等度收斂函數(shù)列的性質(zhì)與應用

邱香蘭 王小元 周麗英 肖可成

摘 要：一致收斂函數(shù)列是數(shù)學分析研究的重點與難點，而其中的等度一致連續(xù)函數(shù)列更是眾多學者研究的熱點。等度收斂函數(shù)列則是模仿等度一致連續(xù)函數(shù)列的定義而定義的。文章通過探究等度收斂函數(shù)列的性質(zhì)與應用，得出函數(shù)列等度收斂的條件強于一致收斂的條件，找到能移植到等度收斂函數(shù)列中的一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)，并列出該性質(zhì)的證明過程，同時呈現(xiàn)等度收斂函數(shù)列在常微分方程中的應用。

關(guān)鍵詞： 等度收斂函數(shù);數(shù)列;性質(zhì);應用

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A文章編號：1008-3561（2022）02-0112-03

一、引言

數(shù)學這門古老的學科在其發(fā)展過程中經(jīng)歷了三次數(shù)學危機，而每一次數(shù)學危機的解決過程都是數(shù)學研究進步的過程，是數(shù)學獲得更大發(fā)展的過程。數(shù)學分析是大學數(shù)學的基礎(chǔ)課程，數(shù)學分析的基礎(chǔ)是實數(shù)理論。實數(shù)系最重要的特征是連續(xù)性，有了實數(shù)的連續(xù)性才能討論極限、連續(xù)、微分和積分。正是在討論函數(shù)的各種極限運算的合法性的過程中，人們逐步建立起嚴密的數(shù)學分析理論體系。隨著研究的逐步深入，人們正慢慢揭開數(shù)學分析神秘的面紗，其中，數(shù)學分析中的等度收斂是收斂與等度一致連續(xù)的結(jié)合，不僅具有一致收斂的性質(zhì)，還具有一致連續(xù)的性質(zhì)。作為一種全新的概念，等度收斂有很大探究空間，是眾多學者研究的課題。一致收斂以及一致連續(xù)也是數(shù)學分析的重要內(nèi)容，等度連續(xù)雖然出現(xiàn)較少卻具有橋梁的連接作用。為探索它們之間的關(guān)系，徐麗從它們的定義出發(fā)，運用數(shù)學分析中的定理與技巧，找到相互推導需要用到的條件。由此，這幾個概念之間的關(guān)系變得清晰明了。之后，邢家省等人重新提出不受關(guān)注的奧斯古德定理，并進一步論證這個定理具有的價值、意義。實際上，奧斯古德定理只是判斷一致收斂的一種方法，但它是從函數(shù)列的等度一致連續(xù)性出發(fā)得出來的，因此也可以說奧斯古德定理是在探索等度一致連續(xù)和一致收斂的關(guān)系。目前，對等度一致連續(xù)的研究多數(shù)是在拓撲學之中，而等度收斂是一個全新的概念，它包含等度一致連續(xù)與收斂的內(nèi)容，并推導出一致收斂、一致連續(xù)，而這也給學者提供了新的研究思路、新的研究方向。要說明一致收斂，只要說明等度收斂即可，要判斷一致連續(xù)，也只要說明等度收斂即可，但是從后面的研究可以發(fā)現(xiàn)，等度收斂的條件很強，要判斷等度收斂并不是一件輕松的事。由此可見，等度收斂還有很大的探究空間。本文主要探究等度收斂函數(shù)列的性質(zhì)與應用。

二、等度收斂函數(shù)列概念的界定

目前，很多教材都沒有等度一致連續(xù)的定義，這里只能對等度一致連續(xù)這一概念進行描述。若函數(shù)列

f（x）中每一個函數(shù)在數(shù)集D上都一致連續(xù)，則函數(shù)列

f（x） 在D上是等度一致連續(xù)。下面模仿等度一致連續(xù)函數(shù)列的定義來定義等度收斂函數(shù)列。若函數(shù)列

f（x） 收斂于f（x），且其中每一個函數(shù)fn（x）在數(shù)集D上都一致連續(xù)，則稱函數(shù)列

f（x）在D上為等度收斂函數(shù)列，記作：fn（x）→f（x）（n→∞），x∈D。等度收斂函數(shù)列用ε-δ 語言描述為： ?ε>0，?δ=δ（ε）>0，當x1，x2∈D且x1-x2<δ時，?n有

f（x1）-

f（x2）<ε，并且f（x）=f（x）。

三、等度收斂函數(shù)列的性質(zhì)

