2021年新課標(biāo)Ⅲ卷解析幾何試題賞析與探究

潘 宇

(廣東省華南師大附中汕尾學(xué)校 516600)

2021年高考剛剛落下帷幕，全國各地老師紛紛對(duì)其中的優(yōu)秀試題展開研究.筆者在研究2021年新課標(biāo)Ⅲ卷第20題解析幾何時(shí)，發(fā)現(xiàn)該題既可以用特殊位置猜想結(jié)果，又可以用基本思想方法解答.此題不僅可以尋找到往年舊題中的縮影，更能挖掘其深藏的競賽背景，下面筆者以此題為例，從真題解法賞析、試題背景探源、基本思想方法的應(yīng)用和教學(xué)啟示等四個(gè)方面展開詳細(xì)闡述.

一、真題解法賞析

例1 (2021年新課標(biāo)Ⅲ卷第20題)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線l:x=1交C于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，點(diǎn)M(2，0)，且⊙M與l相切.

(1)求C，⊙M的方程；

(2)設(shè)A1，A2，A3是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切，判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由.

圖1

評(píng)注由于第二問難度較大，很多學(xué)生可能想不到如何破解或者在考場上來不及研究，所以可以先用“特殊化”的思想，預(yù)測答案，再從“特殊到一般”，尋找證明思路，或者書寫有效的得分步驟，爭取得分最大化.

二、試題背景探源

例1的競賽背景為彭賽列閉合定理：平面上給定兩條圓錐曲線，若存在一封閉多邊形外切其中一條圓錐曲線且內(nèi)接另一條圓錐曲線，則此封閉多邊形內(nèi)接的圓錐曲線上每一個(gè)點(diǎn)都是滿足這樣(切、內(nèi)外接)性質(zhì)的封閉多邊形的頂點(diǎn)，且所有滿足此性質(zhì)的封閉多邊形的邊數(shù)相同.

簡明的彭賽列閉合定理表示為：一個(gè)三角形外接于一個(gè)圓，內(nèi)切一個(gè)圓，則三角形的外接圓可以有無數(shù)個(gè)內(nèi)接三角形滿足其內(nèi)切圓為上述的同一個(gè).于是可以得到例1分析如下：

評(píng)注知道彭賽列閉合定理可以幫助我們預(yù)判解題之路，但缺點(diǎn)是這些超綱知識(shí)不可用于考場答卷.所以幫助我們解決圓錐曲線的內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓問題的最重要方法還是通性通法，也就是前文分析2后的總結(jié)(1)、(2)、(3).下面繼續(xù)舉例說明這些總結(jié)的應(yīng)用.

三、基本思想方法的應(yīng)用

例2 (2021年全國八省聯(lián)考第7題)已知拋物線y2=2px上三點(diǎn)A(2,2),B,C，直線AB,AC是圓(x-2)2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為( ).

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

評(píng)注以上的例1、例2都是考查拋物線的內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓問題，下面看看一個(gè)橢圓中的例子.研究往年經(jīng)典題可以提煉解題方法，指導(dǎo)未來解題.

圖2

評(píng)注該題是典型的彭賽列閉合.積極研究往年經(jīng)典例題，并用于日常教學(xué)，不僅可以“與命題者對(duì)話”，在研究掌握通性通法的同時(shí)訓(xùn)練學(xué)生的計(jì)算毅力，還可以滲透數(shù)學(xué)文化、括展知識(shí)面，往前追溯，還可以在聯(lián)賽試題中找到類似考法.

例4 (2008高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B,C在y軸上，圓(x-1)2+y2=1內(nèi)切于ΔPBC，求ΔPBC面積的最小值.

圖3

點(diǎn)評(píng)從以上例題的解答過程可以提煉出解析幾何最常用的解題思想方法：設(shè)點(diǎn)、設(shè)線、聯(lián)立、消元、設(shè)而不求，仍然是圓錐曲線解題的主旋律；以點(diǎn)斜式、點(diǎn)線距離公式、線圓相切等知識(shí)為載體，通過運(yùn)算求解、方程變形，得到“同構(gòu)”二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系找到解題突破口.

四、教學(xué)啟示

隨著新課程、新教材、新高考的逐步推進(jìn)，圍繞數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落實(shí)的全國卷數(shù)學(xué)試題已然引領(lǐng)著新時(shí)期的數(shù)學(xué)教學(xué)改革.基于2021年新課標(biāo)Ⅲ卷數(shù)學(xué)第21題解析幾何試題的全面闡述，在解析幾何教學(xué)中需要關(guān)注的的幾個(gè)方面有：

1.貫徹解析幾何基本思想方法，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì).解析幾何其核心思想就是運(yùn)用代數(shù)的方法研究幾何問題，故而其關(guān)鍵要處理的是幾何問題.因此在解析幾何實(shí)踐教學(xué)中要注重幾何關(guān)系的分析，厘清復(fù)雜曲線中的幾何關(guān)系，尤其是直線與曲線的常見位置關(guān)系(相切、平行、垂直)的代數(shù)等價(jià)形式，其基本處理方法是“設(shè)而不求”和“設(shè)且求”.

2.滲透類比探究思想，強(qiáng)化思維訓(xùn)練，提升運(yùn)算素養(yǎng).解析幾何內(nèi)容，尤其是有心二次曲線的性質(zhì)常常都具有極其類似的結(jié)論，因而在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究活動(dòng)中始終樹立類比推理的意識(shí)，充分挖掘出與已知知識(shí)相鄰的“知識(shí)圈”.在探究推理過程中遵循特殊到一般原則，狠抓學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和創(chuàng)新思維.

3.關(guān)注學(xué)科知識(shí)間的融合，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.2021年新課標(biāo)Ⅲ卷數(shù)學(xué)第21題第(2)問考查學(xué)生在開放的情境中發(fā)現(xiàn)主要矛盾的能力，結(jié)合特殊值的思想與彭賽列閉合定理理論支撐，能夠明晰問題結(jié)論，指引推理方向.因此在解析幾何的教學(xué)中需要適當(dāng)關(guān)注數(shù)學(xué)文化，融合不等式、導(dǎo)數(shù)等學(xué)科知識(shí).

解析幾何問題，不僅僅是運(yùn)算問題，更是思維問題.“多考一點(diǎn)想，少考一點(diǎn)算”新高考理念下的解析幾何問題，設(shè)問開放，教學(xué)的核心始終圍繞基本思想方法才是解決問題的關(guān)鍵.