光學(xué)諧振腔的傳輸特性*

王雅君 王俊萍 張文慧 李瑞鑫 田龍 鄭耀輝?

1) (山西大學(xué)光電研究所, 量子光學(xué)與光量子器件國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 太原 030006)

2) (山西大學(xué), 極端光學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心, 太原 030006)

(2021 年2 月1 日收到; 2021 年5 月11 日收到修改稿)

1 引 言

光學(xué)諧振腔作為現(xiàn)代光學(xué)應(yīng)用中的一種重要光學(xué)器件, 可實(shí)現(xiàn)光學(xué)空間與頻率模式過濾、噪聲轉(zhuǎn)換、增強(qiáng)激光輻射、非線性相互作用和光譜吸收等物理過程[1-13], 在激光物理學(xué)、量子光學(xué)、激光光譜學(xué)、精密測(cè)量等研究領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值. 從幾何光學(xué)的角度來講, 關(guān)于光學(xué)諧振腔的基本特性, 如穩(wěn)定性、幾何損耗、諧振腔模模式等的研究已經(jīng)比較透徹, 作為一種重要器件已實(shí)現(xiàn)了激光選模、波長(zhǎng)調(diào)諧、高靈敏傳感等應(yīng)用. 然而, 關(guān)于光學(xué)諧振腔的基本功能特性, 如光學(xué)濾波、能量傳輸、噪聲轉(zhuǎn)換等特性的研究較少.

在實(shí)際應(yīng)用中, 腔長(zhǎng)、鏡面參數(shù)與內(nèi)腔損耗決定了光學(xué)諧振腔的光學(xué)頻率帶寬—線寬[8], 因此,其透射場(chǎng)可作為光學(xué)低通濾波器, 抑制超出線寬范圍的光場(chǎng)高頻噪聲; 而反射場(chǎng)與透射場(chǎng)相位相差180°, 可作為高通濾波器, 抑制線寬內(nèi)的光場(chǎng)低頻噪聲. 例如, 在激光陀螺儀應(yīng)用中, 利用超窄線寬光學(xué)諧振腔, 結(jié)合超低熱膨脹系數(shù)材料可制作超穩(wěn)腔, 利用其輸出場(chǎng)大幅壓窄激光線寬, 實(shí)現(xiàn)超穩(wěn)窄線寬激光輸出[14-16]. 在引力波探測(cè)中, 利用光學(xué)諧振腔反射場(chǎng)的高通濾波特性可實(shí)現(xiàn)低頻強(qiáng)度噪聲的抑制[17-20]; 通過濾波腔反射場(chǎng)實(shí)現(xiàn)壓縮光噪聲方位角的操控, 實(shí)現(xiàn)頻率依賴的壓縮真空態(tài)制備,迎合干涉儀量子噪聲譜, 實(shí)現(xiàn)全頻段量子噪聲抑制[21,22]. 以上關(guān)于光學(xué)諧振腔的應(yīng)用均與光學(xué)諧振腔的相位傳輸特性相關(guān). 因此, 從應(yīng)用的功能特性來講, 光學(xué)諧振腔是一種高精度的相敏檢測(cè)器件,通過相位可實(shí)現(xiàn)激光場(chǎng)強(qiáng)度、相位、頻率的操控.同時(shí), 作為一種操控量子噪聲的重要光學(xué)器件, 其損耗特性—能量傳輸特性(損耗等效于引入真空噪聲)將決定量子噪聲的抑制水平[23]. 然而, 目前針對(duì)激光束經(jīng)過光學(xué)諧振腔后的傳輸過程的詳細(xì)研究較少, 有必要進(jìn)行詳細(xì)討論, 相關(guān)研究將提升光學(xué)諧振腔在微弱信號(hào)測(cè)量應(yīng)用中的測(cè)量精度和靈敏度.

本文介紹了光學(xué)諧振腔的傳輸函數(shù)理論, 包括相位、能量和噪聲傳輸特性. 依據(jù)諧振腔參數(shù)的不同, 對(duì)比分析了欠耦合腔、阻抗匹配腔和過耦合腔三種類型諧振腔的幅度與位相傳輸特性, 由此分析三種腔型的頻譜與噪聲傳輸特性, 為光學(xué)諧振腔在精密測(cè)量中的應(yīng)用提供研究基礎(chǔ).

2 光學(xué)諧振腔的傳輸函數(shù)

阻抗匹配因子a是光學(xué)諧振腔的一個(gè)重要參數(shù), 與輸入耦合鏡的反射率r1以及內(nèi)腔附加損耗1?有關(guān), 如反射鏡的吸收、散射損耗以及輸出耦合鏡的傳輸損耗 1?.a的表達(dá)示為[24]

圖1 兩鏡腔結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig. 1. Structure diagram of two-mirror cavity.

