一道選擇題的討論與改進(jìn)

何仕乾

摘? ?要： 一道看似自洽的豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)試題，剖析后會(huì)發(fā)現(xiàn)其中存在不易察覺的問題。問題的探討有助于避免類似失誤再次發(fā)生，從而提升試題命制質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：圓周運(yùn)動(dòng);最大值;位置

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2021）11-0078-2

豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)問題，由于涉及較多的力學(xué)知識(shí)，并且運(yùn)動(dòng)過程一般有變速過程，常常受到命題者的偏愛。這類題目涉及的問題，主要集中在圓周的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)、與圓心等高的水平位置等。似乎是一種“約定”，命題人和答題人也在這些“特殊位置”出題和答題，二者相互作用，長此以往，免不了會(huì)產(chǎn)生慣性思維，從而可能出現(xiàn)問題。筆者就遇到了這樣一道值得商榷的題。

案例 如圖1所示，豎直環(huán)A半徑為r，固定在木板B上。木板B放在水平地面上，B的左右兩側(cè)各有一擋板固定在地上，B不能左右運(yùn)動(dòng)。在環(huán)的最低點(diǎn)靜放一小球C。A、B、C的質(zhì)量均為m。現(xiàn)給小球一水平向右的瞬時(shí)速度v，小球會(huì)在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，為保證小球能通過環(huán)的最高點(diǎn)，且不會(huì)使環(huán)在豎直方向上跳起（不計(jì)小球與環(huán)的摩擦阻力），瞬時(shí)速度必須滿足（ ）

A.最小值■

B.最大值■

C.最小值■

D.最大值■

【原文解析】

要保證小球能通過環(huán)的最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)的最小速度滿足：

mg=m■

解得v1=■

從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)，選豎直圓環(huán)最低點(diǎn)為零勢能點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得：

■mv■■=■mv■■+mg·2r

可解得小球在最低點(diǎn)瞬時(shí)速度的最小值為：

v■=■

為了不使環(huán)在豎直方向上跳起，在最高點(diǎn)，速度最大時(shí)對(duì)環(huán)的豎直向上壓力為2mg，滿足mg+2mg=m■，解得：

v2=■

同理，小球在圓環(huán)內(nèi)從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得：

■mv■■=■mv■■+mg·2r

可解得小球在最低點(diǎn)瞬時(shí)速度的最大值為：

v■=■

所以，保證小球能通過環(huán)的最高點(diǎn)，且不會(huì)使環(huán)在豎直方向上跳起，在最低點(diǎn)的速度范圍為：

■≤v≤■

故C、D選項(xiàng)正確。

【質(zhì)疑】環(huán)恰能在豎直方向上跳起的臨界條件一定是小球運(yùn)動(dòng)到環(huán)的最高位置時(shí)嗎？若不在最高點(diǎn)，又在何處？

【解析】 如圖2所示，設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，環(huán)恰能向上豎直跳起，在D點(diǎn)，小球受豎直向下的重力mg和環(huán)對(duì)其指向圓心的彈力FN，

則向心力 Fn=mgcosθ+FN=m■（1）

小球由最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過程，由動(dòng)能定理得：

-mgr（1+cosθ）=■mv■■-■mv■■（2）

對(duì)環(huán)受力分析，在D點(diǎn)能夠使環(huán)跳起（忽略轉(zhuǎn)動(dòng)效果）的臨界條件是：

F'Ncosθ=2mg（3）

由牛頓第三定律得：

FN=F'N（4）

由（1）（2）（3）（4）式聯(lián)立得：

v=■（5）

當(dāng) 3cosθ=■

即cosθ=■時(shí)

v■=■≈■<■（6）

【結(jié)論】 當(dāng)小球在最低點(diǎn)的速度達(dá)到某一值，如■時(shí)，在沿環(huán)向上運(yùn)動(dòng)過程中，未到最高點(diǎn)時(shí)，環(huán)已向上跳起。由上述解析可知，小球運(yùn)動(dòng)到與豎直方向成35.26°角（由cosθ=■，有θ≈35.26°）的位置處跳起。若小球在最低點(diǎn)的速度為原題D選項(xiàng)的值■時(shí)，可解得cosθ'=■，即有θ'≈54.73°，也就是說小球運(yùn)動(dòng)到環(huán)的右上方與豎直方向成54.73°角時(shí)就已經(jīng)把環(huán)豎直頂起了。所以，環(huán)恰能在豎直方向上跳起的臨界條件不是發(fā)生在小球運(yùn)動(dòng)到環(huán)的最高位置處。

【反思】 本題如何改進(jìn)，仁者見仁，智者見智。筆者認(rèn)為，作為選擇題，可將D選項(xiàng)改為“最大值■”。但在較短時(shí)間內(nèi)，學(xué)生是難以解答出這一答案的。若將其改編為一道計(jì)算題，沒有現(xiàn)成答案（選項(xiàng)）可參考，或許能激發(fā)學(xué)生思維，得到正確解答。

“智者千慮，必有一失”，出現(xiàn)失誤，在所難免。如何有效避免失誤，是值得研究的問題。當(dāng)我們對(duì)一道試題進(jìn)行改編，設(shè)置新的問題時(shí)，一定要慎之又慎，充分考慮其科學(xué)性。提倡“大膽創(chuàng)新”，更要進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證或理論驗(yàn)證的“小心求證”。俗話說“三個(gè)臭皮匠，頂個(gè)諸葛亮”，一道（套）好題一定是學(xué)科組集體智慧的結(jié)晶，因此“個(gè)體勞動(dòng)，集體智慧”是必須的。

（欄目編輯? ? 李富強(qiáng)）