光纖激光基模光束的 β 因子*

張雨秋 黃良金 常琦 安毅 馬鵬飛 冷進(jìn)勇 周樸

(國防科技大學(xué)前沿交叉學(xué)科學(xué)院, 長沙 410073)

(2021 年2 月6 日收到; 2021 年6 月3 日收到修改稿)

1 引 言

光纖激光器具有閾值低、效率高、結(jié)構(gòu)緊湊、免維護(hù)等優(yōu)點(diǎn), 在光纖通信、傳感、工業(yè)加工、國防等多個領(lǐng)域中有著巨大的應(yīng)用潛力[1-4]. 隨著光纖制備、半導(dǎo)體激光器[5]等相關(guān)技術(shù)的快速發(fā)展, 光纖激光器的輸出功率日益增長[6-8]. 光束質(zhì)量是高能激光系統(tǒng)的重要性能指標(biāo), 因此在追求更高的輸出功率的同時, 研究人員也在不斷探尋光束質(zhì)量的評價方法.

目前為止, 針對不同的應(yīng)用, 人們對光束質(zhì)量提出了多種定義, 主要包括: 聚焦光斑尺寸、斯特列爾比、遠(yuǎn)場發(fā)散角、衍射極限倍數(shù)β因子、桶中功率 (能量)、光束參數(shù)乘積、光束傳輸因子和M2因子[9-13]. 其中,M2因子同時考慮了近場和遠(yuǎn)場的光場分布特性, 避免了只使用遠(yuǎn)場半徑或者遠(yuǎn)場發(fā)散角給光束質(zhì)量的測量帶來的不確定性, 被國際標(biāo)準(zhǔn)化組織(ISO)推薦為評價光束質(zhì)量的重要標(biāo)準(zhǔn)[14], 目前大多數(shù)光纖激光光束質(zhì)量的評價采用了M2因子[15-20], 且已有通用測量設(shè)備[21]. 但是,當(dāng)激光光斑呈現(xiàn)非高斯分布時,M2因子并不能準(zhǔn)確地反映光束質(zhì)量的優(yōu)劣[22]. 如在高能激光束能量輸運(yùn)和激光工業(yè)制造等應(yīng)用場合中, 人們更關(guān)注實(shí)際光束的遠(yuǎn)場集中度(即光束可聚焦能力)[10]. 在此類情形中, 衍射極限倍數(shù)β因子常作為光束質(zhì)量的評價標(biāo)準(zhǔn)[23-28]. 一方面,β因子能反映光束的能量傳輸效率和可聚焦能力, 且比M2因子更方便測量, 至今已有較多文獻(xiàn)對β因子進(jìn)行了研究[27-30];另一方面, 光纖激光輸出的光束并不是嚴(yán)格的高斯分布(即便是基模光束), 到目前為止, 研究光纖激光輸出光束β因子的相關(guān)工作還比較欠缺[27]. 與其他激光器不同的是, 在光纖激光器中光束被限制在纖芯中傳輸, 且光纖歸一化頻率V對光纖激光器輸出光束的能量集中度和光強(qiáng)分布影響較大[31],因此, 需要詳細(xì)討論光束質(zhì)量評價標(biāo)準(zhǔn)中理想光束的選取.

本文利用衍射極限倍數(shù)β因子作為光纖激光基模(LP01模)的光束質(zhì)量評價參數(shù), 根據(jù)LP01模光強(qiáng)分布的規(guī)律采取了新的理想光束定義方式, 分別研究了LP01模的光束質(zhì)量β因子隨歸一化頻率V、纖芯半徑a和數(shù)值孔徑NA的變化. 目前高功率光纖激光器大都采用摻雜階躍折射率光纖(SIF)作為增益介質(zhì), 不失一般性, 本文選取基于SIF 的激光光束作為研究對象. 以往激光器系統(tǒng)常用M2因子作為光束質(zhì)量評價標(biāo)準(zhǔn), 因此, 本文還將β因子與M2因子進(jìn)行對比分析, 并對主要結(jié)論進(jìn)行了合理的解釋.

2 理論模型

本節(jié)將給出光纖中LP01模的光場表達(dá)式, 并對適用于光纖激光的光束質(zhì)量β因子和M2因子的計算公式進(jìn)行分析討論.

