)方程

根據(jù)上述JKR理論，分析兩球體在法向碰撞過程中，量綱為1 法向接觸力隨接觸位移的變化過程，具體見圖2。兩個球體相互接觸時，接觸位移為0，此時法向接觸力由于范德華引力作用瞬間跳至A點。兩球體不斷靠近過程中，速度逐漸減小，形變隨之增大，即接觸位移增大，排斥力也同時增加。接觸力在B點達(dá)到平衡，但由于速度還未達(dá)到0，球體繼續(xù)相向運動直至速度為0。此時，總動能轉(zhuǎn)化為球體的彈性能，接觸位移在D點最大，斥力也達(dá)到最大。隨后，壓縮過程結(jié)束，卸載過程開始。在點A處，所有的動能都儲存在這里，法向位移回到零。

圖2 JKR模型的接觸力隨接觸位移的變化曲線[18]

然而，兩球體在A點上仍然處于黏附狀態(tài)。隨著球體繼續(xù)分離，引力將在C點達(dá)到最大值。這個點上的力FC在JKR 模型中稱為拉脫力（pull-off force）。當(dāng)對于黏附球體施加的拉伸載荷大于臨界載荷FC時，出現(xiàn)接觸半徑和接觸位移突然消失，界面完全脫離，稱為硬卸載[19]。當(dāng)接觸位移緩慢變化、無外加載荷的影響時，臨界點C之后一段過程仍舊依據(jù)JKR 模型變化，直至S點，接觸過程結(jié)束，稱為軟卸載。S點為斜率無窮大時的臨界點。綜上所述，兩個球體碰撞后首先是初始點A點，然后到達(dá)平衡點B點，隨后達(dá)到接觸位移最大點D點，之后到達(dá)硬卸載點C點，最后是軟卸載點S點。在本研究中，主要利用軟卸載來進(jìn)行顆粒撞擊顆粒覆層的模擬計算。圖2中陰影部分面積表示黏附力所做的功，叫作黏附剝離功Wst。Yin[20]和Thornton 等[21]對這部分能量損失進(jìn)行了量化，如式(2)。

當(dāng)僅考慮黏附剝離功時，根據(jù)能量守恒定律可以求得一個臨界捕集速度，如式(3)。

黏附剝離功的存在降低了反彈動能，如果初速度較低或表面能較大，甚至可以完全阻止反彈動能的產(chǎn)生。柳冠青[19]指出一旦發(fā)生接觸，Wst即已經(jīng)產(chǎn)生，故也將其視為首次接觸的能量損失。其次，黏彈性是固體材料的固有屬性，由黏彈性所導(dǎo)致的阻尼作用將會使能量以彈性波的形式耗散。因此，將黏彈性效應(yīng)與黏附效應(yīng)相互耦合共同作用于顆粒與覆層的接觸過程作為本研究的主要能量耗散途徑，結(jié)合JKR靜態(tài)接觸模型，引入黏彈性引起的阻尼耗散，可得顆粒與壁面法向碰撞過程的動力學(xué)模型如式(4)。

接觸力FJKR為JKR模型所描述的黏附和顆粒彈性變形的共同作用。接觸力FJKR和接觸位移δN的表達(dá)式為式(5)、式(6)。

式中，臨界卸載力FC、硬卸載點C的接觸位移δC以及平衡半徑a0的計算方法參考Chen等[17]的研究。

假設(shè)固相耗散力與材料在形變中的變化率成正比，則有阻尼力Fnd，如式(7)。

其中，法向阻尼系數(shù)可由式(8)求得。

Tsuji的研究表明[22]恢復(fù)系數(shù)e僅與參數(shù)α有關(guān)，α可以用一個關(guān)于恢復(fù)系數(shù)e的函數(shù)表達(dá)式表達(dá)[23]。將式(5)和式(7)代入式(4)中得到動力學(xué)方程式表達(dá)式為式(9)。

式(9)中，K的計算如式(10)。

于是式(9)可以改寫為式(11)。

1.3 模型求解方法及驗證

常微分方程的求解方法有很多，對于實際問題中歸結(jié)出的微分方程主要依靠數(shù)值解法求解。本文采用四階龍格-庫塔法，對參數(shù)δN進(jìn)行數(shù)值求解。程序初始時刻（0 時刻）的接觸位移為0，速度為初始入射速度，這部分?jǐn)?shù)值可由實驗數(shù)據(jù)計算獲得。計算過程中所取的時間步長為0.1ns。若已知前一時刻i的接觸位移和速度，即可通過龍格-庫塔方法求得下一時刻i+ 1 的接觸位移和速度，以此類推，確定整個碰撞過程的接觸位移和速度的動態(tài)變化過程。JRK模型考慮了接觸過程中的突跳現(xiàn)象，當(dāng)接觸位移小于零時，在黏附力作用下出現(xiàn)頸部而未完全脫離。因此，這里將軟卸載點的位移值作為碰撞過程結(jié)束的判據(jù)。