性質(zhì)1（一致收斂性）：若函數(shù)列

f（x）在[a， b]上等度收斂于f（x），則

f（x）在[a， b]上一致收斂。

證明：因為函數(shù)列

f（x）在[a， b]上等度收斂于f（x），所以對?ε>0，?δ=δ（ε）>0，當x1，x2∈[a， b]且x1-x2<δ時，?n有

f（x1）-

f（x2）<ε，并且f（x）=f（x）。即函數(shù)fn（x）在[a， b]上一致連續(xù)，又由收斂數(shù)列的保不等式性知，f（x1）-f（x2）≤ε，即f（x）在[a， b]上也一致連續(xù)。

每一x∈[a， b]，都對應著一個鄰域U（x， δ），所有這樣的鄰域U（x， δ）所形成的開區(qū)間集H自然覆蓋了閉區(qū)間[a， b]。于是由有限覆蓋定理可知，必存在有限多個這樣的鄰域U（x1， δ），U（x2， δ），…，U（xm， δ） 也覆蓋了閉區(qū)間[a， b]。令分割 Δ：a=x10，?Ni>0當n>Ni時，有

f（xi）-

f（xi）<（i=1， 2，…， n），只要取N=maxN1， N2， N3， …Nm，當n>N，?x∈[a， b]，?xi有x-xi<δ，從而

f（x）-f

（x）=

f（x）-

f（xi）+

f（xi）-

f（xi）+

f（xi）-f

（x）≤

f

（x）-

f（xi）+

f（xi）-f

（xi）+

f（xi）-f

（x）<++=ε，故

f（x）在[a， b]上一致收斂于f（x）。

性質(zhì)2（連續(xù)性）：設函數(shù)列

f（x）在[a， b]上等度收斂于f（x），則f（x）在[a， b]上連續(xù)。由性質(zhì)1的證明過程知性質(zhì)2成立。

性質(zhì)3（可積性）：設函數(shù)列

f（x）在[a， b]上等度收斂于f（x），則f（x）在[a， b]上可積，且f（x）dx=f（x）dx。

證明：分兩步證明。（1）因為函數(shù)列

f（x）在[a， b]上等度收斂于f（x），則由上述性質(zhì)2知f（x）在[a， b]上連續(xù)。因為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定可積，所以f（x）在[a， b]上可積。（2）要證明f（x）dx=f（x）dx，證明f（x）dx=f（x）dx即可。也就是要證明 ?ε>0，?N>0，當n>N，?x∈[a， b]時有

f（x）dx-

f（x）dx=

fn（x）-f（x）dx<ε。由于

f（x）在[a， b]上等度收斂于f（x），根據(jù)性質(zhì)1知fn（x）一致收斂于f（x）， x∈[a， b]，即?ε>0，?N>0，當n>N，?x∈[a， b]都有fn（x）-f（x）<。于是進行放縮有

f（x）dx-

f（x）dx=

fn（x）-f（x）dx≤fn（x）-f（x）dx<·（b-a）=ε，綜合（1）（2）便可得證。

性質(zhì)4（可導性）：設函數(shù)列

f（x）在[a， b]上收斂于f（x）， fn'（x）在[a， b]上等度收斂于f'（x），則

f（x）在[a， b]上可導，且

f（x）=f（x），證明：因為函數(shù)列

f'（x）在[a， b]上等度收斂于f'（x），所以根據(jù)性質(zhì)2知，函數(shù)列

f'（x）在[a， b]上連續(xù)，于是有f'（x）=f'（x）?！遞（x）-f（x0）=f'（t）dt ?fn（x）=fn（x0）+f'（t）dt，∴f（x）=f（x0）+f'（t）dt=f（x0）+f'（t）dt，∴

f（x）=

f'（t）dt=f'（x）=f'（x）= f（x），結(jié)論得證。

性質(zhì)5（一致連續(xù)性）：

f（x）在D上等度收斂于f（x），則fn（x）和f（x）在D上一致連續(xù)。

證明：由于fn（x）在D上等度一致連續(xù)，所以?ε>0，?δ=δ（ε）>0，當x1，x2∈D且x1-x2<δ時，?nfn（x1）-fn（x2）<ε。很顯然，一方面，按照一致連續(xù)的定義，函數(shù)fn（x）在D上一致連續(xù);另一方面，因為f（x）= f（x），所以只要讓n→∞，取極限就會有f（x1）-f（x2）<ε，即f（x）在D上也一致連續(xù)。

