一道橢圓方程題的求解思考

曹曉琰

(江蘇省南京市中華中學(xué) 210019)

一、問題呈現(xiàn)

圖1

二、問題分析

三、破解方向

點(diǎn)評根據(jù)條件可知PO為線段F1F2的中線，而與中線密切聯(lián)系的就是平面向量知識，借助平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積等，就可以非常有效地構(gòu)建起與中線有關(guān)的關(guān)系式，從而得以巧妙破解.

點(diǎn)評根據(jù)條件可知PO為線段F1F2的中線，把問題放在△PF1F2中來處理，其實(shí)質(zhì)就是解三角形問題，借助三角形的性質(zhì)，通過三邊以及中線PO的條件，可以利用在兩個不同三角形中同角的余弦值相等，或是兩個不同三角形中互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)來建立有關(guān)的關(guān)系式，從而得以巧妙破解.

圖2

①

②

③

點(diǎn)評根據(jù)條件可知PO為線段F1F2的中線，又由|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數(shù)列，可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，涉及|PF1|與|PF2|的長度問題，可以考慮利用橢圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合焦半徑公式(|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0)加以轉(zhuǎn)化，再結(jié)合題目相關(guān)條件建立有關(guān)的關(guān)系式，從而得以巧妙破解.

其實(shí)，在實(shí)際求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，一定要充分抓住橢圓的幾何性質(zhì)，根據(jù)具體情況選取比較合適的求解方法加以處理，有時也結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)、平面幾何性質(zhì)、平面向量、三角函數(shù)、解三角形、直線與圓等相關(guān)知識加以融合與交匯，利用相交知識的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用來綜合處理相應(yīng)的方程問題.