線形-拱形組合梁式三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器動力學特性研究1)

張旭輝 陳路陽 陳孝玉 徐冬梅，? 朱福林 郭 巖

*(西安科技大學機械工程學院，西安 710054)

? (陜西省礦山機電裝備智能監(jiān)測重點實驗室，西安 710054)

引言

無線監(jiān)測技術(shù)在設備監(jiān)測和安全監(jiān)測等領(lǐng)域的應用越來越廣泛[1-3]，但無線監(jiān)測系統(tǒng)的續(xù)航問題一直制約其發(fā)展，化學電池供電存在維護成本高、環(huán)境污染和壽命有限等問題[4].振動能量俘獲技術(shù)可以將環(huán)境振動能收集并轉(zhuǎn)換為電能，有望實現(xiàn)無線監(jiān)測系統(tǒng)自供電[5-8].

壓電懸臂梁俘能器具有結(jié)構(gòu)簡單、尺寸緊湊等優(yōu)點，國內(nèi)外學者對此開展了大量的研究工作[9-12].經(jīng)典的線性壓電俘能器只能在其共振頻率附近有效工作，當環(huán)境激勵頻率遠離俘能器共振頻率時，俘能器可俘獲的能量顯著減少，這一問題嚴重制約俘能器的實際應用[13].為提升俘能器俘能性能，研究人員提出了各種拓頻方法，根據(jù)不同原理，可分為線性拓頻和非線性拓頻[14]，線性拓頻方式主要包括:多懸臂梁陣列[15]、L 型梁[16]、多自由度梁[17].盡管上述結(jié)構(gòu)能夠有效拓寬俘能頻帶，但就其結(jié)構(gòu)中單一懸臂梁而言，其工作頻帶寬度仍然很窄，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)尺寸較大，單位體積的俘能效率并不高.非線性拓頻方式主要有:加裝彈簧[18]、限制振幅[19]和磁場耦合[20]等方法，非線性方法能夠拓寬單一懸臂梁的工作帶寬，在各種非線性拓頻方法中，引入非線性磁力的俘能器結(jié)構(gòu)較為簡單，在磁力作用下，俘能器能夠在雙穩(wěn)態(tài)、三穩(wěn)態(tài)甚至更多穩(wěn)態(tài)下運行[21-23].為比較三穩(wěn)態(tài)壓俘能器和雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器的性能，Zhou 等[24]對比分析了兩種壓電俘能器的頻域響應特性.Zhu 等[25]分析了隨機激勵下兩種壓電俘能器的輸出性能，研究結(jié)果均表明:三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器具有更淺的勢阱，更寬的俘能頻帶以及較高的輸出.Leng 等[26]的研究表明:三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器在低強度和較高強度下的最佳磁距較為接近，意味著最佳磁距下的俘能器能夠有效適應激勵強度的變化.Jung 等[27]設計了一種外部磁鐵可旋轉(zhuǎn)的三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器，研究表明，調(diào)整外部磁鐵旋轉(zhuǎn)至合適傾角能夠有效提高輸出性能.Wang 等[28]在考慮懸臂梁幾何非線性(GNL)和引力效應(GE)的基礎(chǔ)上，建立分布式參數(shù)模型，研究表明:較低激勵下，具有GNL 和GE 的三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器具有非對稱勢阱，能夠提升俘能器輸出性能.Cao 等[29]分析了幾何參數(shù)對三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器勢阱深度的影響，較淺的勢阱能夠有效拓寬工作頻帶并且提升低頻環(huán)境下的俘能性能.由于環(huán)境中的激勵具有多方向的特點，采用直梁結(jié)構(gòu)的壓電俘能器難以在多方向激勵環(huán)境中實際應用.Chen 等[30]通過仿真發(fā)現(xiàn)引入拱形結(jié)構(gòu)的壓電懸臂梁應變分布更加均勻，有利于提高能量轉(zhuǎn)換效率和電壓輸出.Zhao 等[31]設計了一種弧形梁俘能器，COMSOL 仿真表明弧形梁能夠響應來自不同方向的激勵.針對曲梁的研究[32-33]表明:采用曲梁結(jié)構(gòu)的俘能器有著良好的輸出性能，且曲梁可拉伸變形，有望實現(xiàn)多方向的能量俘獲.