2.1 LP01 模電場分布

高功率光纖激光器所用的SIF 基本都能滿足弱導(dǎo)近似, 因此, 在纖芯半徑為a的SIF 中, LP01模的電場分布為[32]

式中, J0和K0分別表示0 階第一類貝塞爾函數(shù)和第二類修正貝塞爾函數(shù).U和W的定義為

值得說明的是, 當(dāng)LP01模的V< 1.5 時, 波導(dǎo)結(jié)構(gòu)不能有效地將光能量約束在纖芯內(nèi), 導(dǎo)致大部分光場分布在包層中, 而使光場偏離了高斯分布[31], 且V< 1.5 的光纖纖芯尺寸很小, 不適用于高功率激光的產(chǎn)生. 為了抑制非線性效應(yīng)、熱透鏡效應(yīng)等效應(yīng)的產(chǎn)生, 高功率光纖激光器的纖芯尺寸可能較大, 此時光纖已不再是單模, 即V> 2.405. 為了滿足光纖傳輸、工業(yè)加工等應(yīng)用的需求, 可以通過模式控制手段或者采用特種光纖, 在多模光纖中實(shí)現(xiàn)等效單模輸出[34,35]. 綜上所述, 本文中歸一化頻率V的取值范圍在1.5—20.0, 將多模光纖所支持的基模情況考慮在內(nèi).

2.2 衍射極限倍數(shù)β 因子

衍射極限倍數(shù)β因子定義為[36]

圖1 不同歸一化頻率V 下, 纖芯半徑(洋紅色實(shí)線)和包含LP01 模99%能量的環(huán)圍半徑(黃色虛線)示意圖Fig. 1. Schematic of core radius (magenta solid line) and the radius containing 99% of the energy of LP01 mode (yellow dotted line) for different values of normalized frequency V.

在遠(yuǎn)場平面處, 本文將分別采用環(huán)圍功率(能量)桶半徑定義和二階矩束寬定義[36]對β因子的計算進(jìn)行比較分析. 環(huán)圍功率也叫作桶中功率(power in the bucket, PIB), 用來表征光束的能量集中度, 它反映了激光束的遠(yuǎn)場聚焦能力. 其定義為給定“桶”半徑b內(nèi)的激光功率占總功率的百分比[13]:

對于任意電場分布E(x,y), “桶”半徑b稱為其環(huán)圍功率桶半徑, 常用的PIB = 86.5%, 83.8%. 圓形實(shí)心均勻光束遠(yuǎn)場發(fā)散角θ0=0.61λ/a內(nèi)所占能量比為83.8%[10], 因此本文以83.8%環(huán)圍功率桶半徑作為聚焦光斑半徑wf.

光束重心位置j和二階矩束寬wj分別定義為[37]

式中j=x,y,xˉ 和yˉ 分別代表x和y方向光束重心位置,wx和wy分別代表x和y方向光束二階矩束寬.

2.3 M2 因子

M2因子的定義為[38]

該定義要求光束束腰寬度按照(8)式所示二階矩定義進(jìn)行計算. 對于理想基模高斯光束, 其束腰寬度和遠(yuǎn)場發(fā)散角的乘積為λ/π. 通常情況下, 實(shí)際光束M2>1, M2值越大, 實(shí)際光束越偏離理想基模高斯光束分布, 光束質(zhì)量越差.

3 數(shù)值模擬結(jié)果及分析

圖2 為不同歸一化頻率V下, LP01模和理想光束在初始平面和焦平面的歸一化一維光強(qiáng)分布.為了方便對比焦平面處的光斑大小, 計算中出射面的均勻平面波和LP01模的總能量相同, 焦平面的光強(qiáng)分布以均勻平面波的最大光強(qiáng)進(jìn)行歸一化. 由圖可知, 當(dāng)歸一化頻率V增大時, 初始平面處均勻平面波的半徑減小, 也就是說, LP01模的光強(qiáng)分布集中度增大(見圖2(a1)—(a4)). 圖2(b1)—(b4)中豎直藍(lán)色實(shí)線和洋紅色虛線分別表示LP01模和理想光束的環(huán)圍桶功率半徑位置, 從圖中可看出,與理想光束相比, LP01模的環(huán)圍功率桶半徑在V較小時略大于理想光束, 隨著LP01模歸一化頻率V增大, 其環(huán)圍功率桶半徑逐漸小于理想光束,遠(yuǎn)場能量集中度逐漸大于理想光束.

