基于圓柱矢量波函數(shù)對介質(zhì)圓柱電型并矢格林函數(shù)的構(gòu)建

雒向東,海 波,趙宇杰

(1.蘭州城市學(xué)院 電子工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730070;2.甘肅高師學(xué)報 編輯部,甘肅 蘭州 730070;3.蘭州城市學(xué)院 信息工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

圓柱體是工程應(yīng)用中常見的電磁輻射與散射模型,這類電磁場邊值問題的求解往往涉及圓柱矢量波函數(shù)的構(gòu)建.在圓柱坐標(biāo)系中用圓柱矢量波函數(shù)表示自由空間輻射或散射場是極為方便的,當(dāng)獲得自由空間圓柱矢量波函數(shù)展開式后,應(yīng)用散射疊加方法可導(dǎo)出其他類型的并矢格林函數(shù).應(yīng)用并矢格林函數(shù)方法(簡稱DGF)解決電磁理論及工程邊值問題,主要難點就是要構(gòu)建并矢格林函數(shù),對這一問題國內(nèi)外學(xué)者已做了大量研究[1-7],如對規(guī)則形狀波導(dǎo)、常用坐標(biāo)系等問題已有一致的結(jié)果,有些問題如介質(zhì)圓柱散射場等問題研究報道文獻(xiàn)就比較少.在圓柱坐標(biāo)系中依據(jù)圓柱矢量波函數(shù),從自由空間構(gòu)建的并矢格林函數(shù)出發(fā),推證出介質(zhì)圓柱內(nèi)外空間的第三類電型并矢格林函數(shù),該函數(shù)可為基于DGF方法解決介質(zhì)圓柱形物體散射場等問題提供理論依據(jù).

1 圓柱矢量波函數(shù)的基本理論

(1)

(2)

式(1)中雙行符號是同時表示兩個式子的一種符號表示方法，實質(zhì)上是指下面兩個式子

其他雙行符號式子含義同此,式(1)和(2)中下標(biāo)“e”表示偶函數(shù)，“o”表示奇函數(shù)。式(1)和(2)在整個空間區(qū)域(∞>r≥0，2π>φ≥0，∞>z>-∞)均有定義，且滿足以下正交歸一性[8]

(3)

(4)

(5)

式(3)～式(5)中積分區(qū)域為整個空間,本征值h和λ為連續(xù)取值.

2 自由空間并矢格林函數(shù)

(6)

和無窮遠(yuǎn)處的輻射條件,其表達(dá)式為[4]

(7)

式(7)中G0(R，R′)為三維標(biāo)量波動方程的自由空間格林函數(shù)，R′表示源點位置矢量，R表示場點或觀察點的位置矢量，具體為

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

將式(12)代入式(6),利用式(13)和式(14)可得

(15)

(16)

式中，

(17)

取積分回路沿上半λ平面的半無限圓路徑,利用留數(shù)定理完成積分,式(16)計算結(jié)果為[4]

(18)

式中，

(19)

(20)

(21)

式(21)中上行符號對應(yīng)r>r′,下行符號對應(yīng)r

3 構(gòu)建介質(zhì)圓柱內(nèi)外空間的電型并矢格林函數(shù)

(22)

式(22)中μ、ε分別表示介質(zhì)柱磁導(dǎo)率和介電常數(shù),它們可以是實數(shù)也可以是復(fù)數(shù).基于兩媒質(zhì)分界面存在透射和反射效應(yīng),第三類電型并矢格林函數(shù)可設(shè)為

(23)

(24)

(25)

(26)

式(25)和式(26)中同一激勵函數(shù)項中包含了奇偶相反的M和N的疊加,這一特點是邊界條件所要求的[10].

為了求得待定系數(shù)A、B、C、D和a、b、c、d,應(yīng)用在r=a柱面邊界條件

(27)

(28)

可得到待定系數(shù)的16個線性代數(shù)方程,求解這些代數(shù)方程便可得到16個待定參數(shù).

由式(27)可得

(29)

將式(21)、式(25)和式(26)代入式(29)得

(30)

由式(30)可推得兩個基本方程

(31)

(32)

由(31)式得

(33)

進(jìn)一步推得

(34)

式(34)滿足下式

k1=κη,k2=κξ.

(35)

由式(32)得

(36)

進(jìn)一步推得

(37)

式(37)滿足下式

k1=κη,k2=κξ.

(38)

將式(34)和式(37)合并得

(39)

將式(23)代入式(28)得

(40)

將式(21)、式(25)和(26)代入式(40)得

(41)

由(41)可推得兩個基本方程

(42)

(43)

由式(42)得

(44)

進(jìn)一步推得

(45)

由式(43)得

(46)

進(jìn)一步推得

(47)

將式(45)和式(47)合并得

(48)

將式(39)和式(48)合并得總方程為

(49)

將式(39)和式(48)分別寫成矩陣方程為

(50)

(51)

4 結(jié)語