引入非線性磁場的壓電俘能器結(jié)構(gòu)簡單，較傳統(tǒng)線性結(jié)構(gòu)有著更寬的工作頻帶.本文針對煤礦井下無線監(jiān)測節(jié)點供電需求，為適應采掘激勵低頻、多方向等特點，引入拱形結(jié)構(gòu)，設計一種線形-拱形組合梁式三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器，建立線形-拱形組合梁式壓電俘能器動力學模型，借助數(shù)值仿真從時域角度分析了俘能器磁鐵水平間距、垂直間距和激勵加速度對動力學響應特性的影響規(guī)律，并搭建實驗平臺，驗證理論分析的正確性，研究可為線形-拱形組合梁式三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器的優(yōu)化設計提供理論指導.

1 三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器結(jié)構(gòu)

如圖1 為線形-拱形組合梁式三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器結(jié)構(gòu)示意圖，結(jié)構(gòu)由線形-拱形組合梁、柔性壓電材料PVDF 和磁鐵A，B，C 組成.線形-拱形組合梁上黏貼PVDF，外接負載電阻R，磁鐵A 固定于組合梁末端，磁鐵B，C 對稱布置于X軸兩側(cè)，磁鐵A 與磁鐵B，C 間水平距離為d，磁鐵B，C 的垂直間距為2dg.圖中組合梁在X軸方向長度為L，組合梁寬度為b，厚度hS，線形部分長度L1，拱形部分半徑和弦長分別為r和 2r，黏貼在組合梁上的PVDF寬度與組合梁一致，厚度為hp，w(L，t) 為懸臂梁末端在t時刻的振動位移.

圖1 線形-拱形組合梁式三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of linear-arch beam TPEH

2 三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器動力學模型

2.1 非線性磁力建模

為準確分析壓電懸臂梁振動特性，需要確定其末端受到的非線性磁力大小，磁鐵A，B，C 間的幾何關(guān)系如圖2 所示，本文采用磁偶極子模型描述非線性磁力，磁鐵B 在磁鐵A 處產(chǎn)生的磁通密度為[34]

圖2 非線性磁力模型Fig.2 Nonlinear magnetic force model

式中，μ0為真空磁導率，?為向量梯度，rBA為磁鐵B 到A 的方向向量，MB為磁偶極子B 的磁矩.

磁鐵B 在磁鐵A 處產(chǎn)生的勢能為

式中，MA為磁偶極子A 的磁矩.

Δx為磁鐵A 的水平位移，由于磁鐵尺寸相較于組合梁尺寸小，所以 Δx≈0，有l(wèi)asinα ?w(L，t)，α=arctanw′(L，t)，可得[35-36]

式中，分別i和j為X和Z軸方向的單位向量，mA和mB分別表示磁鐵A，B 的磁化強度，VA和VB表示磁鐵A，B 的體積.將式(1) 和式(3) 代入式(2) 可得

式中，fBA=w(L，t)-dg.

同理，磁鐵C 在磁鐵A 處產(chǎn)生的勢能

式中，fCA=w(L，t)+dg.

磁鐵B，C 在組合梁末端磁鐵A 處產(chǎn)生的總勢能

因此磁鐵A 受到的非線性磁力

2.2 線形-拱形組合梁恢復力

采用YLK-10 測力計測量線形-拱形組合梁在Z軸方向的恢復力大小，多次測量取平均值.如圖3所示為組合梁非線性恢復力的實驗測量和擬合結(jié)果，采用多項式擬合得到恢復力的表達式

圖3 線形-拱形組合梁位移-恢復力曲線圖Fig.3 Nonlinear restoring force of linear-arch beam

式中，w(L，t) 是組合梁末端在t時刻沿Z軸的位移.

從圖3 中可以看出，線形-拱形組合梁不同于傳統(tǒng)的直梁，其恢復力具有非線性，以w(L，t)=0 為懸臂梁的平衡位置，組合梁在平衡位置兩側(cè)的恢復力大小并不相等，這是由于拱形部分的存在，其曲率變小時恢復力比曲率變大時要小.

2.3 壓電俘能器動力學方程

為確定組合梁的振動位移w(x，t).使用Rayleigh-Ritz 法將組合梁的振動位移展開

其中，i為組合梁的振動模態(tài)階數(shù)，φi(x) 表示組合梁的第i階模態(tài)函數(shù)，qi(t)表示第i個廣義模態(tài)坐標.

由于環(huán)境中的激勵以低頻為主，組合梁的一階模態(tài)彎曲振動起主導作用，因此本文僅考慮組合梁的一階模態(tài).對于線形-拱形組合梁，由于結(jié)構(gòu)復雜，難以獲取模態(tài)函數(shù)解析表達式，由于其一端夾緊固定于基座之上，另一端自由，使用容許函數(shù)表示模態(tài)函數(shù)[37]

采用拉格朗日方程建立線形-拱形組合梁的運動方程

式中，TS，TP，TM分別為金屬基層、壓電層和末端磁鐵的動能，WP為PVDF 的電能，Ur為線形-拱形組合梁壓電懸臂梁勢能，UM為組合梁末端磁鐵與外部磁鐵之間作用力產(chǎn)生的勢能.