圖2 不同歸一化頻率V 下, LP01 模(藍(lán)色實(shí)線)和理想光束(洋紅色虛線)在出射面 ((a1)—(a4))和焦平面((b1)—(b4))的一維光強(qiáng)分布Fig. 2. For different values of normalized frequency V, 1D intensity distributions of LP01 mode (blue solid line) and ideal beam(magenta dotted line) in the initial plane ((a1)-(a4)) and focal plane((b1)-(b4)).

當(dāng)遠(yuǎn)場半徑采用不同定義方式時,β因子隨歸一化頻率V的變化曲線圖如圖3 所示. 由圖3 可知, 當(dāng)理想光束選取包含LP01模99%能量的圓形實(shí)心均勻光束時, LP01模的β值隨著V的增大而減小, 當(dāng)?shù)竭_(dá)極小值后β值又緩慢增大. 該變化趨勢說明隨著歸一化頻率的增大, LP01模的遠(yuǎn)場聚焦能力迅速提高, 后以微小的幅度逐漸減弱, 當(dāng)V> 5 時, LP01模的光場分布被限制在纖芯中并趨于穩(wěn)定. 圖3 中β取最小值的位置(V= 7.6)已用實(shí)心圓點(diǎn)標(biāo)識出來, 該點(diǎn)處LP01模的遠(yuǎn)場聚焦能力最強(qiáng), 當(dāng)以二階矩束寬定義遠(yuǎn)場半徑時βmin=0.7439; 當(dāng)以環(huán)圍功率半徑定義遠(yuǎn)場半徑時βmin=0.7119. 在V> 5 時LP01模有著較好的遠(yuǎn)場聚焦能力, 并且此時的β值變化幅度較小, 在二階矩束寬和環(huán)圍功率半徑定義下的β值分別處在0.75 和0.72 附近. 此外, 以二階矩束寬定義的β值略大于環(huán)圍功率半徑定義的β值, 實(shí)際測量中, 可以根據(jù)測量方法和誤差大小選取合適的遠(yuǎn)場光斑光束半徑定義方式. 特別地, 當(dāng)V> 1.8 時,β值小于1(見圖3 綠色區(qū)域), 結(jié)合圖1 可知, 當(dāng)V小于1 時,表示LP01模的遠(yuǎn)場能量集中度大于理想光束, 隨著歸一化頻率V的增大, LP01模β值減小, 遠(yuǎn)場能量集中度增大, 光束質(zhì)量越好. 值得說明的是, 本文中LP01模小于1 時并不是超衍射的情形, 該結(jié)果是由于理想光束選取標(biāo)準(zhǔn)的不同所造成的. Yan等[27]曾分析了雙包層光纖在理想光束分別以均勻平面波和高斯光束定義下的光束質(zhì)量因子β取值,兩種不同的定義方式其光束質(zhì)量β值差別較大, 在均勻平面波作為理想光束時其β值小于1, 這是由于高斯光束與平面波傳輸特性的不同造成的.

圖3 不同半徑定義下β 因子隨歸一化頻率V 的變化關(guān)系Fig. 3. β factor versus normalized frequency V for different definitions of radius.

接下來, 分別研究纖芯半徑a和數(shù)值孔徑NA對β因子的影響. 圖4(a), (b)分別為β因子隨纖芯半徑a和數(shù)值孔徑NA變化曲線圖. 由圖4(a)可知, 固定數(shù)值孔徑NA不變時,β因子隨纖芯半徑a增大先減小后緩慢增大. 當(dāng)纖芯半徑a小于20 μm 時, 纖芯半徑的變化對β因子的影響較大.由圖4(b)可知, 固定纖芯半徑a不變時,β因子隨數(shù)值孔徑NA的增大而減小. 纖芯半徑a越小, 數(shù)值孔徑NA的變化對β因子的影響越大. 事實(shí)上,歸一化頻率V與纖芯半徑和數(shù)值孔徑成正比, 纖芯半徑或數(shù)值孔徑的增大都會造成歸一化頻率V的增大, 因此β因子隨纖芯半徑和數(shù)值孔徑的變化趨勢和β因子隨歸一化頻率V的變化趨勢一致.

