星輪支承剛度對兩級星型齒輪傳動系統(tǒng)均載特性的影響

呂世恒，李政民卿

(南京航空航天大學(xué) 機電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

0 引言

星型齒輪傳動系統(tǒng)因具有功率分流、結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力高等優(yōu)點，在航空、船舶等傳動領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛[1]。星型輪間載荷分配的均勻性是考量星型齒輪傳動系統(tǒng)性能的重要因素，因此開展星型齒輪傳動系統(tǒng)的均載特性研究具有重要意義。

目前，國內(nèi)外學(xué)者對星型齒輪傳動系統(tǒng)均載特性已經(jīng)開展了大量研究。孫振宇等[2]研究了齒輪誤差對系統(tǒng)靜態(tài)均載的影響規(guī)律；袁擎宇、鮑和云等[3-5]建立了不考慮星輪橫向振動的兩級星型齒輪傳動系統(tǒng)均載分析模型，分析了綜合誤差對系統(tǒng)均載的影響規(guī)律；寧鳳蓮[6]開展了兩級星型齒輪傳動系統(tǒng)的均載測試試驗研究；MO S等[7-8]研究了工況、誤差以及浮動量等對兩級星型齒輪傳動系統(tǒng)均載特性的影響，并開展了均載測試試驗研究。國內(nèi)外學(xué)者已針對誤差、中心輪支承剛度以及浮動量等因素開展了大量的研究；但在大部分的均載分析模型中，存在雙聯(lián)星輪處的支撐剛度足夠大的假設(shè)，忽略了雙聯(lián)星輪的橫向振動對系統(tǒng)均載特性的影響。

因此，本文以兩級星型傳動系統(tǒng)為研究對象，根據(jù)平移與扭轉(zhuǎn)變形的變形協(xié)調(diào)關(guān)系，提出了雙聯(lián)齒輪彎扭耦合振動邊界條件，建立了考慮雙聯(lián)星輪橫向振動的彎扭耦合動力學(xué)模型，分析了星輪支承剛度對系統(tǒng)均載特性的影響規(guī)律，為兩級星型齒輪傳動系統(tǒng)支承結(jié)構(gòu)的設(shè)計提供了理論支撐。

1 兩級星型齒輪傳動系統(tǒng)

兩級星型齒輪傳動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，如圖1所示。其中太陽輪Z1為輸入輪，星型輪Z2與星型輪Z3為雙聯(lián)齒輪，它們以太陽輪為中心均勻分布；內(nèi)齒圈Z4為輸出輪，與太陽輪Z1同軸。輸入功率經(jīng)由太陽輪Z1分流給N個星型輪Z2，又經(jīng)過星型輪Z3匯流到內(nèi)齒圈Z4輸出。

圖1 兩級星型齒輪結(jié)構(gòu)示意圖

2 兩級星型齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)建模

2.1 雙聯(lián)齒輪彎扭耦合振動邊界條件

在兩級星型齒輪傳動系統(tǒng)中，由于內(nèi)外齒輪副嚙合線為兩條空間異面直線，使得雙聯(lián)星輪兩端受到不同方向的力，產(chǎn)生了復(fù)雜的空間運動。因此，在以往的兩級星型傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型中，通常假設(shè)雙聯(lián)星輪支承剛度很大，忽略了星輪的橫向位移以簡化建模過程。為考慮雙聯(lián)星輪橫向振動對系統(tǒng)動力學(xué)的影響，本文根據(jù)平移與扭轉(zhuǎn)變形的變形協(xié)調(diào)關(guān)系，將雙聯(lián)齒輪橫向振動當量為扭轉(zhuǎn)振動，形成雙聯(lián)齒輪彎扭耦合邊界條件：

θeq=x/rb

(1)

式中：θeq為星輪當量扭轉(zhuǎn)角；x為星輪彎曲振動位移量；rb為星輪基圓半徑。

根據(jù)星型齒輪傳動系統(tǒng)實際結(jié)構(gòu)繪制雙聯(lián)齒輪靜態(tài)受力圖，如圖2所示。

圖2 雙聯(lián)齒輪靜態(tài)受力圖

根據(jù)圖示結(jié)構(gòu)，利用材料力學(xué)應(yīng)變能計算方法，計算雙聯(lián)齒輪彎曲與扭轉(zhuǎn)變形時的應(yīng)變能，并結(jié)合應(yīng)變能等量關(guān)系，形成當量扭轉(zhuǎn)剛度的計算方法：