金屬基層和壓電層的動能和組合梁的勢能可表示為

式中，“·”為表示t求導，ρS為金屬基層的密度，AS為金屬基層的橫截面積，ρP為壓電層的密度，AP為壓電層的橫截面積，z(t) 為基座振動位移.

組合梁末端磁鐵的動能為

式中Mt為磁鐵的質(zhì)量，It為磁鐵的轉(zhuǎn)動慣量.

壓電層在Z方向的電場強度E3和電位移D3可由壓電材料的本構(gòu)方程給出

當組合梁受激振動形變，金屬基層上的PVDF隨之形變，由壓電效應產(chǎn)生電能

結(jié)合非線性磁力、恢復力的分析，根據(jù)歐拉-伯努利梁理論和基爾霍夫定律可得線形-拱形組合梁的系統(tǒng)動力學方程

3 三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器動力學分析

3.1 勢能和磁力分析

表1 給出了三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器中組合梁和磁鐵的結(jié)構(gòu)、材料參數(shù).

表1 三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器結(jié)構(gòu)和材料參數(shù)Table 1 Structure and material parameters of TPEH

系統(tǒng)總勢能為

由式(24)可知，水平磁距d和垂直磁距dg對系統(tǒng)勢能和磁力起決定性的影響，本節(jié)將通過仿真分析上述參數(shù)對系統(tǒng)勢能和磁力的影響.

圖4 顯示了d=16 mm，dg分別為0 mm，6 mm，8 mm，12 mm 和20 mm 時壓電俘能器系統(tǒng)勢能和磁力仿真結(jié)果.由圖4(a)所示結(jié)果可知，保持d不變的情況下，隨著dg的逐漸增大，系統(tǒng)勢能曲線依次呈現(xiàn)雙勢阱、三勢阱和單勢阱.當dg=0 mm 時，外部磁鐵B，C 重合在一起，系統(tǒng)勢能曲線有兩個勢阱，此時俘能器為雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，但兩個勢阱的深度和寬度都較大，低激勵下系統(tǒng)難以克服勢壘的阻礙實現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)運動.當dg增至6 mm，系統(tǒng)勢能曲線的兩個勢阱深度變淺，寬度變窄，低激勵下的俘能器能夠?qū)崿F(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)運動.隨著dg的增大，系統(tǒng)勢能曲線由兩個勢阱向3 個勢阱轉(zhuǎn)變，系統(tǒng)中間勢阱深度逐漸變深，寬度增加，兩側(cè)勢阱深度逐漸變淺，寬度減小.從圖4(b)可以看出，隨著dg的增大磁力逐漸減小，組合梁擺脫磁力約束所需的能量也越少.

圖4 dg 對系統(tǒng)勢能和磁力的影響Fig.4 The influence of dg on potential energy and magnetic force

圖5 顯示了dg=0 mm，d分別為0 mm，10 mm，13 mm，15 mm 和22 mm 時壓電俘能器系統(tǒng)勢能和磁力仿真結(jié)果，如圖5(a)所示:隨著d的逐漸減小，系統(tǒng)勢能曲線由單勢阱變?yōu)槿齽葳澹瑒葳迳疃入S著d的減小逐漸增大.d=0 mm 時，勢能曲線的3 個勢阱較深，只有當外部激勵較大時，才能夠使系統(tǒng)在阱間運動，實現(xiàn)三穩(wěn)態(tài)運動.由圖5(b)所示結(jié)果可知，隨著d的逐漸減小，組合梁末端磁鐵與外部兩磁鐵間作用力逐漸變大，磁鐵間作用力增強，組合梁擺脫磁力約束所需的激勵越大.從圖6(a)和5(a)中可以看出，當勢能曲線出現(xiàn)3 個勢阱時，位于外側(cè)的兩個勢阱深度不同，這是由于組合梁恢復力不對稱導致的非對稱勢阱.