2.1 光學(xué)諧振腔的能量傳輸特性

為了研究各種腔型的能量傳輸特性, 保持腔的輸入、輸出耦合鏡的反射率之和R1+R2=1.988不變, 改變耦合鏡反射率R1和R2相對(duì)大小, 可以使腔分別處于欠耦合、阻抗匹配和過耦合狀態(tài). 腔輸出的光強(qiáng)變化情況如圖2(a)所示, 其中內(nèi)腔損耗系數(shù)設(shè)為δ=0.5‰ , 此時(shí)內(nèi)腔損耗為1?rl2oss=0.001, 紅色曲線表示腔的光強(qiáng)反射率, 綠色曲線表示腔的光強(qiáng)透射率, 藍(lán)色曲線表示腔的光強(qiáng)反射率與透射率之和. 可以看出, 當(dāng)腔處于欠耦合, 即r1>r2e?δ時(shí), 隨著輸出耦合鏡反射率R2的增大,腔的反射率逐漸減小, 透射率逐漸增加; 當(dāng)腔處于阻抗匹配, 即r1=r2e?δ時(shí), 腔的反射率到達(dá)最小值0, 透射最大; 當(dāng)腔為過耦合腔, 即r1

圖2 不同腔型的特性 (a)能量傳輸特性; (b)循環(huán)功率特性Fig. 2. Characteristics of different cavity types: (a) Energy transfer characteristic; (b) cyclic power characteristic.

2.2 光學(xué)諧振腔的傳輸函數(shù)

傳輸函數(shù)G(f) 可以表征光學(xué)諧振腔輸入場(chǎng)到反射場(chǎng)在頻率f處的相對(duì)功率波動(dòng)[24], 表示為

其中g(shù)(a)=1/a. 參量h(f)=1/(1+if/f0) 表示腔的功率起伏的濾波效應(yīng),f為入射光的邊帶頻率,f0為腔的線寬. 假設(shè)腔的輸入鏡反射率R1=0.99 ,內(nèi)腔損耗 1?=0.001 , 輸出鏡的反射率R2=0.99 ,由(1)式計(jì)算獲得a=0.0474 , 則g=21 . 圖3 為該諧振腔傳輸函數(shù)G(f) 模的大小和位相的變化, 橫坐標(biāo)為分析頻率f, 歸一化到諧振腔的線寬f0. 綠色曲線表示傳輸函數(shù)的模 |G(f)| 隨f的變化情況.在f較小時(shí), 傳輸函數(shù) |G(f →0)|=1 . 隨f的增大,傳輸函數(shù) |G(f)| 不斷增加.f較大時(shí), 傳輸函數(shù)|G(f →∞)|→21, 即 |G(f →∞)|→g, 增益因子|g|限制了傳輸函數(shù) |G(f)| 在高頻處的最大值. 如果要獲得高的增益, 可以使諧振腔處于近阻抗匹配(即 |a|?1 , 但是a=0 ). 圖3 中的紅色和藍(lán)色曲線分別為在諧振腔處于欠耦合(a=0.0474 ,g=21 )和過耦合(a=?0.0474 ,g=?21 )時(shí)的傳輸函數(shù)G(f)的相位隨頻率的變化趨勢(shì). 對(duì)于欠耦合諧振腔, 傳輸函數(shù)G(f) 的相位為正相位, 隨著頻率的增加, 相位先從0°增加到65.4° (f=0.22 ), 然后減小到0°; 對(duì)于過耦合諧振腔, 傳輸函數(shù)G(f) 的相位為負(fù)相位, 隨著頻率的增加, 相位從0°到–180°單調(diào)變化. 通過以上討論可知, 可以將諧振腔看作是一個(gè)與分析頻率f有關(guān)的分束器或?yàn)V波器.

圖3 傳輸函數(shù)G(f) 隨頻率f 的變化Fig. 3. Diagram of the transfer function G(f) with respect to frequency f.