圖4 β 因子隨纖芯半徑a (a)和數(shù)值孔徑NA (b)的變化關(guān)系圖Fig. 4. β factor versus core radius a (a) and numerical aperture NA (b).

從β因子評價角度來看, 以上計算結(jié)果表明光纖激光LP01模的光束質(zhì)量β因子隨著歸一化頻率V先減小后緩慢增大, 當(dāng)V> 1.8 時β值小于1, 并且在V> 5 時基本保持不變; 從M2因子評價角度看, LP01模的M2因子始終大于1(圖5(a)),并且M2因子隨著歸一化頻率V的增大先減小后增大, 與文獻(xiàn)[32, 39]的結(jié)果一致. 這就表明當(dāng)選用不同的理想光束和光束質(zhì)量評價標(biāo)準(zhǔn)時, 得到了不同的結(jié)論. 將圖5(a)中同一歸一化頻率V所對應(yīng)的M2和β值表示在圖5(b)中, 得到β因子隨M2因子的變化關(guān)系圖, 由圖可知LP01模的β因子和M2因子的變化關(guān)系圖呈非線性關(guān)系, 也就是說,M2因子和β因子并無一一對應(yīng)關(guān)系.

圖5 (a) 光束質(zhì)量因子隨歸一化頻率V 和(b) β 因子隨M2因子的變化關(guān)系圖Fig. 5. (a) Beam quality factor versus normalized frequency V and (b) β factor versus M2 factor.

眾所周知,M2因子是以基模高斯光束作為理想光束評判實(shí)際光束的光束質(zhì)量,M2因子越接近1, 光束的傳輸特性越接近基模高斯光束, 一般認(rèn)為其光束質(zhì)量越好. 而β因子是評價光束能量集中度的物理量, 其遠(yuǎn)場發(fā)散角越小, 認(rèn)為其光束質(zhì)量越好. 因此, 對于非基模高斯光束來說, 兩種評價標(biāo)準(zhǔn)無絕對的聯(lián)系, 具體應(yīng)采用哪種評價標(biāo)準(zhǔn)評價光束質(zhì)量需結(jié)合實(shí)際應(yīng)用需求進(jìn)行討論. 對于高功率激光能量輸運(yùn)、對靶目標(biāo)進(jìn)行損傷、慣性約束核聚變驅(qū)動器、工業(yè)材料激光加工等應(yīng)用場合中, 考慮采用β因子作為光束質(zhì)量評價標(biāo)準(zhǔn); 對于激光通信、光束經(jīng)過望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)等應(yīng)用中, 考慮采用M2因子作為光束質(zhì)量評價標(biāo)準(zhǔn).

4 結(jié) 論

本文研究了階躍折射率光纖中LP01模的光束質(zhì)量β因子變化規(guī)律. 結(jié)果表明: 當(dāng)理想光束選取包含LP01模99%能量的圓形實(shí)心均勻光束時, 隨著歸一化頻率V的增大, LP01模的β值先減小后緩慢增大, 能量集中度增大. 特別地, 當(dāng)V> 1.8時, LP01模的β值小于1, 其光束質(zhì)量要優(yōu)于理想光束; 當(dāng)V> 5 時,β值基本保持不變. 固定數(shù)值孔徑NA不變時,β因子隨纖芯半徑a增大而減小,并且在纖芯半徑a小于20 μm 時, 纖芯半徑的變化對β因子的影響較大; 固定纖芯半徑a不變時,β因子隨數(shù)值孔徑NA增大而減小, 纖芯半徑a越小, 數(shù)值孔徑NA的變化對β因子的影響越大. 此外, 本文研究了LP01模β因子和M2因子之間的關(guān)系, 結(jié)果顯示β因子和M2因子呈非線性關(guān)系,即LP01模的β因子和M2因子并無一一對應(yīng)的關(guān)系. 以上結(jié)果可為高能光纖激光系統(tǒng)設(shè)計提供重要參考.