《用比例解決問題》教學(xué)設(shè)計(jì)

文｜管天霞

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版六年級(jí)下冊(cè)《用比例解決問題》。

【教學(xué)過程】

一、預(yù)學(xué)查異——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，喚醒原型

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪兩種比例？

生：正比例和反比例。

師：怎樣用字母表示正比例關(guān)系和反比例關(guān)系？

師：說得真好。那老師要考考你們的運(yùn)用能力了。

1.判斷下面兩種相關(guān)聯(lián)的量成什么比例？

（1）速度一定，路程和時(shí)間成（ ）比例。

（2）工作總量一定，工作效率和工作時(shí)間成（ ）比例。

（3）訂閱《××報(bào)》，訂閱數(shù)量和訂閱總價(jià)成（ ）比例。

（4）一輛汽車從甲地駛?cè)胍业兀旭偹俣群蜁r(shí)間成（ ）比例。

生：第一題，速度一定，路程和時(shí)間成正比例。路程和時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，路程÷時(shí)間＝速度（一定），所以路程和時(shí)間成正比例。

生：第二題，工作總量一定，工作效率和工作時(shí)間成反比例。工作效率和工作時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，工作效率×工作時(shí)間＝工作總量（一定），所以工作效率和工作時(shí)間成反比例。

生：第三題，單價(jià)一定，總價(jià)和數(shù)量成正比例?？們r(jià)和數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量，總價(jià)÷數(shù)量＝單價(jià)（一定），所以總價(jià)和數(shù)量成正比例。

師：老師有個(gè)疑問，題目中沒有告訴我們單價(jià)一定??？

生：訂閱的《××報(bào)》是同一種報(bào)刊，單價(jià)是一定的。

師：你的觀察真仔細(xì)，還能積極思考。第四題？

生：路程一定，速度和時(shí)間成反比例。速度和時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，速度×?xí)r間＝路程（一定），所以速度和時(shí)間成反比例。

師：為什么路程是一定的呢？

生：甲地到乙地的路程是不會(huì)變的。

師：看來你們的基礎(chǔ)很扎實(shí)！那學(xué)習(xí)了正、反比例有什么用呢？

生：解決問題。

師：我們學(xué)習(xí)知識(shí)就是為了解決問題，那如何運(yùn)用正、反比例的知識(shí)去解決生活中的問題呢？我們今天這節(jié)課就來研究用比例的知識(shí)解決實(shí)際問題。

【設(shè)計(jì)意圖：用比例解決實(shí)際問題的認(rèn)知前提就是要會(huì)判斷兩個(gè)量是否成正比例或反比例。通過給定三個(gè)量，其中一個(gè)量一定，判斷另兩個(gè)量是否成正比例或反比例的練習(xí)，喚醒學(xué)生已有的模型：正比例關(guān)系：（一定）；反比例關(guān)系：xy=k（一定），激活學(xué)生已有認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)。在題目的設(shè)計(jì)上，前兩題直接告知學(xué)生一個(gè)量已經(jīng)一定，學(xué)生可以很快地找到三個(gè)量的關(guān)系進(jìn)而判斷；后兩題并沒有直接告知哪個(gè)量一定，不變的量隱藏在條件中，教師通過追問幫助學(xué)困生理解和明白，為每一個(gè)學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)中打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)?！?/p>

二、初學(xué)適異——自主嘗試，建設(shè)模型

1.出示例1：小明買6 本筆記本用了30 元，小剛想買4 本同樣的筆記本，要用多少錢？

師：先思考以下三個(gè)問題，在小組里交流結(jié)果，小組長匯總成員結(jié)論，并記錄在《學(xué)習(xí)卡》上。

討論：（1）這道題中涉及哪三種量？（2）哪個(gè)量是一定的？（3）兩個(gè)變量成什么比例關(guān)系？

師：哪個(gè)小組長來匯報(bào)你們組的結(jié)論？

生：題中涉及總價(jià)、數(shù)量和單價(jià)三種量。單價(jià)一定，總價(jià)和數(shù)量成正比例。

［板貼：總價(jià)÷數(shù)量＝單價(jià)（一定）］

師：現(xiàn)在你能用比例的知識(shí)解決這道題目嗎？

出示差異要求：（1）直接列比例解答；（2）有困難的可以向老師示意，求助智慧錦囊；（3）完成后請(qǐng)思考：這樣列式的理由是什么？

智慧錦囊：（1）判斷比例：___是一定的，所以___與___成___比例關(guān)系；（2）數(shù)量關(guān)系：小明總價(jià)∶數(shù)量＝小剛總價(jià)∶數(shù)量；（3）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出比例方程。

