多思會(huì)算 不畏困難

戴德文

(安徽省含山中學(xué) 238100)

解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何，但是用代數(shù)方法處理解析幾何題有時(shí)運(yùn)算量比較大.高中學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中數(shù)學(xué)運(yùn)算能力普遍不太好，學(xué)生不想算，特別是含有字母和式子比較多，只要在運(yùn)算過程中出現(xiàn)符號(hào)或者字母的次數(shù)以及式子等價(jià)變形等一點(diǎn)差錯(cuò)就導(dǎo)致整個(gè)題目出錯(cuò).教師在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生盡可能多思會(huì)算，在處理過程中有時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生善于畫圖，觀察圖像從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，以圖助思，有時(shí)也要根據(jù)題意在求解過程中及時(shí)調(diào)整運(yùn)算方向、追根溯源、優(yōu)化運(yùn)算，不斷提高自己的綜合思維和運(yùn)算求解能力.

一、整體把握，突破難點(diǎn)

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)Q為ΔPF1F2的內(nèi)心，①當(dāng)x0=-3時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②求證：點(diǎn)Q在定橢圓上.

直線PF1：y0x-(x0+3)y+3y0=0，直線PF2：y0x-(x0-3)y-3y0=0，則點(diǎn)Q到ΔPF1F2三邊距離相等，即

由于點(diǎn)Q在直線PF1：y0x-(x0+3)y+3y0=0的右上方，又在直線PF2：y0x-(x0-3)y-3y0=0的左下方，根據(jù)我們所學(xué)的線性規(guī)劃知識(shí)，能夠判斷出一個(gè)為正，一個(gè)為負(fù)，結(jié)合圖形(圖1)我們可以知道上面的為正，下面的為負(fù).所以

圖1

二、利用性質(zhì)，減少運(yùn)算

對(duì)于例題1根據(jù)圖2我們利用切線長相等得到

圖2

|PF1|-|PF2|=(|PR|+|RF1|)-(|PS|+|SF2|)=|F1T|-|F2T|=(x+3)-(3-x).

圖3

本題減少運(yùn)算還可以這樣處理(參見圖2)設(shè)|PR|=|PS|=m，|F1R|=|F1T|=x+3，|F2T|=|F2S|=3-x,因?yàn)閨PF1|+|PF2|=2m+x+3+3-x=10，所以m=2.

三、目標(biāo)明確，不怕運(yùn)算

圖4

證明：線段OQ,OR,BC能構(gòu)成一個(gè)直角三角形.

從而線段OQ，OR，BC能構(gòu)成一個(gè)直角三角形.

證明過程目標(biāo)明確，思路清楚，不畏困難，這種通性通法就是要求學(xué)生直面困難，逢山開路遇水搭橋，一步一步往下算直到成功，不回避繁瑣的運(yùn)算，有利于學(xué)生邏輯推理和運(yùn)算能力的提高.

四、深度思考，盡量少算

對(duì)于例題2我們也可以換一個(gè)角度去思考，這對(duì)學(xué)生的要求較高，學(xué)生必須掌握好書中的閱讀材料，同時(shí)對(duì)放射變換的相關(guān)知識(shí)也應(yīng)該有所理解.

證明2：構(gòu)造一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，半徑為a的圓，如圖5滿足OQ∥AP，M是線段AP的中點(diǎn)，射線OM與圓O交于點(diǎn)R.設(shè)OQ與x軸所成的角為θ，則∠AOR=90°-θ.

圖5

經(jīng)過放射變換后得出：

∴(OQ′)2+(OR′)2=a2cos2θ+b2sin2θ+(-asinθ)2+b2cos2θ=a2+b2=(B′C′)2.

所以線段OQ,OR,BC能構(gòu)成一個(gè)直角三角形.

證明2：主要是利用放射變換的性質(zhì)，通過放射變換橢圓順利變成了一個(gè)圓，放射變換過程中直線的平行關(guān)系保持不變，通過設(shè)θ角進(jìn)行運(yùn)算求解，利用圓中的幾何性質(zhì)垂直平分弦，從而得出結(jié)論.

五、思維嚴(yán)謹(jǐn)，防止漏算

例3已知A(-1,0),B(5,0),圓M：(x-4)2+(y-m)2=4上存在唯一的點(diǎn)P使得直線PA,PB在y軸上的截距的乘積為5.求m的值.

圖6

六、先算數(shù)值，再推一般

例4 已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線l:y=2x+a與拋物線C交于A,B兩點(diǎn).

(1)若a=-1，求△FAB的面積；

(2)已知圓M：(x-3)2+y2=4，過點(diǎn)P(4,4)作圓M的兩條切線，與曲線C交于另外兩點(diǎn)D,E,求證:直線DE也圓M相切.

圖7

解得：x1=4(m-1)2.

不妨設(shè)D(4(m1-1)2，4(m1-1))，E(4(m2-1)2，4(m2-1)),

總之解析幾何要想學(xué)生在考試過程中得到較好的成績，在平時(shí)教學(xué)過程中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生多思會(huì)算，不畏困難，以圖助思，善于總結(jié)，在教學(xué)的實(shí)踐中不斷提高學(xué)生的思維品質(zhì)，最終提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).