基于壓電阻抗技術(shù)吉他振動(dòng)特性的研究

張 軍，趙林玉，羅德昌

(1.安徽理工大學(xué)人工智能學(xué)院，安徽省淮南市泰豐大街168號(hào) 232001；2.安徽理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽省淮南市泰豐大街168號(hào) 232001)

弦類樂(lè)器是依靠琴弦振動(dòng)來(lái)的發(fā)聲，并借助于共鳴箱加以放大。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)弦類樂(lè)器的發(fā)聲原理進(jìn)行了很多研究，Ahmed,SA等[1]人通過(guò)研究樂(lè)器材料在不同的濕度環(huán)境下對(duì)樂(lè)器振動(dòng)特性的影響；Debut V等[2]人建立吉他的模型，對(duì)模型進(jìn)行弦的張力計(jì)算和共鳴箱的有限元分析。Kusumaningtyas I等[3]人研究不同前面板材料下的吉他的聲學(xué)特性，發(fā)現(xiàn)培東竹作為吉他前面板的材料最合適。國(guó)內(nèi)學(xué)者陳超[4]對(duì)吉他進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，將實(shí)驗(yàn)與有限元結(jié)果進(jìn)行了比較，說(shuō)明了聲音采集系統(tǒng)的可靠性；矯盼盼[5]搭建雙高速相機(jī)非接觸式光學(xué)測(cè)量系統(tǒng)，測(cè)量在撥弦狀態(tài)下吉他標(biāo)定點(diǎn)的琴弦上的振動(dòng)特性，證明了纏弦振動(dòng)衰減緩慢。

壓電阻抗技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域主要在結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別和結(jié)構(gòu)健康檢測(cè)上。為驗(yàn)證該技術(shù)在樂(lè)器領(lǐng)域研究的可行性，文中通過(guò)有限元分析軟件對(duì)吉他共鳴箱音孔大小、共鳴箱的前面板厚度及材料和弦的張力、直徑、有效長(zhǎng)度進(jìn)行變量控制，分析得出這些變量對(duì)吉他本身的影響，可以靠這些變量進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，然后搭建吉他的壓電阻抗和聲學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行模態(tài)頻率驗(yàn)證，最后應(yīng)用各弦的模態(tài)頻率進(jìn)行弦直徑的預(yù)測(cè)，得出壓電阻抗技術(shù)可以用于改善吉他的振動(dòng)特性的結(jié)論。

1 壓電阻抗技術(shù)(簡(jiǎn)稱EMI技術(shù))

1.1 結(jié)構(gòu)壓電耦合電阻抗原理

壓電效應(yīng)是壓電材料在電場(chǎng)的作用下發(fā)生極化現(xiàn)象，內(nèi)部電荷發(fā)生移動(dòng)。去除電場(chǎng)后，壓電材料內(nèi)部仍存在極化電荷，這使得壓電材料具有了壓電效應(yīng)[6-9]。當(dāng)有力加在壓電元件上時(shí)，將引起壓電元件內(nèi)部電荷發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生電信號(hào)，這種將壓電材料由機(jī)械能轉(zhuǎn)換成電能的現(xiàn)象稱為正壓電效應(yīng)，相反，當(dāng)在壓電元件表面上施加電壓，導(dǎo)致壓電元件的機(jī)械變形，這種將壓電材料由電能轉(zhuǎn)換成機(jī)械能的現(xiàn)象稱為逆壓電效應(yīng)。壓電阻抗技術(shù)就是運(yùn)用了壓電的逆效應(yīng)現(xiàn)象。

由于文中的PZT壓電陶瓷片既要做接收器同時(shí)又要做發(fā)射器，因此選擇PZT-4。

以PZT-4和單自由度SMD系統(tǒng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)壓電耦合對(duì)壓電耦合后電阻抗原理進(jìn)行闡述，原理如圖1所示。

圖1 PZT-4與單自由度SMD系統(tǒng)耦合模型Fig.1 Coupling model of PZT-4 and single-degree-of-freedom SMD system