圖5 d 對系統(tǒng)勢能和磁力的影響Fig.5 The influence of d on potential energy and magnetic force

圖6 不同水平間距 d 下的系統(tǒng)相圖和時間-位移圖Fig.6 Phase portrait and time-displacement diagram of different magnetic distanced

圖6 不同水平間距 d 下的系統(tǒng)相圖和時間-位移圖(續(xù))Fig.6 Phase portrait and time-displacement diagram of different magnetic distance d (continued)

3.2 系統(tǒng)動力學特性分析

系統(tǒng)勢能和磁力分析結(jié)果表明:磁鐵間距對系統(tǒng)勢能和磁力有著顯著影響，一定激勵條件下，調(diào)整磁鐵間距能夠使系統(tǒng)實現(xiàn)不同的運動狀態(tài)，當磁鐵間距較小時，磁鐵A 與磁鐵B，C 間作用力較大，此時勢阱較深，低水平的激勵下，系統(tǒng)難以越過勢壘，脫離勢阱較深的位置.因此，合理的選擇磁鐵間距顯得尤為重要，本節(jié)將對磁鐵水平間距d、垂直間距dg和激勵加速度a對系統(tǒng)動力學響應特性的影響規(guī)律進行探究.

3.2.1 水平間距d對系統(tǒng)動力學特性的影響

當a=12 m/s2，dg=8 mm，f=9 Hz，d分別為22 mm，15 mm，13 mm.如圖6 所示為壓電俘能器的位移-速度相圖和時間-位移圖.從圖6(a)可以看出，當磁鐵水平間距d=22 mm 時，由于此時磁力較小，磁力對組合梁幾乎不產(chǎn)生約束作用，壓電俘能器表現(xiàn)出單穩(wěn)態(tài)運動特性.當水平間距d=15 mm，結(jié)合圖5 可知，磁鐵間作用力增大，磁力作用下系統(tǒng)出現(xiàn)3 個勢阱，且勢阱深度較淺，因此系統(tǒng)能夠輕易越過勢壘，如圖6(b)所示，組合梁末端在3 個平衡位置之間往復運動，系統(tǒng)實現(xiàn)三穩(wěn)態(tài)運動，組合梁的振動位移幅值大幅提高，達到18 mm.當d減小至13 mm，由于磁鐵之間作用力較大，組合梁難以擺脫磁力束縛，如圖6(c)所示，系統(tǒng)表現(xiàn)出單穩(wěn)態(tài)特性，在中心平衡點附近作小幅值的周期運動，此時系統(tǒng)響應位移、振動速度和輸出電壓都非常小.

3.2.2 垂直間距dg對系統(tǒng)動力學特性的影響

取a=12 m/s2，d=16 mm，f=9 Hz，dg分別為6 mm，8 mm 和12 mm.壓電俘能器的位移-速度相圖和時間-位移圖如圖7 所示.通過調(diào)整磁鐵垂直間距dg，系統(tǒng)具有不同的動力學特性，隨著dg的增大，系統(tǒng)依次經(jīng)歷雙穩(wěn)態(tài)、三穩(wěn)態(tài)和單穩(wěn)態(tài)3 種運動狀態(tài).如圖7(a)所示，當dg=6 mm，磁力作用下系統(tǒng)具有兩個勢阱，在給定激勵下系統(tǒng)能夠在阱間往復運動實現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)運動.當dg=8 mm，如圖7(b)所示，系統(tǒng)作三穩(wěn)態(tài)運動，在3 個穩(wěn)定位置間往復運動，俘能器的響應位移和輸出性能都較高.隨著磁鐵間距的增大，如圖7(c)所示，磁鐵作用力減小，系統(tǒng)表現(xiàn)出單穩(wěn)態(tài)特征，組合梁末端僅在中間平衡點附近作小幅值的周期運動.

圖7 不同垂直間距 dg 下的系統(tǒng)相圖和時間-位移圖Fig.7 Phase portrait and time-displacement diagram of different magnetic distance dg

圖7 不同垂直間距 dg 下的系統(tǒng)相圖和時間-位移圖(續(xù))Fig.7 Phase portrait and time-displacement diagram of different magnetic distance dg (continued)

3.2.3 激勵加速度a對系統(tǒng)動力學特性的影響

取d=15 mm，dg=8 mm，f=9 Hz，研究激勵加速度a對系統(tǒng)動力學特性的影響規(guī)律.如圖8 所示為5 m/s2，7 m/s2和12 m/s2的位移-速度相圖和時間-位移圖.當d=15 mm，dg=8 mm，系統(tǒng)勢能曲線具有3 個勢阱，但系統(tǒng)并不能在任意激勵加速度下實現(xiàn)三穩(wěn)態(tài)，當a=5 m/s2，系統(tǒng)不能越過勢壘，只能在中間穩(wěn)定位置附近作小幅周期運動.當a=7 m/s2，系統(tǒng)獲得的動能增加，響應位移相較于a=5 m/s2時有所增大，但不足以使系統(tǒng)越過兩側(cè)的勢阱，仍然在中間穩(wěn)定位置附近作阱內(nèi)運動.當加速度增大至a=12 m/s2，系統(tǒng)能夠越過兩側(cè)的勢壘，在3 個勢阱間運動，實現(xiàn)三穩(wěn)態(tài)運動，此時系統(tǒng)的響應位移和輸出性能都將大幅提高.