2.學(xué)生獨(dú)立完成。

（學(xué)生嘗試寫出算式并解答，教師巡視觀察，指導(dǎo)有困難的學(xué)生，并及時(shí)送上智慧錦囊）

【設(shè)計(jì)意圖：建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)生自己建構(gòu)知識(shí)的過程。知識(shí)與技能不應(yīng)該是被動(dòng)接受，而應(yīng)是一種學(xué)生能夠自己嘗試探究、領(lǐng)悟和發(fā)現(xiàn)的。教師應(yīng)當(dāng)放手讓學(xué)生自主嘗試學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在動(dòng)手、動(dòng)腦中嘗試解決問題，這樣學(xué)生構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型才深刻，不容易被遺忘。用正、反比例的知識(shí)列方程解決實(shí)際問題是這節(jié)課的新授內(nèi)容，學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)是學(xué)過比例后，用比例的知識(shí)列方程解決實(shí)際問題。如果直接放手讓學(xué)生自主嘗試解決會(huì)有很大難度，大部分學(xué)生不會(huì)想到用正比例的知識(shí)列比例方程解決問題。鑒于此，在例題的選擇上進(jìn)行了改變，呈現(xiàn)的三個(gè)量是學(xué)生所熟悉的，因?yàn)檫@節(jié)課的重點(diǎn)是用正、反比例的知識(shí)解決問題，如果在判斷正、反比例上設(shè)置難度，會(huì)阻礙部分學(xué)生建立本節(jié)課的模型；教師通過三個(gè)問題驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生在小組中討論，在交流中，學(xué)生的思維得到了碰撞，學(xué)優(yōu)生幫助學(xué)困生理解，初步建立解決這類問題的一些步驟和方法。通過這樣的處理，學(xué)生有了一定的認(rèn)知基礎(chǔ)，這時(shí)教師放手讓學(xué)生獨(dú)立自主嘗試解決，并提出差異要求。差異要求中對(duì)于潛能生、學(xué)困生可以向教師示意，教師給予智慧錦囊?guī)椭?；?duì)于優(yōu)等生提出了思考這樣解答的依據(jù)的要求，其目的在于提高他們對(duì)思路的表述和整理能力。此時(shí)每位學(xué)生都在經(jīng)歷自我感受模型，自我建設(shè)模型，完整經(jīng)歷思考、分析和解答問題的過程，也為后面優(yōu)化模型打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)?！?/p>

三、研學(xué)導(dǎo)異——抽象本質(zhì)，優(yōu)化模型

1.提煉新模型。

（1）師生交流，提煉模型。

師：誰來匯報(bào)你的算式？

生：解1：設(shè)要用x 元，30∶6＝x∶4。

生：解2：設(shè)要用x 元，6∶30＝4∶x。

師：為什么可以列成這樣的等式？每個(gè)比值的意義是什么？

生：解1 比值表示單價(jià)，單價(jià)一定，比值相等，所以我們列出了這樣的等式。

生：解2 比值表示1 元可以買幾本筆記本。

師：我們平時(shí)不這樣說，所以結(jié)合這道題的情境，哪種比例更合理？

生：第一種。

師：（擦掉第二種）這個(gè)問題我們用正比例的知識(shí)解決了，你有什么方法檢驗(yàn)自己的答案是否正確呢？同桌交流。

生：將結(jié)果代入原題來檢驗(yàn)。

師：老師相信你們肯定還有其他的檢驗(yàn)方法，那你們都檢驗(yàn)對(duì)了嗎？（舉手大面積反饋正確率）你們能談一談解決這類問題的方法嗎？（小組交流）

生：①找出題目中相關(guān)聯(lián)的量；②判斷題目中兩種相關(guān)聯(lián)的量是哪種比例關(guān)系；③設(shè)未知量為x；④列出方程；⑤解答；⑥檢驗(yàn)后寫出答案；⑦答句完整。