PZT-4的電阻抗Z的表達(dá)式為[10-13]

(1)

通過(guò)公式推導(dǎo)，結(jié)構(gòu)壓電耦合后電阻抗與PZT片尺寸、自身機(jī)械阻抗、結(jié)構(gòu)機(jī)械阻抗、激振頻率都存在一定的關(guān)系。

1.2 弦的振動(dòng)理論

弦的簡(jiǎn)化模型如圖2所示[14]。

圖2 弦的理想化模型Fig.2 An idealized model of a string

弦傳播振動(dòng)時(shí)所發(fā)出聲波的基頻頻率

(2)

式中，T為琴弦受到的張力；P為弦的線密度；L為弦的有效弦長(zhǎng)。

弦的線密度為

(3)

式中：d為弦的直徑；ρ為弦的密度。

聲波的基頻頻率可以表示為

(4)

通過(guò)轉(zhuǎn)化得出張力T的表達(dá)式

T=f2d2L2πρ

(5)

通過(guò)以上公式可得出弦的固有頻率與弦的張力、直徑和有效弦長(zhǎng)有關(guān)，為后文仿真的變量設(shè)置提供理論基礎(chǔ)。

1.3 吉他共鳴箱的振動(dòng)理論

通過(guò)把吉他共鳴箱模型的振動(dòng)形式簡(jiǎn)化為一個(gè)二維自由度模型[15]，其簡(jiǎn)化后的模型如圖3所示：

圖3 吉他共鳴箱的二自由度模型Fig.3 2-DOF model of guitar sound box

吉他共鳴箱的簡(jiǎn)化模型的振動(dòng)方程可表示為：

(6)

式中，mp為共鳴箱前面板質(zhì)量；mh為空氣的質(zhì)量；kp為前面板的剛度；Ap為前面板的有效面積；Ah為音孔的面積；μ為比例系數(shù)；F為琴弦通過(guò)琴碼傳遞給共鳴箱的等效力。

由公式(6)得到共鳴箱的振動(dòng)影響因素與前面板的質(zhì)量、有效面積，音孔的大小有關(guān)，共鳴箱所使用的材料、自身的結(jié)構(gòu)也會(huì)影響其振動(dòng)特性，為后文吉他共鳴箱的模態(tài)分析設(shè)置變量提供依據(jù)。

2 吉他的結(jié)構(gòu)有限元分析優(yōu)化

2.1 弦的諧響應(yīng)分析

吉他弦的基頻通過(guò)理論音高由十二平均律計(jì)算，標(biāo)準(zhǔn)音高a1的頻率為440.0000Hz，計(jì)算出的音高和頻率如表1所示：

表1 各弦在空弦時(shí)的音高和頻率

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

圖41-6弦的諧響應(yīng)結(jié)果

Fig.4Theharmonicresponseresultsof1-6strings

由圖4所示，1-6弦出現(xiàn)峰值的頻率點(diǎn)分別是330Hz，250Hz，195Hz，150Hz，110Hz，85Hz為基本頻率，比表1理論計(jì)算出的各弦頻率基本吻合。觀察各弦的其他峰值，分別為各弦基頻的倍數(shù)形式出現(xiàn)，這是因?yàn)橄以谡駝?dòng)中基頻決定音高，弦的音色通過(guò)諧音列決定，在仿真過(guò)程中施加力的點(diǎn)是人為確定的，因此出現(xiàn)這種倍頻現(xiàn)象。

2.2 弦的仿真實(shí)驗(yàn)分析優(yōu)化

實(shí)驗(yàn)以吉他為例，它的有效弦長(zhǎng)為648mm，弦枕和弦柱的距離約為62mm，弦的總長(zhǎng)為710mm。

將其帶入到公式(6)中得出1-6弦的張力如表2所示。

表2 1-6弦的張力理論計(jì)算值Tab.2 Theoretical calculation values of the tension of strings 1-6

