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    試解“新高考”2021年數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷第21題

    2021-12-26 08:34:36汪繼波
    數(shù)理化解題研究 2021年34期
    關(guān)鍵詞:實(shí)根概率分布新高考

    汪繼波

    (重慶市遠(yuǎn)恒佳重慶公學(xué)高中部 401200)

    “新高考”2021年數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷(海南、遼寧、重慶)第21題:

    一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來,設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代,經(jīng)過一次繁殖后為第1代,再經(jīng)過一次繁殖后為第2代,…,該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列,設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù),P(x=i)=pi(i=0,1,2,3).

    (1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X);

    (2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率,p是關(guān)于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)根,求證:當(dāng)E(X)≤1時(shí),p=1,當(dāng)E(x)>1時(shí),p<1;

    (3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實(shí)際含義.

    本題第(1)、第(3)問較易回答,此處不予討論,在此僅討論第(2)問:

    求解想法此問關(guān)鍵在于找到這個(gè)關(guān)于x的三次方程的最小正實(shí)根,于是,可以考慮求出它的根(至多3個(gè)實(shí)數(shù)根),進(jìn)行比較,但縱觀全國高考題的特點(diǎn),直接求出此方程的所有實(shí)數(shù)根,并非易事!這一來,解題者應(yīng)有心理準(zhǔn)備,討論方程根的特點(diǎn),比較大小,找到最小正實(shí)根,可嘗試通過分解因式能否找到幾個(gè)根,余下根可根據(jù)限定條件,縮小其取值范圍,進(jìn)而比較方程根的大??;也可以考慮構(gòu)造三次函數(shù),轉(zhuǎn)化為討論此函數(shù)的零點(diǎn),求出值或比較幾個(gè)零點(diǎn)的大小,從而找到原方程的最小正實(shí)根.

    解法一由概率分布列的性質(zhì),知p0+p1+p2+p3=1,p0=1-(p1+p2+p3),

    方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x

    ?1-(p1+p2+p3)+p1x+p2x2+p3x3=x

    ?1-x-p1(1-x)-p2(1-x2)-p3(1-x3)=0

    ?(x-1)[p3x2+(p2+p3)x+(p1+p2+p3-1)]=0

    ?x=1或p3x2+(p2+p3)x+(p1+p2+p3-1)=0

    ①當(dāng)E(x)≤1,即p1+2p2+3p3≤1時(shí),g(1)=p1+2p2+3p3-1≤0,如圖1,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,在[1,+∞)也單調(diào)遞增,據(jù)零點(diǎn)存在性定理,知g(x)在(0,+∞)上存在唯一零點(diǎn)x0,顯然x0≥1,所以,方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的最小正實(shí)根等于1,于是,p=1.

    ②當(dāng)E(x)>1,即p1+2p2+3p3>1時(shí),g(1)=p1+2p2+3p3-1>0,而g(0)<0,如圖2,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,由零點(diǎn)存在性定理,在(0,+∞)上存在唯一零點(diǎn)x0,且0

    綜上所述,當(dāng)E(x)≤1時(shí),p=1;當(dāng)E(x)>1時(shí),p<1.

    解法二由概率分布列的性質(zhì),知p0+p1+p2+p3=1,從而p0=1-(p1+p2+p3),

    方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x

    ?1-(p1+p2+p3)+p1x+p2x2+p3x3=x

    ?1-x-p1(1-x)-p2(1-x2)-p3(1-x3)=0

    ?(x-1)[p3x2+(p2+p3)x+(p1+p2+p3-1)]=0

    ?x=1或p3x2+(p2+p3)x+(p1+p2+p3-1)=0

    ②當(dāng)E(x)<1,即p1+2p2+3p3<1時(shí),(x1-1)+(x2-1)<0,且(x1-1)(x2-1)<0,因x1≤x2,x1x2<0,故x1<0,x2>1,且|x1-1|>x2-1,此時(shí),方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的最小正實(shí)根為1,所以,p=1.

    綜上所述,當(dāng)E(x)≤1時(shí),p=1;當(dāng)E(x)>1時(shí),p<1.

    解法三由概率分布列的性質(zhì),知p0+p1+p2+p3=1,方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x?p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0=0.

    構(gòu)造函數(shù)f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0,顯然有f(1)=0,函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=3p3x2+2p2x+p1-1,如圖3,由p3>0知拋物線f′(x)開口向上,f′(0)=p1-1,由p1<1,知f′(0)<0,于是,f′(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2,不妨設(shè)x1

    ①若E(x)≤1,即p1+2p2+3p3≤1,則f'(1)=3p3+2p2+p1-1≤0,據(jù)此二次函數(shù)f′(x)的性質(zhì),知x1<0<1≤x2.

    x(-∞,x1)(x1,x2)(x2,+∞)f ′(x)+-+f(x)↗↘↗

    所以,f(x)在(x2,+∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x0≥x2,因此,1是函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的最小正實(shí)根,從而p=1.

    ②若E(x)>1,即p1+2p2+3p3>1,則f′(1)=3p3+2p2+p1-1>0,如圖4,據(jù)f′(x)的性質(zhì),知x1<0

    因f(0)=p0>0,f(x2)

    綜上所述,當(dāng)E(x)≤1時(shí),p=1;當(dāng)E(x)>1時(shí),p<1.

    考題通過數(shù)學(xué)與生物學(xué)的融合,倡導(dǎo)了數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性.在教學(xué)和學(xué)校管理中,應(yīng)重視學(xué)科間的融合,可鼓勵(lì)學(xué)生關(guān)注以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的交叉學(xué)科或邊緣科學(xué),比如,生物數(shù)學(xué)、生物統(tǒng)計(jì)學(xué)、生態(tài)數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué),等等,不要過早“文理分科”,現(xiàn)在不少地方或?qū)W校過早“選科”,從高一開始要求學(xué)生選定首選和再選科目,沒有選考的科目隨便安排幾節(jié)課或考前突擊式教學(xué),以應(yīng)付學(xué)業(yè)水平考試!如此過分功利化的學(xué)校教育恐難培養(yǎng)“健全的人”,也不利于國家的長遠(yuǎn)發(fā)展!

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