【設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)家波利亞指出：“對(duì)一個(gè)特例之所以要進(jìn)行這樣周密的描述，其目的就是為了從中提出一般的方法或模式?！痹谧灾鲊L試學(xué)習(xí)后，學(xué)生初建的模型各有差異，我們通過小組交流和集體交流，在交流的過程中，層次不同的學(xué)生在互換思想、相互激發(fā)的基礎(chǔ)上，加深對(duì)自建和他建模型的理解和完善，從而突破這節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。教師在學(xué)生的交流中聆聽，適時(shí)指導(dǎo)并關(guān)注學(xué)困生的學(xué)習(xí)。】

（2）學(xué)生自主嘗試解決例2。

出示例2：一輛汽車從甲地開往乙地，如果每小時(shí)行駛80 千米，需要行駛9 小時(shí)；如果每小時(shí)行駛90 千米，需要行駛幾小時(shí)？

師：誰來匯報(bào)你們的算式？

生：解：設(shè)需要x 小時(shí)，80×9＝90x。

師：這里為什么列成乘積相等的算式解答？

生：路程一定，速度和時(shí)間成反比例。

師：乘積表示的意義是什么？

生：路程。路程一定，所以乘積就相等。

師：通過解決這個(gè)問題，我們又了解到了用反比例的知識(shí)也能幫助解決生活中的實(shí)際問題。

2.對(duì)比練習(xí)，固化模型。

師：那接下來的題目老師不但要求你們寫得對(duì)，還要求你們寫得快，有信心嗎？

生：有。

師：獨(dú)立思考，用比例的知識(shí)列式不計(jì)算。

（1）張大媽家上個(gè)月用了8噸水，水費(fèi)是12.8 元；李奶奶家用了10 噸水，李奶奶家上個(gè)月的水費(fèi)是x 元。

（2）一個(gè)辦公樓原來平均每天照明用電100 千瓦時(shí)，改用節(jié)能燈以后，平均每天只用電25 千瓦時(shí)。原來5 天的用電量現(xiàn)在可以用x 天。

師：誰來匯報(bào)？

生：12.8∶8＝x∶10。

生：100×5＝25x。

師：正確的舉手。

師：用比例解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是能正確找出題中的兩種相關(guān)聯(lián)的量，判斷它們成哪種比例關(guān)系，然后根據(jù)正反比例的意義列式解答。

【設(shè)計(jì)意圖：通過今天所學(xué)的用正比例和反比例的知識(shí)解決實(shí)際問題的對(duì)比，讓學(xué)生明白解決此類問題的相同點(diǎn)是要先判斷哪個(gè)量一定，另兩個(gè)量成什么比例，都要列出比例方程；而不同點(diǎn)在于正比例關(guān)系的比例方程的等量關(guān)系是比的比值一定，反比例關(guān)系的比例方程的等量關(guān)系是乘積一定。不同之中又有相同之處，解決這類問題都要列比例方程解決。通過這樣的對(duì)比設(shè)計(jì)，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到用比例解決實(shí)際問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，加深對(duì)等量關(guān)系的理解，初步掌握解題方法，在原有數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上初步建立本節(jié)課的數(shù)學(xué)模型。】

3.新舊對(duì)比，提煉模型結(jié)構(gòu)。

出示：甲乙兩車從相距272千米的兩地同時(shí)相向而行，3 小時(shí)后兩車還相距17 千米。甲每小時(shí)行駛45 千米，乙每小時(shí)行駛多少千米？

師：你們是怎么想的？

生：解：設(shè)乙每小時(shí)行駛x千米，45×3＋3x＋17＝272。我是這樣想的：甲的路程＋乙的路程＋相距的路程＝總路程。

師：說得真好。還有其他不同的想法嗎？

生：解：設(shè)乙每小時(shí)行駛x千米，（45＋x）×3＋17＝272。我是這樣想的：甲、乙行駛的路程＋相距的路程＝總路程。

師：真厲害。你們都寫對(duì)了嗎？（大面積反饋正確率，對(duì)做錯(cuò)的學(xué)生糾錯(cuò)）

師：這題我們是通過設(shè)未知量為x 來解決的，前面幾題也是通過設(shè)未知量為x 來解決的，那在解法上有什么不一樣的地方呢？

師：這道題是用比例的知識(shí)解決的嗎？

生：不是。是我們以前學(xué)過的列方程解決實(shí)際問題。

師：我們以前學(xué)解方程的一般步驟是什么？

生：①找出題目中的等量關(guān)系；②設(shè)未知量為x；③列出方程；④解答；⑤檢驗(yàn)后寫出答案；⑥答句完整。

師：而用比例的知識(shí)解題時(shí)，第一步找的是兩種相關(guān)聯(lián)的量，然后判斷它們的關(guān)系，這兩步老師可以合并為一句，那就是找出題中的正或反比例關(guān)系。雖然這幾道題我們都是設(shè)未知量解決的，但我們依據(jù)的關(guān)系卻不一樣，所以我們?cè)O(shè)未知量解題時(shí)，一定要認(rèn)真分析題目，選擇恰當(dāng)?shù)年P(guān)系來解答。