為驗(yàn)證弦固有頻率的影響因素，下面以1弦為例，設(shè)置以下三個(gè)變量實(shí)驗(yàn)運(yùn)用Workbench進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，首先模型的建立與諧響應(yīng)分析一致，導(dǎo)入到Workbench中后進(jìn)行材料設(shè)置，網(wǎng)格的劃分，邊界條件為一端固定，另一端施加一個(gè)Z軸方向的張力，模態(tài)仿真實(shí)驗(yàn)通過(guò)得到的結(jié)果取前6階，通過(guò)origin繪制出圖形。

實(shí)驗(yàn)1：在處于空弦時(shí)保證它的張力為標(biāo)準(zhǔn)值且其他結(jié)構(gòu)尺寸保持不變，在solidworks中改變弦的直徑分別為0.3mm，0.4mm，0.6mm，0.8mm，1.0mm以及1.3mm進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，結(jié)果如圖5所示。

圖5 弦直徑的影響Fig.5 Influence of chord diameter

實(shí)驗(yàn)2：在保證弦的張力和直徑不變的情況下，改變弦長(zhǎng)分別為670.2mm、632.6mm、597.1mm、563.6mm、532.1mm和502.1mm進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，結(jié)果如圖6所示。

圖6 弦長(zhǎng)度的影響Fig.6 Effect of chord length

實(shí)驗(yàn)3：保證弦的直徑、長(zhǎng)度不變，將張力分別設(shè)置為101.26N，111.26N，121.26N，131.26N，141.26N，151.26N進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，結(jié)果如圖7所示。

圖7 弦張力的影響Fig.7 The effect of string tension

由圖5、圖6、圖7可知，弦的直徑越大，弦的固有振動(dòng)頻率就越小；弦的長(zhǎng)度越長(zhǎng)，弦的固有振動(dòng)頻率就越小。弦所受的張力越大，弦的固有振動(dòng)頻率就越大。當(dāng)共鳴箱一定時(shí)，可適當(dāng)調(diào)整弦的直徑、長(zhǎng)度、張力使得共鳴箱達(dá)到較好得放大效果。

2.3 共鳴箱的仿真實(shí)驗(yàn)分析優(yōu)化

在共鳴箱的振動(dòng)理論中可知，共鳴箱的固有頻率與共鳴箱的材料、前面板的厚度、音孔的大小有關(guān)。為驗(yàn)證理論的正確性，下面設(shè)置三組共鳴箱的變量模態(tài)實(shí)驗(yàn)，模態(tài)仿真的流程和弦一致，其中模態(tài)結(jié)果取前30階。通過(guò)origin軟件繪制出圖形，實(shí)驗(yàn)如下：

實(shí)驗(yàn)4：變共鳴箱的材料的模態(tài)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)選用輕木、云杉、松木和白蠟?zāi)舅姆N材料進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，得到的結(jié)果如圖8所示。其中材料的基本參數(shù)如表3所示。

表3 材料的基本參數(shù)

圖8 材料的影響Fig.8 Effect of materials

實(shí)驗(yàn)5：變前面板厚度的模態(tài)實(shí)驗(yàn)，保證其他因素一致，改變前面板的厚度分別為5mm、10mm、15mm以及20mm后進(jìn)行模態(tài)分析，得到的結(jié)果如圖9所示。

圖9 前面板厚度的影響Fig.9 Influence of front panel thickness

實(shí)驗(yàn)6：變音孔大小的模態(tài)實(shí)驗(yàn)，保證其他因素一致，改變音孔的直徑大小分別為80mm，100mm，120mm，140mm后對(duì)共鳴箱進(jìn)行模態(tài)分析，得到的結(jié)果如圖10所示。