(2)

式中：keq為雙聯(lián)軸當量扭轉(zhuǎn)剛度；θAst、θDst分別為雙聯(lián)軸兩端齒輪受靜態(tài)力時扭轉(zhuǎn)角；xAst、xDst分別為雙聯(lián)軸兩端齒輪受靜態(tài)力時沿嚙合線方向的位移；kr為雙聯(lián)軸扭轉(zhuǎn)剛度；FA為星型輪Z2所承受的合力；FD為星型輪Z3所承受的合力，rb2、rb3分別為星型輪Z2與星型輪Z3的基圓半徑。

2.2 兩級星型齒輪傳動系統(tǒng)彎扭耦合動力學(xué)模型

將兩級星型齒輪傳動系統(tǒng)簡化得到系統(tǒng)等效力學(xué)模型，如圖3所示。在簡化模型中將星型齒輪機構(gòu)的各構(gòu)件均看作剛體，并且太陽輪Z1、內(nèi)齒圈Z4、兩級星型齒輪(Z2i、Z3i)為基本浮動構(gòu)件。嚙合副處及支承處的彈性變形用等效彈簧剛度表示，圖中K1-2i表示太陽輪與星型輪Z2之間的輪齒嚙合剛度，K4-3i表示內(nèi)齒圈與星型輪Z3之間的輪齒嚙合剛度；Kx1(Ky1)和Kx4(Ky4)分別表示太陽輪Z1與內(nèi)齒圈Z4支承處橫向(縱向)的等效彈簧剛度。其中K2i表示星型輪Z2在嚙合線方向的等效支承剛度，K3i表示星型輪Z3在嚙合線方向的等效支承剛度，Ki表示雙聯(lián)齒輪軸的扭轉(zhuǎn)剛度。此系統(tǒng)共有(6+4N)個自由度，其廣義坐標如下：

圖3 星型齒輪傳動系統(tǒng)等效動力學(xué)模型

X=[θ1,x1,y1,θ2i,θ3i,x2i,x3i,θ4,x4,y4]T。

其中：θ1為太陽輪扭轉(zhuǎn)的微轉(zhuǎn)角；x1為太陽輪中心橫向微位移；y1為太陽輪中心縱向微位移；θ2i為第一級第i個星型輪扭轉(zhuǎn)的微轉(zhuǎn)角；θ3i為第二級第i個星型輪扭轉(zhuǎn)的微轉(zhuǎn)角；x2i為第一級第i個星型輪中心的嚙合線方向微位移；x3i為第二級第i個星型輪中心的嚙合線方向微位移；θ4為內(nèi)齒圈扭轉(zhuǎn)的微轉(zhuǎn)角；x4為內(nèi)齒圈中心橫向微位移；y4為內(nèi)齒圈中心橫向微位移；本文中下標i表示不同支路(i=1,2,3)。

2.3 系統(tǒng)運動微分方程

根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)布置位置，由幾何分析可得如下嚙合線方向的位移：

式中：rb1為太陽輪的基圓半徑；rb2、rb3分別為星型輪Z2、星型輪Z3的基圓半徑；rb4為內(nèi)齒圈的基圓半徑；αw、αN分別表示外嚙合齒輪副與內(nèi)嚙合齒輪副的嚙合角；xn1-2i、xn4-3i分別表示外、內(nèi)齒輪副沿嚙合線方向的位移；e1-2i、e4-3i分別表示外、內(nèi)齒輪副間的準靜態(tài)傳遞誤差。

根據(jù)上述嚙合線位移分析，易得各齒輪副間的動態(tài)嚙合力為

(4)

式中：Fd1-2i、Fd4-3i分別表示外、內(nèi)齒輪副間的動態(tài)嚙合力；c、k分別表示齒輪副間等效阻尼與等效彈簧剛度。

根據(jù)2.2節(jié)中系統(tǒng)動力學(xué)模型可推得系統(tǒng)運動微分方程：

(5)

式中：I1、I2i分別為太陽輪與星型輪Z2的轉(zhuǎn)動慣量；I3i、I4分別為星型輪Z3與內(nèi)齒圈的轉(zhuǎn)動慣量；m1、m2i分別為太陽輪與星型輪Z2的質(zhì)量；m3i、m4分別為星型輪Z3與內(nèi)齒圈的質(zhì)量；T1為太陽輪的驅(qū)動轉(zhuǎn)矩；T2為內(nèi)齒圈的負載轉(zhuǎn)矩。

