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    多視角解析一道2021年三模壓軸題

    2021-12-26 08:35:36賀鳳梅
    數(shù)理化解題研究 2021年34期
    關(guān)鍵詞:韋達(dá)定值斜率

    賀鳳梅

    (新疆伊犁鞏留縣高級中學(xué) 835400)

    一、題目呈現(xiàn)

    (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

    二、總體分析

    定點、定值是圓錐曲線中的常見問題,問題的呈現(xiàn)形式有:以兩直線斜率乘積、和、比值為定值引出的直線過定點;或已知直線過定點,能否得出兩直線斜率之積、和或比值為定值.本文擬以直線過定點,兩直線斜率比值為定值進(jìn)行多視角探究,旨在理清問題的本質(zhì),找到解決此類問題的行之有效的方法.

    三、試題解答

    以下重點探討第(2)問.

    視角1利用直線的普通方程求解.

    將④⑤代入,化簡整理,得

    視角2圓錐曲線齊次化,借助橢圓的第三定義求解.

    又直線m(x+3)+ny=1過點F(-2,0),所以m=1.

    此時,直線方程設(shè)為mp+nq=1.⑦

    直線過點(1,0),所以m=1.

    將⑦代入⑥,得9y2-30nxy-25x2=0,

    評注以上三種解法的本質(zhì)是圓錐曲線的齊次化,其中一種策略是平移圓錐曲線,比如以上的解法5,不過學(xué)生對這種方法有些陌生.筆者將方法稍微改變一下,步驟為:

    (1)設(shè)直線方程為m(x-x0)+n(y-y0)=1;

    (4)得出結(jié)論:比如以上的解法3和解法4.當(dāng)然還需要借助橢圓的第三定義聯(lián)合求解.

    視角3借助韋達(dá)定理求解.

    評注圓錐曲線結(jié)合韋達(dá)定理,求解的方法又稱圓錐曲線的公式聯(lián)立,其實是一套求解橢圓(或雙曲線)與直線相交時,聯(lián)立方程求判別式、韋達(dá)定理與相交弦等問題的公式,平時并不多見.針對學(xué)有余力的學(xué)生,教師可以適當(dāng)介紹,開闊學(xué)生的視野,提高學(xué)生的思維能力.

    四、解后反思

    《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》指出,高中數(shù)學(xué)的六大素養(yǎng)為數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算.高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)急需提高學(xué)生的綜合能力.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中,教師要鼓勵和引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中勤思考、多動腦,在對兩直線斜率比值、乘積以及和為定值的問題探究過程中,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).教師可以根據(jù)核心素養(yǎng)所提出的相關(guān)理論進(jìn)行教學(xué)方式、教學(xué)目的的調(diào)整,使學(xué)生能夠得到更全面的發(fā)展,將立德樹人的根本任務(wù)落到實處.

    “一題多解”既可以豐富教學(xué)內(nèi)容,也可以讓枯燥的數(shù)學(xué)課堂變得活潑生動,充分調(diào)動學(xué)生的積極性,讓每個學(xué)生都自覺地投入到課堂中來,不僅可以使學(xué)生集中注意力,還可以使學(xué)生的思維越來越縝密,考慮越來越周全.應(yīng)用“多題一解”的教學(xué),可以鍛煉學(xué)生歸納總結(jié)的能力,使得學(xué)生“做一題,會一類”.“多題一解”的數(shù)學(xué)教學(xué)方式,不僅能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力,還能映射生活的哲理,對于學(xué)生生存能力的提高也有效果.

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