圖10 音孔直徑的影響Fig.10 Influence of sound hole diameter

由以上實(shí)驗(yàn)得出以下結(jié)論：

實(shí)驗(yàn)4：如圖8所示，其他因素保持一致時(shí)，共鳴箱的模態(tài)頻率隨著輕木、云杉、松木和白蠟?zāi)镜捻樞蛑饾u升高，當(dāng)共鳴箱的材料為白蠟?zāi)緯r(shí)，它的音域范圍也會(huì)增加。為了保證弦類樂(lè)器的低音品質(zhì)，可用輕木進(jìn)行制作；為了保證弦類樂(lè)器的高音品質(zhì)，可用白蠟?zāi)具M(jìn)行制作。

實(shí)驗(yàn)5：如圖9所示，其他因素保持一致的情況時(shí)，共鳴箱的模態(tài)頻率隨吉他前面板厚度的增加而增加。已知?jiǎng)偠扰c模態(tài)頻率成正比，當(dāng)厚度增加時(shí)，自身的剛度也會(huì)增加，即模態(tài)頻率也會(huì)增加。在厚度為10mm、15mm、20mm時(shí)它們的變化程度有所減小，這是由于厚度增加的同時(shí)，它的重量也在增加，已知重量與模態(tài)頻率成反比，因此出現(xiàn)變化量減小的現(xiàn)象。為了保證弦類樂(lè)器的低音品質(zhì)，可用適當(dāng)降低面板厚度，為了保證弦類樂(lè)器的高音品質(zhì)，可用適當(dāng)增加面板厚度。

實(shí)驗(yàn)6：如圖10所示，其他因素保持一致的情況時(shí)，音孔的直徑大小對(duì)共鳴箱模態(tài)頻率幾乎沒(méi)有影響。音孔的主要作用是在琴弦振動(dòng)時(shí)，可以將振動(dòng)通過(guò)空氣介質(zhì)順利地傳播到共鳴箱內(nèi)后與共鳴箱產(chǎn)生共振，從而起到共鳴箱地放大作用，但在圖中共鳴箱地模態(tài)頻率變化不大是因?yàn)槲⒄{(diào)音孔直徑對(duì)共鳴箱及箱內(nèi)的空氣影響不大。

2.4 共鳴箱的模態(tài)仿真實(shí)驗(yàn)

通過(guò)十二平均律可以確定6根弦的振動(dòng)頻率主要在0～1000Hz之間，這點(diǎn)也可以從6根弦的諧響應(yīng)分析中看出，因此在用workbench對(duì)吉他進(jìn)行模態(tài)實(shí)驗(yàn)時(shí)，只取處于這個(gè)頻率之間的模態(tài)頻率。

當(dāng)6根弦的振動(dòng)頻率點(diǎn)與共鳴箱的模態(tài)頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)時(shí)共鳴箱可以產(chǎn)生較好的聲音放大效果。

2.5 共鳴箱的壓電耦合仿真

在進(jìn)行共鳴箱的壓電耦合仿真時(shí)，吉他上貼上PZT-4后在PZT-4的外表面施加1V電壓，內(nèi)表面施加0V電壓后進(jìn)行諧響應(yīng)仿真，其中掃頻的范圍為0～1000Hz,由于PZT-4的極化方向?yàn)閆軸，所以得到的結(jié)果以Z軸為準(zhǔn)，結(jié)果如圖11所示：

圖11 共鳴箱的諧響應(yīng)結(jié)果Fig.11 Harmonic response results of the sound box

由圖11可知，在頻率點(diǎn)120.09Hz，225.08Hz，275.07Hz，320.07Hz，360.06Hz，370.06Hz，580.04Hz，650.04Hz，720.03Hz，750.02Hz，845.02Hz，910.01Hz，965Hz,在共鳴箱的模態(tài)頻率中都有很好的對(duì)應(yīng)，可以得出了仿真實(shí)驗(yàn)的正確性，也可以得出共鳴箱在這些頻率點(diǎn)處有較好得放大效果。

3 壓電阻抗技術(shù)的吉他振動(dòng)特性實(shí)驗(yàn)

3.1 吉他聲學(xué)實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)器材：吉他、聲級(jí)計(jì)、高速數(shù)據(jù)采集卡、計(jì)算機(jī)以及LabVIEW可視化程序。