在碰撞過程中，阻尼系數(shù)隨著速度變化也時刻發(fā)生變化，參數(shù)α是關(guān)于法向恢復(fù)系數(shù)en的函數(shù)。對于確定的一個碰撞過程，參數(shù)α為定值，在初始時刻賦予一個值，通過給定的初始值（接觸位移y0、入射速度z0等）計算獲得碰撞結(jié)束時的反彈速度z，將計算所得的法向恢復(fù)系數(shù)與同入射條件下的法向恢復(fù)系數(shù)作對比，若相差過大則調(diào)整α的大小重新計算，直至相等或無限接近。根據(jù)已知的實驗數(shù)據(jù)確定不同法向恢復(fù)系數(shù)下對應(yīng)的α，擬合確定α與en的函數(shù)關(guān)系式。

根據(jù)實驗數(shù)據(jù)確定參數(shù)α的表達(dá)式后，即可將法向恢復(fù)系數(shù)決定的α代入反向計算，不斷調(diào)整入射速度以使計算獲得的反彈速度與入射速度之比滿足預(yù)設(shè)的法向恢復(fù)系數(shù)en，得到入射速度隨法向恢復(fù)系數(shù)的變化關(guān)系。

Dahneke 的研究[24-25]詳細(xì)報道了聚苯乙烯乳膠球以2.5～35m/s的速度沖擊拋光石英、金/玻璃、聚苯乙烯表面的入射和反彈速度的測量結(jié)果。本文采用1.27μm 的聚苯乙烯顆粒撞擊拋光石英表面的實驗結(jié)果對模型進(jìn)行驗證。表1和表2顯示了計算所用的重要參數(shù)，對應(yīng)的JKR 模型關(guān)鍵點如表3所示。

表1 材料參數(shù)[26-27]

表2 黏附功與赫茲剛度

表3 JKR模型關(guān)鍵點

根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，采用上述離散方法，計算了不同法向恢復(fù)系數(shù)en所對應(yīng)的參數(shù)α，如圖3 所示，并對其關(guān)系作了最小二乘法擬合，得到擬合關(guān)系表達(dá)式如式(12)。

圖3 參數(shù)α與恢復(fù)系數(shù)en的關(guān)系

臨界捕集速度是指顆粒與平板表面發(fā)生碰撞時顆粒恰好發(fā)生反彈而不是黏附在表面上的速度，因此將法向恢復(fù)系數(shù)en等于0 代入式(12)，可求得顆粒的臨界捕集速度。同樣地，對于不同的法向恢復(fù)系數(shù)采用相同方法進(jìn)行計算，得到恢復(fù)系數(shù)隨入射速度關(guān)系變化曲線如圖4 所示。從圖中可以看出，模型計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的吻合度較好，模型計算得到顆粒的臨界捕集速度約為1.2m/s。因此，將該JKR模型的動力學(xué)方程應(yīng)用于顆粒碰撞的數(shù)值計算是可行的。

圖4 1.27μm的聚苯乙烯顆粒撞擊拋光石英表面實驗結(jié)果[23]和數(shù)值計算結(jié)果的比較

2 結(jié)果與討論

2.1 單層顆粒法向碰撞

Abd-Elhady等[28]的研究表明對于矩形排列的顆粒覆層，接觸時間與覆層數(shù)成正比。如圖5 所示，當(dāng)碰撞在目標(biāo)顆粒的頂部時，力（波）在一個矩形顆粒排列中傳播發(fā)生在單個碰撞顆粒鏈中?；诖?，對顆粒撞擊單層顆粒的模擬簡化處理，分別研究顆粒-壁面和顆粒-顆粒的碰撞過程，將兩者聯(lián)系起來分析顆粒-顆粒(黏附)-壁面的碰撞過程，如圖6所示。

圖5 入射顆粒與二維顆粒覆層的碰撞[25]

圖6 單層顆粒的法向碰撞

根據(jù)二氧化硅撞擊不銹鋼表面的已知物性參數(shù)[29]計算了JKR模型下顆粒與顆粒、顆粒與壁面碰撞過程中的關(guān)鍵點，并計算了黏附剝離功（即首次接觸的能量損失），具體結(jié)果見表4。結(jié)果表明，對于顆粒與壁面的碰撞，由于二氧化硅顆粒的界面能與不銹鋼相比要小得多，其黏附功會大于顆粒與顆粒之間的碰撞。顆粒與顆粒碰撞的臨界捕集速度小于顆粒與壁面之間的碰撞。

表4 顆粒與壁面(或顆粒)間的物性參數(shù)[29]