【設(shè)計(jì)意圖：通過以前所學(xué)習(xí)的列方程解決實(shí)際問題的練習(xí)，在交流中讓學(xué)生深刻地體會(huì)到此題的模型和今天所構(gòu)建的模型的本質(zhì)區(qū)別。通過和例題的對(duì)比，學(xué)生明白了雖然都是用列方程解決實(shí)際問題，但在尋找等量關(guān)系時(shí)卻有本質(zhì)的區(qū)別，用比例解決實(shí)際問題要先判斷是否有一個(gè)量一定，另兩個(gè)量成什么比例，這是以前列方程解決實(shí)際問題的步驟所不需要的。這樣對(duì)比設(shè)計(jì)使今天的數(shù)學(xué)模型定型，并能讓所有學(xué)生認(rèn)識(shí)到建模成功?！?/p>

4.變式練習(xí)，優(yōu)化模型。

出示：某加工廠做一批零件，計(jì)劃每天加工200 個(gè)，20 天可以完成；但實(shí)際每天多加工50 個(gè)，需幾天完成？（用比例解答）

師：你們是怎么解答的？為什么這樣解答？

生：解：設(shè)需要x 天完成，（200＋50）x＝200×20。因?yàn)楣ぷ骺偭恳欢?，所以工作效率和工作時(shí)間成反比例。

師：這題和開始的幾題又有什么不一樣的地方？

生：之前的題目，兩組相關(guān)聯(lián)的量中只有一個(gè)量是未知的，而這道題中有兩個(gè)量是未知的，我們需要先求出一個(gè)未知量。

師：老師發(fā)現(xiàn)你們的思維真敏捷，復(fù)雜的比例問題都難倒不了你們。

四、拓學(xué)展異——深化運(yùn)用，衍生模型

1.出示題目。（部分題略）

必做題：工程隊(duì)修一條水渠，如果每天工作6 小時(shí)，12 天可以完成。如果每天工作8 小時(shí)，多少天可以完成任務(wù)？（用比例解）

選做題：（★★★）請(qǐng)?jiān)凇皵?shù)學(xué)超市”中選購條件編一道比例應(yīng)用題：（1）計(jì)劃每天生產(chǎn)30 輛；（2）實(shí)際每天生產(chǎn)40 輛；（3）計(jì)劃25 天完成；（4）實(shí)際20 天完成；（5）計(jì)劃一共生產(chǎn)了900 輛；（6）實(shí)際一共生產(chǎn)了1000 輛。

2.交流必做題。（選做題交流略）

指名匯報(bào)，大面積反饋。（關(guān)注寫錯(cuò)的學(xué)生）

師：你是怎樣列式的？

生：12×6＝8x。

3.課堂總結(jié)。

師：今天這節(jié)課你有什么收獲？用比例的知識(shí)解決問題的關(guān)鍵是什么？解題的步驟是什么？

師：通過今天的學(xué)習(xí)，在今后的解題過程中你們又多了一種可選擇的方法。

【設(shè)計(jì)意圖：從照顧學(xué)生差異角度來看，在此環(huán)節(jié)為學(xué)生提供了必做題（保底）和選做題（展異）。必做題面向全體，是要求所有學(xué)生必須掌握的，通過大面積及時(shí)反饋了解學(xué)生運(yùn)用“?！钡哪芰Α＿x做題的設(shè)計(jì)依然立足兒童，讓每位學(xué)生都能有選擇挑戰(zhàn)的機(jī)會(huì)，通過自主選擇完成以及大面積及時(shí)反饋了解學(xué)生衍生“?！钡哪芰?。對(duì)于三星題，我們采用同質(zhì)互查的方式，讓思維層次相近的學(xué)生在課后一起交流、一起思維互動(dòng)，實(shí)現(xiàn)共同提升的目的。】