實(shí)驗(yàn)主要通過(guò)撥弦的方式使吉他發(fā)出聲音，然后聲級(jí)計(jì)測(cè)量將聲音信號(hào)轉(zhuǎn)換為電信號(hào)，最后由高速采集卡將聲級(jí)計(jì)的數(shù)據(jù)返回上位機(jī)軟件，經(jīng)過(guò)快速傅里葉變換將時(shí)域信號(hào)變?yōu)轭l域信號(hào)，搭建的聲學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖12。實(shí)驗(yàn)以吉他1弦為例做聲學(xué)實(shí)驗(yàn)，得出的結(jié)果如圖13所示：

圖12 聲學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.12 Acoustic experimental platform

圖13 1弦空弦頻譜圖Fig.13 Spectrum of empty strings of 1 string

通過(guò)聲學(xué)實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)果可知，出現(xiàn)峰值的頻率點(diǎn)分別為323.33Hz，646.67Hz，971.11Hz，對(duì)比諧響應(yīng)分析出的出現(xiàn)峰值的頻率點(diǎn)330Hz，660Hz，990Hz，幾乎對(duì)應(yīng)，存在的誤差原因是聲學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)環(huán)境的要求較高，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中達(dá)不到，此處也驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)和仿真的一致性。

3.2 共鳴箱壓電阻抗實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)儀器：被測(cè)吉他、PZT片、WK6500B阻抗儀、導(dǎo)電銀膠、電焊臺(tái)、鉛絲及導(dǎo)線若干。

實(shí)驗(yàn)步驟：首先將魚鰾膠均勻涂抹在方形銅箔片上后將其粘貼在吉他的指定位置上，然后在PZT片上均勻地涂抹上導(dǎo)電銀膠和硬化劑的混合膠體，將PZT片貼在方形銅箔片上。等到膠體完全凝固后，用電烙鐵在方形銅箔上和PZT片上分別焊接上導(dǎo)線后并將導(dǎo)線的另一端連接在阻抗分析儀上；實(shí)驗(yàn)前設(shè)置好相關(guān)參數(shù)后進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，每組數(shù)據(jù)應(yīng)該多做幾遍，比較結(jié)果；將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)導(dǎo)出保存后，用Origin繪制實(shí)驗(yàn)所得的阻抗頻譜圖。阻抗實(shí)驗(yàn)如14所示。

吉他共鳴箱的最低音為56.96Hz，由此劃分出吉他的低音區(qū)為20～100Hz，之后將100～1000Hz均分為3個(gè)音區(qū)，即100～400Hz為吉他的中音區(qū)，400～700Hz為吉他的高音一區(qū)，700～1000Hz為吉他的高音二區(qū)。以上劃分出的4個(gè)音區(qū)通過(guò)WK6500B阻抗儀掃頻出的阻抗圖如圖15所示。

圖14 吉他的阻抗實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.14 An impedance test platform for guitar

(a) (b)

(c)

(d)

實(shí)驗(yàn)結(jié)論：

圖15依次為吉他的低音區(qū)、中音區(qū)、高音一區(qū)和高音二區(qū)。

從低音區(qū)的阻抗圖中可以看出，在0～100Hz范圍內(nèi)由于儀器受到工頻信號(hào)的干擾較大，不能較好的反映出實(shí)質(zhì)問(wèn)題，故不作討論，以下主要討論中音區(qū)、高音一區(qū)和高音二區(qū)。

由壓電效應(yīng)可知當(dāng)機(jī)械阻抗發(fā)生明顯的變化則被測(cè)結(jié)構(gòu)得到的振幅應(yīng)該增強(qiáng)或變?nèi)酰措娮杩棺兓幍念l率為被測(cè)結(jié)構(gòu)的固有頻率。從吉他共鳴箱的中音區(qū)和高音一區(qū)的阻抗圖中可以看出，該頻率段雖然也受到外界因素的影響但也可以看出在280～300Hz，416～433Hz，433～450Hz，468～480Hz，480～500Hz，576～590Hz，640～673Hz，680～700Hz頻率范圍內(nèi)產(chǎn)生共振現(xiàn)象，說(shuō)明共鳴箱在這8個(gè)頻率段內(nèi)的頻率對(duì)共鳴箱起到聲音放大的作用，其效果很好。