為清楚地了解黏附剝離功在碰撞過程中的影響，避免黏彈性效應(yīng)的耦合影響，考慮了無阻尼耗散的動力學(xué)模型，即式(13)。

數(shù)值計算結(jié)果如圖7 和圖8 所示。圖7 顯示的是顆粒撞擊壁面（或顆粒）的接觸位移隨時間的動態(tài)變化曲線。顆粒發(fā)生碰撞后，在入射階段接觸位移逐漸增大，直至最大接觸位移后開始減小，即進(jìn)入反彈階段，最大接觸位移隨著入射速度的增加而增加。在0.031m/s 和0.014m/s 時分別在顆粒與壁面、顆粒與顆粒間碰撞時發(fā)生黏附。當(dāng)入射速度稍大于黏附速度時，接觸位移停止隨接觸時間的變化，即發(fā)生反彈。對比黏附剝離功的理論計算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)值計算的臨界捕集速度與理論值基本吻合。隨著入射速度的增加，碰撞過程的顆粒接觸時間不斷減小。因此，較高的入射速度能縮短接觸時間。當(dāng)撞擊速度低于臨界捕集速度時，顆粒由于反彈時的能量不足以支持其完全脫離壁面，在反彈速度達(dá)到0以后又開始向壁面（或顆粒）運動。

圖7 接觸位移隨接觸時間的變化關(guān)系(無阻尼)

圖8 碰撞速度隨接觸位移的變化關(guān)系（無阻尼）

圖8顯示了顆粒的碰撞速度隨接觸位移的變化過程。圖中黑實線表示在臨界捕集速度以下時的碰撞速度變化情況，不同于圖7，此次對較長接觸時間內(nèi)的變化過程作了繪制?？梢园l(fā)現(xiàn)，低于臨界捕集速度入射的顆粒會以一個循環(huán)的形式呈現(xiàn)碰撞速度隨接觸位移的變化過程。值得注意的是，該循環(huán)圈的面積會有縮小，這主要是由于數(shù)值計算過程中的截斷誤差所導(dǎo)致。當(dāng)截斷誤差不存在時，臨界捕集速度以下的顆粒的黏附剝離功一直在系統(tǒng)中循環(huán)，由于沒有其他能量損耗，將會在接觸面上一直往復(fù)運動。這種情況在實際過程中是不存在的，因此，添加阻尼耗散使動力學(xué)方程更加符合實際。

圖9 參數(shù)α與恢復(fù)系數(shù)en的擬合關(guān)系

如圖10 和圖11 所示，計算過程中考慮了黏彈性阻尼的影響，研究了顆粒與壁面（或顆粒）的接觸過程中的動態(tài)變化，與不考慮阻尼耗散的情況相比呈現(xiàn)出不同的變化情況。在考慮阻尼耗散時，阻尼力與絕對速度成正比，隨著接觸位移的變化不斷損失整體的能量。在第一次反彈階段速度變?yōu)?，接觸位移未超過臨界位移（軟卸載點S）時，顆粒將會由于接觸力表現(xiàn)為引力作用又開始向接觸面運動，此后由于阻尼耗散的影響，碰撞速度會在更早的位置變?yōu)?，顆粒完全脫離壁面的情況將不可能出現(xiàn)。在入射速度大于臨界捕集速度時，碰撞速度隨接觸位移變化，在接觸位移達(dá)到臨界值時，速度仍不為0，顆粒脫離壁面，曲線變化過程也在這一刻停止。當(dāng)小于臨界捕集速度時，碰撞速度隨接觸位移呈現(xiàn)一個環(huán)形變化過程，由于能量耗散，顆粒的最大動能不斷減小，環(huán)形半徑逐漸減小。該過程類似于阻尼振動，在第一次反彈結(jié)束未能脫離壁面時，顆粒與接觸面直接進(jìn)入一個靠近-反彈的循環(huán)之中，往復(fù)運動中動能耗散，最終在平衡位置B點停止運動。顆粒與壁面(或顆粒)的碰撞都表現(xiàn)出類似的特征，但由于接觸對象的不同將導(dǎo)致黏附功、有效楊氏模量、有效質(zhì)量等的不同，影響臨界捕集速度。對比發(fā)現(xiàn)，顆粒與顆粒碰撞的臨界捕集速度為0.394m/s，低于顆粒與壁面的碰撞，這表明顆粒更容易在壁面上發(fā)生黏附。相對于僅考慮黏附剝離功的情況，阻尼耗散的存在也使得臨界捕集速度增加，黏附更容易發(fā)生。對于顆粒與壁面的碰撞情形，在考慮阻尼耗散情況下，臨界捕集速度在0.86m/s附近，遠(yuǎn)高于理論計算值0.032m/s。