上述性質(zhì)2、3、4與一致收斂的函數(shù)列的相應三個性質(zhì)比較，等度收斂的優(yōu)點特別突出，它不再需要一些附加條件，比如在證明一致收斂函數(shù)列的極限函數(shù)的可微性時，要增加函數(shù)列的每一項都有連續(xù)的導數(shù)的條件。這是因為等度收斂函數(shù)列不僅有一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)，還有其他性質(zhì)，如一致連續(xù)性。

四、等度收斂函數(shù)列的應用

等度收斂函數(shù)列應用于許多數(shù)學領(lǐng)域，本文主要研究其在常微分方程中的應用。用Picard逐步逼近法得到函數(shù)列φn（x）如下：

φ0（x）=y0

φn（x）=y0+

f（ξ，φn-1（ξ））dξ， x0≤x≤x0+h（n=1， 2…）且有 φn（x）-y0≤b，證明函數(shù)列φn（x）是等度收斂的。

分析：已知“函數(shù)序列φn（x）在x0≤x≤x0+h上是一致收斂的”。那么，根據(jù)等度收斂函數(shù)列定義的界定，證明φn（x）在x0≤x≤x0+h上是等度一致連續(xù)的即可。

證明：由于φn（x）=y0+f（ξ，φn-1（ξ））dξ， 且有φn（x）-y0≤b，所以φn（x）在x0≤x≤x0+h上有界。設M=f（x，y）， ?ε>0，?δ=則對于任意的x1，x2∈U+（x0， h）且x1-x2<δ時有φn（x1）-φn（x2）=

f（x，φn-1（x））dx-

f（x，φn-1（x））dx=

f（x，φn-1（x））dx≤

f（x，φn-1（x））dx≤Mx1-x2<ε。所以φn（x）是等度一致連續(xù)的。又已知函數(shù)序列φn（x）在x0≤x≤x0+h上是一致收斂的，所以φn（x）是等度收斂的。已知，φn（x）是x0≤x≤x0+h上的連續(xù)解。下面用一致連續(xù)的定義證明φ（x）是一致連續(xù)的。證明：對于?ε>0，?δ=>0，當x1，x2∈x-x0≤h且x1-x2<δ時，有φ（x1）-φ（x2）=y0+

f（ξ，φ（ξ））dξ-y0+

f（ξ，φ（ξ））dξ≤

f（x，φ（x））dx≤f（x，φ（x）dx≤Mx1-x2<ε，所以φ（x）是x0≤x≤x0+h上的一致連續(xù)解。

五、結(jié)語

等度收斂是一個新概念，但是其內(nèi)容對學生并不是完全陌生的，等度收斂是收斂與等度一致連續(xù)的升華。等度一致連續(xù)雖然在大學數(shù)學教材中并不常見，但是在實分析中的作用很大，收斂則是數(shù)學分析中的常見內(nèi)容，二者結(jié)合創(chuàng)造出“新”的數(shù)學知識，即一致收斂與一致連續(xù)。于是，等度收斂與一致收斂、一致連續(xù)之間便架起了橋梁，一致收斂的性質(zhì)可以轉(zhuǎn)移到等度收斂中，而因為等度一致連續(xù)的存在又使得等度收斂增加了一致收斂的性質(zhì)。這樣，數(shù)學分析中的一致收斂、一致連續(xù)變得更加緊密。本文從等度收斂的定義入手，首先探究等度收斂與一致收斂的關(guān)系，然后根據(jù)關(guān)系推導出等度收斂的性質(zhì)及判斷技巧，最后將這個新的概念運用于解題之中。由此得出結(jié)論，等度收斂函數(shù)列概念的提出非常有價值而且還有許多未知領(lǐng)域值得人們?nèi)ヌ剿?、去研究?/p>

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Properties and Application of Equidegree

Convergent Function Sequence

Qiu Xianglan， Wang Xiaoyuan， Zhou Liying， Xiao Kecheng

（School of Engineering and Management， Pingxiang University， Pingxiang 337000， China）

Abstract： Uniformly convergent function sequence is the focus and difficulty of mathematical analysis， and the equidegree uniformly continuous function sequence is the focus of many scholars. The equidegree convergent function sequence is defined by imitating the definition of equidegree uniformly continuous function sequence. By exploring the properties and applications of equidegree convergence function sequence， this paper obtains that the condition of equidegree convergence of function sequence is stronger than that of uniform convergence， finds the property of uniform convergence function sequence that can be transplanted into equidegree convergence function sequence， lists the proof process of this property， and presents the application of equidegree convergence function sequence in ordinary differential equations.

Key words： equidegree convergence function; sequence; nature; application