從高音二區(qū)中的阻抗圖中可以看出，在700～740Hz，920～980Hz這2個(gè)頻率段內(nèi)的產(chǎn)生共振效果明顯且幅值較大，說(shuō)明共鳴箱在這2個(gè)頻率段內(nèi)有很好的聲音放大作用。

4 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)又稱前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它的優(yōu)點(diǎn)在于可以通過(guò)自身的訓(xùn)練，確定輸入和輸出之間存在的關(guān)系，從而達(dá)到在給定輸入時(shí)可以得到最接近的期望輸出值。它屬于智能信息處理系統(tǒng)的一種，它的主要思想時(shí)利用梯度下降法，使得網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際輸出值和期望輸出的誤差均方根最小[16]。

用matlab進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的搭建，主要包括數(shù)據(jù)的輸入，歸一化處理、網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的設(shè)置、訓(xùn)練、預(yù)測(cè)、反歸一化。

以6根弦的直徑為變量，變量的值依次變化0.02mm后進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)得出45組數(shù)據(jù)，其中40組為訓(xùn)練5組為預(yù)測(cè)。流程如圖16所示。

圖16 網(wǎng)絡(luò)流程圖Fig.16 Network flow chart

經(jīng)過(guò)訓(xùn)練最后得出測(cè)試的結(jié)果如圖17、圖18所示。

圖17 訓(xùn)練結(jié)果Fig.17 Training results

圖18 測(cè)試結(jié)果Fig.18 The test results

由圖17、圖18可以看出預(yù)測(cè)和實(shí)際的值吻合度很高，通過(guò)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)如表4可知，最大的誤差為4.07%，其他誤差都較小，這說(shuō)明了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)弦直徑進(jìn)行識(shí)別。

表4 弦直徑預(yù)測(cè)與實(shí)際對(duì)比

5 結(jié)論

以吉他為研究對(duì)象，借助于EMI技術(shù)，得到了影響吉他共鳴箱的聲學(xué)特性相關(guān)影響因素，驗(yàn)證了EMI技術(shù)在弦類樂(lè)器制作領(lǐng)域應(yīng)用的可行性，得到了以下結(jié)論：

(1)影響吉他共鳴箱固有頻率的主要因素包括：共鳴箱的材料、前面板厚度，其中，共鳴箱的模態(tài)頻率隨著木材的密度及面板的厚度的增加而增加。因此，可以通過(guò)提高弦類樂(lè)器面板材料的密度、增加面板的厚度等方式來(lái)提高弦類樂(lè)器的高音特性；可以通過(guò)減小弦類樂(lè)器面板材料的密度、減小其面板的厚度等方式來(lái)改善弦類樂(lè)器的低音特性。影響弦固有振動(dòng)頻率的主要因素為弦的直徑、張力和有效弦長(zhǎng)，在共鳴箱一定的情況下可以適當(dāng)修改弦的直徑張力和有效弦長(zhǎng)進(jìn)行聲音的放大。

(2)在壓電阻抗實(shí)驗(yàn)中可以得出，吉他共鳴箱在280～300Hz，416～433Hz，433～450Hz，468～480Hz，480～500Hz，576～590Hz，640～673Hz，680～700Hz，700～740Hz，920～980Hz區(qū)域內(nèi)的頻率信號(hào)能讓共鳴箱起到較好的放大效果，微調(diào)吉他的主要邊界參數(shù)，共鳴箱的放大作用非常顯著。

(3)通過(guò)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)弦的直徑進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，結(jié)果可知BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以對(duì)弦的直徑進(jìn)行識(shí)別。

(4)研究為其他弦類樂(lè)器的設(shè)計(jì)提供了依據(jù)。