圖10 接觸位移隨接觸時間的變化關(guān)系

圖11 碰撞速度隨接觸位移的變化關(guān)系

在顆粒與壁面（或顆粒）研究的基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步討論了顆粒撞擊黏附在壁面上的顆粒的情況，如圖6(c)所示。這里作了一定簡化處理，對于入射顆粒P1在碰撞過程中僅考慮與黏附顆粒P2的接觸作用，忽略壁面影響。對于顆粒P2，考慮了顆粒P1 和壁面的共同作用，并假設(shè)兩者引起的形變不相互影響。采用前述動力學(xué)模型及求解方法求解，結(jié)果如圖12和圖13所示。

圖12 接觸位移隨接觸時間的變化關(guān)系

圖13 碰撞速度隨接觸位移的變化關(guān)系

圖12 顯示了單顆粒撞擊覆層時入射顆粒P1 的接觸位移隨接觸時間的變化情況。在0.394m/s的入射速度以下，顆粒P1的接觸位移不會低于-0.386nm（臨界軟卸載點S），由于阻尼耗散的影響，顆粒往復(fù)運動直至在接觸面上黏附。而大于臨界捕集速度時，入射顆粒P1 在第一次反彈階段即脫離壁面，且隨著入射速度的增大，最大接觸位移峰值增加，并向右移，接觸時間也隨之減少。相應(yīng)地，在入射顆粒P1 的接觸位移變化的同時，黏附顆粒也在發(fā)生變化。在0.69m/s以下，顆粒P2在接觸過程中位移隨接觸時間變化，始終不低于臨界值-0.73nm，并最終仍舊黏附于壁面上。由于一開始設(shè)定顆粒P2 以平衡狀態(tài)黏附于壁面，假定在初始時刻位移即為平衡位移值0.884nm，當(dāng)顆粒運動結(jié)束時，該值不變。在圖13中可以觀察到顆粒P2由于阻尼耗散的影響，碰撞速度在平衡位移點從0開始增加并在同一點結(jié)束動態(tài)變化。當(dāng)入射速度大于0.7m/s時，顆粒P2 在第一次遠(yuǎn)離壁面運動時的接觸位移超過臨界值發(fā)生反彈，該黏附顆粒將從壁面脫離。

3 結(jié)論

本文基于JKR 靜態(tài)接觸理論，結(jié)合阻尼耗散理論，對單顆粒撞擊覆層的碰撞過程進(jìn)行了數(shù)值計算。首先對黏附效應(yīng)和黏彈性效應(yīng)進(jìn)行了分析，建立了基于JKR 理論的動力學(xué)方程。其次，采取四階龍格－庫塔法對方程離散求解，用Dahneke的實驗結(jié)果對模型進(jìn)行驗證。最后，簡化單顆粒撞擊覆層的碰撞過程，分別討論有無阻尼耗散時的顆粒-壁面和顆粒-顆粒的碰撞過程，綜合考慮并分析了顆粒-顆粒(黏附)-壁面的碰撞過程。主要結(jié)論如下。

（1）獲得了參數(shù)α和法向恢復(fù)系數(shù)en的擬合關(guān)系式，將其代入動力學(xué)模型，結(jié)合Dahneke的實驗數(shù)據(jù)驗證了拓展的JKR模型應(yīng)用于顆粒碰撞過程的有效性。

（2）分別對有無阻尼耗散時的顆粒撞擊顆粒和顆粒撞擊壁面的情況進(jìn)行了模擬計算，結(jié)果表明存在阻尼耗散時顆粒所需的臨界捕集速度更大，且更加符合實際情況。

（3）單顆粒撞擊覆層表面的過程簡化為顆粒-顆粒(黏附)-壁面的碰撞過程，主要研究了法向碰撞過程的動態(tài)變化。在0.394m/s 的入射速度以下，顆粒P1 會直接在接觸面上黏附。在0.69m/s 以下，顆粒P2 會仍舊黏附于壁面上。但當(dāng)入射速度大于0.7m/s時，黏附顆粒P2將從壁面脫離。

符號說明

a—— 接觸半徑，m

a0—— 平衡半徑，m

E*—— 有效彈性模量，Pa

en—— 法向恢復(fù)系數(shù)

FC—— 臨界卸載力，N

FJKR—— 接觸力（JKR模型），N

Fnd—— 膜阻尼力，N

m*—— 有效質(zhì)量，kg

R*—— 有效半徑，m

vst—— 臨界捕集速度，m/s

Wst—— 黏附剝離功，J

w—— 黏附功，J/m2

y0—— 接觸位移，m

z—— 反彈速度，m/s

z0—— 入射速度，m/s

δ—— 接觸位移，m

δc—— 硬卸載點C的接觸位移，m

δN—— 法向重疊量，m

ηN—— 法向阻尼系數(shù)，kg/s

ρp—— 顆粒密度，kg/m3