陳海燕
(湖南工程學院 計算科學與電子學院,湘潭 411104)
非局部Kirchhoff方程起源于Kirchhoff在研究彈性弦的自由振動過程中,提出的一種具有實際應用背景的數(shù)學模型[1].自模型建立開始起,就在物理、力學、醫(yī)學等諸多領域廣泛應用,因此吸引了眾多學者對此進行深入研究.
2018年嚴忠權,柳鳩等[2]研究了一類具有一般臨界增長的自治的Kirchhoff型方程,利用Schro¨dinger方程以及Pohozaev等式得到方程具有一個徑向?qū)ΨQ的正基態(tài)解:
2020年蒲洋等[3]研究了在有界區(qū)域上的一類帶Sobolev緊臨界指數(shù)的Kirchhoff型四階橢圓方程.當非局部項Kirchhoff項可退化時,利用變分方法,獲得了該方程對應能量泛函的一個全局極小值點,從而找到了該方程的一個非平凡解:
2020年王躍,周熒等[4]在全空間上考慮一類含有臨界指數(shù)的非局部Kirchhoff型問題,利用分析技巧和特殊函數(shù)研究其古典解的存在性:
本文基于前者研究的基礎,重點討論非局部Kirchhoff型方程,當參數(shù)λ>0時,對研究非局部方程解的存在性的影響.
本文研究的方程是由Kirchhoff在1883年研究彈性弦振動時提出的數(shù)學模型,重點描述了可伸縮繩的橫向振動的長度變化,具有一定的物理背景.
Nonlocal―Kirchhoff型方程形式如下:
其中,D?R n,區(qū)域,D為有界區(qū)域,,指數(shù)p>0,空間維數(shù)n≥1,非局部算子[5]定義如下:
根據(jù)變分法相關定理[6],原方程(1)解的存在性問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼鈱哪芰糠汉呐R界點問題:
考慮參數(shù)λ為正數(shù)時,借助臨界點理論,首先,證明能量泛函有下界.其次,能量泛函在空間中存在弱收斂序列.第三,結合Sobolev緊嵌入定理[7]、Riesz定理、Fatou引理,推導出弱收斂序列是強收斂序列,且收斂點即為能量泛函的臨界點.
定理1能量泛函I(u)是Fre˙chet可導的.
證明:
故泛函I(u)在空間Fre˙chet可微.
定理2若,則I(u)在中有下界.
證明:非局部能量空間V(Ω∪Ωτ)等價于分數(shù)階空間,則對應的空間范數(shù)等價,即:
根據(jù)確界原理,I(u)存在下確界.故存在,使 得,則 稱{u k}是I(u)的極小化序列.
定理3若{u k}是I(u)的極小化序列,則{u k}是中的有界序列.
由于λ>0,根據(jù)上述不等式,證得{u k}是中的有界序列.
定理4若{u k}是中的有界序列,是自反可分的空間,則{u k}在中弱收斂到u 0,且
證明:根據(jù)I(u)的定義知,要證明即需要證明
若能驗證下列不等式方程組均成立,則上述不等式成立:
證明①②.由L2(D∪Dτ)空間范數(shù)的弱下半連續(xù)性,且由Sobolev嵌入定理,空間緊嵌入L2(D∪Dτ)空間,即可證明.
證明④,首先,由I(u)是有界,‖u‖有界以及有界,可知有界.因為,根據(jù)Sobolev嵌入定理是緊嵌入到L2(D∪Dτ).
由Riesz定理,存在子列{u k}.
根據(jù)Fatou引理:
定理5存在,使得即u0是問題(1)的解.
證明:u k在中存在弱收斂的子列,設其弱極限為u0,再根據(jù)定理4I(u)的下半連續(xù)性,有則故 存 在使 得,即u0為I(u)的臨界值點,u0是問題(1)的解.
在本文中,考慮的是在有界區(qū)域D上的非局部Kirchhoff方程,后續(xù)可以考慮從有界區(qū)域拓展到全區(qū)域Rn,研究方程解的存在性.另外后續(xù)可以進一步考慮方程解的適定性問題的其他內(nèi)容,例如是否存在非平凡解,解在區(qū)域上的連續(xù)性以及能否利用第一特征值的定義,討論特征值與方程解的關系,進而對第一特征值進行估計.