3 光學(xué)諧振腔的噪聲傳遞

3.1 反射場(chǎng)的強(qiáng)度與位相

上面討論的是光學(xué)諧振腔滿足諧振條件的情況, 當(dāng)考慮諧振腔存在一定的失諧量時(shí), 其反射場(chǎng)的振幅可以表示為[9]

下面討論各類腔型的光強(qiáng)反射率隨Δ的變化情況. 圖4 為腔的光強(qiáng)反射率和反射位相θR與失諧量Δ的關(guān)系圖, 藍(lán)線表示腔的光強(qiáng)反射率, 紅線表示位相θR, 橫坐標(biāo)為腔的失諧量Δ, 圖4(a)為過耦合腔時(shí)的光強(qiáng)反射率和位相隨Δ的變化關(guān)系,其輸入鏡的反射率R1=0.99 , 輸出鏡的反射率R2=0.998. 腔在遠(yuǎn)失諧 |Δ|?0 時(shí), 輸入腔的光場(chǎng)幾乎被全部反射, 此時(shí)反射率近似為1. 腔在逐漸向共振條件靠近時(shí), 部分光場(chǎng)進(jìn)入腔內(nèi), 并透出腔體, 腔的光強(qiáng)反射率逐漸減小. 在滿足光場(chǎng)與腔諧振條件Δ=0 時(shí), 腔的光強(qiáng)反射率達(dá)到最小值. 同時(shí), 過耦合腔的反射位相θR變化范圍較大, 從諧振點(diǎn)到遠(yuǎn)失諧狀態(tài), 對(duì)應(yīng)位相由0 逐漸過渡到2π. 當(dāng)腔處于負(fù)的遠(yuǎn)失諧時(shí), 位相θR接近于0. 當(dāng)腔完全滿足諧振條件時(shí), 位相θR=π ; 處于半失諧時(shí),θR=π/2 或 3π/2 ; 腔處于正的遠(yuǎn)失諧時(shí), 位相θR則接近2π. 圖4(b)為欠耦合腔時(shí)的光強(qiáng)反射率和位相隨Δ的變化關(guān)系, 其輸入鏡的反射率R1=0.998 ,輸出鏡的反射率R2=0.99 . 欠耦合腔的光強(qiáng)反射率變化情況與過耦合腔的相同, 而位相θR沒有過耦合腔的變化范圍大, 從接近–0.06π 變化到+0.06π附近. 腔處于遠(yuǎn)失諧 |Δ|?0 時(shí), 位相θR→0;Δ=0時(shí), 位相θR=0 . 圖4(c)為阻抗匹配腔的光強(qiáng)反射率和位相隨Δ的變化關(guān)系, 其反射率R1=R2=0.994. 腔在遠(yuǎn)失諧 |Δ|?0 時(shí), 反射率近似為1. 腔在逐漸向共振條件靠近時(shí), 光強(qiáng)反射率逐漸減小.區(qū)別于過耦合和欠耦合腔, 在Δ=0 時(shí), 阻抗匹配腔的光強(qiáng)反射率為0. 而位相θR與欠耦合腔類似, 腔在遠(yuǎn)失諧 |Δ|?0 時(shí), 位相θR→0 , 當(dāng)在接近共振條件Δ →0 時(shí), 位相θR→?π/2 或 π/2 , 即在共振點(diǎn)附近位相變化比較靈敏.

圖4 光學(xué)諧振腔光強(qiáng)反射率和反射位相 θR 與失諧量Δ 的關(guān)系 (a) 過耦合腔, R1 =0.99 , R2 =0.998 ; (b)欠耦合腔, R1 =0.998 , R2 =0.99 ; (c)阻抗匹配腔,R1 =R2=0.994Fig. 4. Relations between optical intensity reflectivity and reflection phase θR and detuning Δ in optical resonator:(a) Over-coupled cavity, R1=0.99 , R2 =0.998 ; (b) undercoupled cavity, R1 =0.998 , R2 =0.99 ; (c) impedance matched cavity, R1 =R2 =0.994 .

3.2 輸出場(chǎng)的噪聲特性

下面討論光學(xué)諧振腔的噪聲傳輸特性, 為了方便分析, 以圖5 三鏡環(huán)形諧振腔為例分析噪聲傳遞特性. 三鏡環(huán)形諧振腔是當(dāng)前量子噪聲操控的主要諧振腔器件, 相比兩鏡駐波腔, 三鏡腔更容易實(shí)現(xiàn)輸入光場(chǎng)和輸出光場(chǎng)的空間分離, 可有效避免反射光返回上游光路, 引入后向反饋噪聲. 輸入場(chǎng)Ain1由輸入鏡 M1注入腔內(nèi), 其反射光場(chǎng)為Aout1. 真空?qǐng)鯝in2從右側(cè)的輸出鏡 M2進(jìn)入腔內(nèi), 透射光場(chǎng)為Aout2. 其中腔鏡 M3是鍍有高反膜的凹面鏡, 在這里不考慮真空?qǐng)? 對(duì)于一個(gè)諧振腔, 輸出場(chǎng)Aout1,Aout2與輸入場(chǎng)Ain1,Ain2的關(guān)系為[24]

圖5 三鏡環(huán)形諧振腔的噪聲模型Fig. 5. Noise model of three-mirror annular resonator.