3 均載特性分析

3.1 均載系數(shù)計算方法

在兩級星型齒輪傳動系統(tǒng)中，存在多支路分匯流結(jié)構(gòu)，各支路間載荷分配的均衡性直接影響系統(tǒng)的工作性能與壽命。通常采用均載系數(shù)表征傳動系統(tǒng)的不同支路間載荷分配的均勻性。本文給出兩級星型齒輪傳動系統(tǒng)均載系數(shù)定義如下：

(6)

式中：ΩW(ΩN)表示系統(tǒng)外(內(nèi))齒輪副均載系數(shù)；CdWi(CdNi)表示第i支路外(內(nèi))齒輪副動態(tài)嚙合力的均方根值；np表示兩級星型齒輪系統(tǒng)總支路數(shù)。

3.2 不同均載分析模型對比分析

為研究星輪橫向振動對系統(tǒng)均載的影響，本文以兩級星型齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，分別利用未考慮星輪橫向振動以及考慮星輪橫向振動的均載分析模型，開展系統(tǒng)均載特性分析。具體系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1 兩級星型齒輪系統(tǒng)基本參數(shù)

根據(jù)系統(tǒng)基本參數(shù)，以準靜態(tài)傳遞誤差為動力學(xué)激勵[9]，利用龍格庫塔法，開展系統(tǒng)響應(yīng)分析，獲得兩種模型下系統(tǒng)各支路的動態(tài)嚙合力，如圖4所示。其中線1表示第1支路動態(tài)嚙合力，線2表示第2支路動態(tài)嚙合力，線3表示第3支路動態(tài)嚙合力(本刊為黑白印刷，如有疑問請咨詢作者)。

圖4 系統(tǒng)各支路的動態(tài)嚙合力時域圖

由上述分析可知，兩種均載模型所計算的動態(tài)嚙合力變化規(guī)律一致，證明了本文所提出的均載分析模型具有合理性。其中值得注意的是，在未考慮星輪橫向振動的均載分析模型中，外齒輪副的均載系數(shù)為1.059，內(nèi)齒輪副的均載系數(shù)為1.042；而在考慮星輪橫向振動的均載分析模型中，外齒輪副的均載系數(shù)為1.045，內(nèi)齒輪副的均載系數(shù)為1.034，其結(jié)果均小于未考慮星輪橫向振動的均載分析模型。這主要是因為在未考慮星輪橫向振動的均載分析模型中存在星輪支承剛度無窮大的假設(shè)，星輪無法自由浮動，進而無法補償由于制造、安裝和受載變形等因素引起的各類誤差，導(dǎo)致均載分析結(jié)果偏大。

3.3 星輪支承剛度對系統(tǒng)均載特性的影響規(guī)律研究

根據(jù)系統(tǒng)基本參數(shù)，取雙聯(lián)星輪的支承剛度連續(xù)變化，開展星輪支承剛度對系統(tǒng)均載特性的影響規(guī)律研究，分析結(jié)果如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)均載系數(shù)隨星輪支承剛度變化圖

由圖5可知，隨著星輪2支承剛度的增大，系統(tǒng)內(nèi)外齒輪副均載系數(shù)均逐漸增大，但變化速度逐漸變緩，當星輪2支承剛度>108N/m后，系統(tǒng)內(nèi)外齒輪副均載系數(shù)逐漸逼近未考慮星輪橫向振動均載分析模型的計算結(jié)果；系統(tǒng)內(nèi)外齒輪副均載系數(shù)對星輪3支承剛度的變化不敏感。

4 結(jié)語

本文針對兩級星型齒輪傳動系統(tǒng)，提出了雙聯(lián)齒輪彎扭耦合振動邊界條件，建立了考慮雙聯(lián)星輪橫向振動的彎扭耦合動力學(xué)模型，開展了星輪支承剛度對兩級星型齒輪傳動系統(tǒng)均載特性影響分析。研究結(jié)論如下：

1)考慮星輪橫向振動的均載分析模型，消除了星輪支承剛度足夠大的假設(shè)，與實際模型更接近。

2)減小星輪支承剛度，可以有效地改善系統(tǒng)均載性能，相比星輪3支承剛度，星輪2支承剛度對系統(tǒng)均載系數(shù)的影響更大。