2^an階群的可解性

崔雪晴

【摘要】為了判定2an階群的可解性，采用了群的右正則表示的方法.給出了2an階群可解的一個充分條件，即若其Sylow2-子群循環(huán)，則其必可解.又給出了判定2a階群循環(huán)性的方法.得到一個判定2an階群可解性的方法.

【關(guān)鍵詞】有限群；2an階群；可解性

【中圖分類號】O152.1

判定有限群的可解性是有限群論的重要問題之一.從群階的角度去研究可解性，是關(guān)鍵的研究方向.著名的FeitThompson定理已得到，奇數(shù)階群必可解.以下，在此基礎(chǔ)之上，給出了偶數(shù)階群可解的一個充分條件.首先看幾個有用的引理.

下面來證明2an階群可解的一個充分條件.

定理1 設(shè)G=2an，a是正整數(shù)，n是奇數(shù).若G的Sylow2-子群循環(huán)，則G必可解.

證明 設(shè)P為G的Sylow2-子群，則|P|=2a.由P循環(huán)知，P中存在2a階元素u.考慮G的右正則表示R.由R（u）的定義及u為2a階元素知，R（u）的不相交輪換分解中任一輪換長為2a.又由R（u）的定義知，R（u）無不動點，因此R（u）分解為n個長為2a的輪換.從而可表成（2a-1）n個對換.于是R（u）是奇置換.即R（G）中含有奇置換.于是R（G）中所有偶置換組成指數(shù)為2的正規(guī)子群N.|N|=2a-1n.斷言：N的Sylow2-子群也循環(huán).因為N的Sylow2-子群是R（G）的2-子群，必包含于R（G）的某Sylow2-子群中，由引理3知，R（G）的Sylow2-子群循環(huán)，于是N的Sylow2-子群循環(huán).由引理1及歸納假設(shè)知，N可解.R（G）/N是2階群，也可解.由引理2知，R（G）可解.由引理3知，G可解.

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