圖8 不同激勵加速度下的系統(tǒng)相圖Fig.8 Phase portrait of different excitation acceleration

從圖6～ 圖8 可以看出，組合梁運動至兩側(cè)穩(wěn)定位置時速度不相等，這是由于線形-拱形組合梁非線性恢復力的不對稱性所致.

4 實驗驗證

為驗證俘能器動力學特性理論分析的正確性，根據(jù)表1 所示結(jié)構(gòu)參數(shù)制作壓電俘能器樣機并搭建實驗平臺進行實驗驗證，如圖9 所示，實驗平臺由:計算機、振動控制器、功率放大器、振動臺、激光測振儀、COCO80 采集儀、線形-拱形組合梁式三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器及基座組成.實驗中，通過計算機設置激勵條件，由振動控制器發(fā)出激勵信號，經(jīng)由功率放大器輸出至振動臺，振動臺按照預設的激勵信號運行，使用激光測振儀實時測量組合梁拱形部分的響應速度.

圖9 實驗平臺Fig.9 Experimental platform

圖10 所示是d=15 mm，dg=8 mm，f=9 Hz，激勵加速度分別為5 m/s2，7 m/s2和12 m/s2時的線形-拱形組合梁位移-速度的實驗結(jié)果.如圖10(a)和圖10(b)所示，當a=5 m/s2時，位移幅值為1.8 mm，隨著激勵加速度的增大，位移幅值隨之增大，當a=7 m/s2時，位移幅值為2.5 mm，表明在較低的激勵下，系統(tǒng)無法越過兩側(cè)勢壘，只能在阱內(nèi)作周期運動.圖10(c)是7 m/s2下的俘能器位移-速度相圖，此時系統(tǒng)能夠越過勢壘，表現(xiàn)出三穩(wěn)態(tài)運動特征.

圖10 不同激勵加速度下的實驗相圖Fig.10 Experimental phase diagrams under different excitation accelerations

低激勵下的實驗結(jié)果與仿真結(jié)果較為吻合，但隨著激勵的增大，特別是當系統(tǒng)作三穩(wěn)態(tài)運動時，由于組合梁形變較大，實驗與仿真結(jié)果之間存在誤差，其主要原因有:(1)線形-拱形組合梁壓電俘能器樣機制作產(chǎn)生的加工誤差，造成實驗條件與仿真存在偏差;(2)實驗得到的相圖傾斜明顯，而仿真得到的相圖傾斜并不明顯，這是由于仿真中未考慮重力因素，且實驗中由于拱形部分的存在，難以精準測量其形變位移，導致激光測振儀測量的數(shù)據(jù)存在偏差.

5 結(jié)論

本文針對線形-拱形組合梁式三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器，基于拉格朗日方程建立了動力學模型，使用4 階龍格-庫塔算法對動力學方程進行數(shù)值求解，分析了不同磁距對系統(tǒng)特征，初步揭示了不同加速度對系統(tǒng)動力學性能的影響規(guī)律，通過實驗驗證了理論分析的正確性.仿真與實驗得到以下主要結(jié)論.

(1)保持dg不變時，通過改變d，系統(tǒng)能夠構(gòu)成單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)和三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng).保持d不變時，增大dg，系統(tǒng)將依次構(gòu)成雙穩(wěn)態(tài)、三穩(wěn)態(tài)和單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng).當系統(tǒng)作三穩(wěn)態(tài)運動時，系統(tǒng)振動響應位移將明顯提高，特別地，當d=16 mm，dg=8 mm，時，系統(tǒng)勢能曲線有3 個勢阱，且勢阱深度較淺，寬度較為一致，這有利于系統(tǒng)在低激勵下產(chǎn)生大幅響應，并提高俘能器輸出性能.

(2)隨著激勵水平的增加，系統(tǒng)更易越過勢壘實現(xiàn)阱間運動，俘能器響應位移隨之增大.

(3)線形-拱形組合梁的非對稱恢復力導致勢能曲線呈現(xiàn)非對稱勢阱，這為低激勵環(huán)境中的俘能器應用提供了新的解決思路.