其中f為輸入場(chǎng)Ain1的邊帶頻率,f0為腔的線寬.

在測(cè)量振幅較大、波動(dòng)較小的光場(chǎng)時(shí), 可將算符做線性化處理. 因此算符Ain1和Ain2可寫為

其中,α是與時(shí)間無關(guān)的載頻振幅,δAin1和δAin2表示光場(chǎng)的小波動(dòng),δAin1和δAin2的期望值均為零. 輸入光場(chǎng)Ain1的經(jīng)典振幅對(duì)應(yīng)于α, 由于輸入光場(chǎng)Ain2為真空?qǐng)? 它的平均場(chǎng)為零, 只有起伏項(xiàng)δAin2.將其代入(10)式和(11)式可得:

同理, 腔的反射光場(chǎng)Aout1和透射光場(chǎng)Aout2也可以寫為

代入(14)式和(15)式可得

反射光場(chǎng)Aout1和透射光場(chǎng)Aout2的起伏量分別為δAout1和δAout2, 則可推導(dǎo)出方差 Var(δAout1) 和Var(δAout2)分別為

將所有算符轉(zhuǎn)化為傅里葉空間后, 利用譜方差計(jì)算功率噪聲的雙邊功率譜S,

圖6 腔輸出場(chǎng)的量子噪聲限制 (a)阻抗匹配腔中噪聲隨頻率的變化; (b)非阻抗匹配腔中噪聲隨頻率的變化;(c)反射光場(chǎng)噪聲隨阻抗匹配因子a 的變化Fig. 6. Quantum noise limitation of cavity output field:(a) Variation of noise with frequency in impedance matched cavity; (b) variation of noise with frequency in a non-impedance matched cavity; (c) variation of noise of the reflected light field with impedance matching factor a.

為進(jìn)一步研究腔的反射光場(chǎng)降噪效果與阻抗匹配因子a的關(guān)系, 取頻率f/f0=0.01 , 使阻抗匹配因子a從–1 到1 變化, 反射光場(chǎng)的噪聲結(jié)果如圖6(c)所示. 可以看出, 只有當(dāng)腔處于阻抗匹配或近阻抗匹配時(shí), 才能達(dá)到較好的降噪效果.

結(jié)合以上分析可知, 諧振腔完全滿足諧振條件時(shí), 其輸出場(chǎng)可看作低通濾波器, 高頻噪聲直接被反射, 輸出端高頻噪聲被大幅抑制, 遠(yuǎn)大于線寬頻率處的噪聲達(dá)到散粒噪聲基準(zhǔn). 因而, 可通過窄線寬的光學(xué)諧振腔大幅抑制超出線寬范圍的光場(chǎng)噪聲. 同時(shí), 從三種類型光學(xué)諧振腔的位相關(guān)系圖中可以發(fā)現(xiàn), 過耦合腔處于半失諧狀態(tài)時(shí), 相對(duì)于載頻處, 邊帶頻率的位相旋轉(zhuǎn) ± 90°, 因而在這種情況下過耦合腔可將光場(chǎng)位相噪聲轉(zhuǎn)換為振幅噪聲, 可用于位相噪聲的測(cè)量[9]或壓縮光壓縮角的旋轉(zhuǎn)[21,22,27], 對(duì)激光噪聲分量的分析和量子噪聲的操控具有重要的應(yīng)用價(jià)值.

4 結(jié) 論

本文通過光學(xué)諧振腔的傳輸函數(shù)、噪聲傳遞模型, 理論分析了過耦合腔、阻抗匹配腔與欠耦合腔三種腔型結(jié)構(gòu)的位相、強(qiáng)度、噪聲的頻譜特性和能量傳輸特性. 依據(jù)噪聲的頻譜分析結(jié)果, 反射場(chǎng)可等效為高通濾波器, 透射場(chǎng)可等效為低通濾波器;依據(jù)相位的頻譜分析結(jié)果, 區(qū)別于阻抗匹配與欠耦合腔較小的位相變化, 過耦合腔反射場(chǎng)可實(shí)現(xiàn)0—2π 范圍內(nèi)的位相操控, 當(dāng)處于半失諧時(shí), 位相變化π/2, 輸入場(chǎng)位相噪聲完全轉(zhuǎn)換為振幅噪聲,可用于位相噪聲的測(cè)量與量子噪聲方位角的操控.同時(shí), 在三類腔型結(jié)構(gòu)中, 過耦合腔輸出場(chǎng)能量損耗最大. 本文分析結(jié)果為各種光學(xué)諧振腔在不同場(chǎng)合的應(yīng)用提供了依據(jù), 為利用光學(xué)諧振腔操控光場(chǎng)量子噪聲, 提升精密測(cè)量的精度提供了保障.