應(yīng)用(Φ/Ψ)展開(kāi)法求廣義Zakharov方程組的精確解

何彩霞

(青海師范大學(xué) 民族師范學(xué)院院物理系，青海 西寧 810008)

0 引言

廣義Zakharov方程組(generalized Zakharov equations，以下簡(jiǎn)稱(chēng)GZEs)是描述高頻波與低頻波相互作用的典型非線(xiàn)性偏微分演化模型，在等離子體物理，非線(xiàn)性光學(xué)等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用.一維無(wú)量綱形式如下[1，2]：

(1)

λ是常數(shù)，該方程考慮了等離子體的自生磁場(chǎng)效應(yīng)，即含λ的項(xiàng).若λ=0，方程組(1)便是著名的等離子體Langmuir波湍流方程[3].其中i2=-1，E=E(x，t)是復(fù)數(shù)，表示高頻電場(chǎng)強(qiáng)度的慢變振幅的包絡(luò)波解，n=n(x，t)是實(shí)數(shù)，表示離子數(shù)密度偏差.近年來(lái)，隨著非線(xiàn)性方程求解方法的不斷發(fā)展，求GZEs的精確解已涌現(xiàn)出多種有效方法，如：擴(kuò)展F-展開(kāi)法[4]，exp-函數(shù)法[5]，變分迭代法[6-8]，第一積分法[9]，輔助常微分方程法[10]，Jacobi橢圓函數(shù)法[11]，分岔方法[12]，Painlevé展開(kāi)法[13]，直接代數(shù)法[14]等.然而，尋找新形式的精確解仍然是一件很有意義的工作，如在等離子體物理方面非常有利于研究等離子體波的性質(zhì).

王明亮等人[15]提出的(G'/G)展開(kāi)法是求解非線(xiàn)性方程精確解行之有效的方法，被廣泛地應(yīng)用和推廣，在近期的工作中，人們對(duì)此方法做了進(jìn)一步的改進(jìn)和拓展，如：擴(kuò)展的(G'/G)展開(kāi)法[16]，(G'/G2)展開(kāi)法[17]，(G'/G，1/G)擴(kuò)展法[18]，(Φ/Ψ)展開(kāi)法[19]等.本文應(yīng)用(Φ/Ψ)展開(kāi)法求得了GZEs的豐富精確解.這種方法快速、簡(jiǎn)明、有效.

1 (Φ/Ψ)展開(kāi)法

非線(xiàn)性偏微分演化方程

H(u，ut，ux，utt，uxt，uxx，…)=0，

(2)

其中u=u(x，t)是未知函數(shù)，H是u及u關(guān)于x，t各階偏導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式.應(yīng)用(Φ/Ψ)展開(kāi)法求解該方程的主要思想如下：

步驟1 做行波變換

u(x，t)=u(ξ)，ξ=Kx-Ωt+ξ0，

(3)

其中K，Ω為待定常數(shù).經(jīng)(3)變換，(2)就轉(zhuǎn)化為含行波變量的常微分方程：

H(u，u′，u″，…)=0，

(4)

步驟2 將方程(4)的解表示為(Φ/Ψ)的多項(xiàng)式

(5)

其中ai為待定常數(shù)，正整數(shù)m由齊次平衡法確定，Φ(ξ)，Ψ(ξ)滿(mǎn)足

Φ′(ξ)=βΨ(ξ)，Ψ′(ξ)=αΦ(ξ)，

(6)

即滿(mǎn)足

(7)

β，α均為待定常數(shù).

步驟3 將方程(5)代入常微分方程(4)，結(jié)合方程(7)合并(Φ/Ψ)的相同冪次項(xiàng)，令(Φ/Ψ)的各次冪的系數(shù)為零，得到關(guān)于變量ai(i=1，2，3，…，m)，α，β的非線(xiàn)性代數(shù)方程組.

步驟4 求解步驟3中的非線(xiàn)性方程組，得到ai(i=1，2，3，…，m)的解.

步驟5 將步驟4中的各解和(6)式的解代入(5)式，即可求得常微分方程(4)的多個(gè)精確解.

方程(6)的解有如下幾種形式：

Ⅰ 當(dāng)α>0，β>0時(shí)，

Ⅱ 當(dāng)α<0，β<0時(shí)，

Ⅲ 當(dāng)α<0，β>0時(shí)，

Ⅳ 當(dāng)α>0，β<0時(shí)，

上述C1和C2式是常數(shù).

2 Zakharov方程組的精確解

首先，對(duì)廣義Zakharov方程組(1)做變換

E(x，t)=eiηφ(ξ)，n(x，t)=n(ξ)，

(7)

ξ=Kx-Ωt+ξ0，η=kx-ωt+η0，

(8)

其中，K，Ω，ξ0，k，ω，η0是待定常數(shù).將(7)(8)式代入方程組(1)可得下列兩式

-i(Ω-2Kk)φ′+(ω-k2)φ+K2φ″-2λφ3+2nφ=0，

(9)

(Ω2-K2)n″-2K2(φ′2+φφ″)=0，

(10)

分離(9)式中的實(shí)部與虛部.令虛部為零，得Ω=2Kk，實(shí)部為

(ω-k2)φ+K2φ″-2λφ3+2nφ=0，

(11)

GZEs轉(zhuǎn)化為非線(xiàn)性常微分方程組(10)和(11).由齊次平衡法可確定φ，n的冪次分別為m1=1，m2=2.因此，可設(shè)上述方程組解的形式如下：

φ=a-1(Φ/Ψ)-1+a0+a1(Φ/Ψ)，

(12)

n=b-2(Φ/Ψ)-2+b-1(Φ/Ψ)-1+b0+b1(Φ/Ψ)+b2(Φ/Ψ)2，

(13)

其中a-1，a0，a1，b-2，b-1，b0，b1，b2是常數(shù).

將(12)和(13)式代入(10)和(11)，結(jié)合(7)合并(Φ/Ψ)的同次冪的系數(shù)，再令這些系數(shù)為零，得到關(guān)于a-1，a0，a1，b-2，b-1，b0，b1，b2的非線(xiàn)性代數(shù)方程組，解這些非線(xiàn)性代數(shù)方程組得：

(14)

(15)

(16)

(17)

Ⅰ 當(dāng)α>0，β>0時(shí)，

(18)

(19)

其中ξ=Kx-Ωt+ξ0，Ω=2Kk，η=kx-ωt+η0.

Ⅱ 當(dāng)α<0，β<0時(shí)，

(20)

(21)

其中ξ=Kx-Ωt+ξ0，Ω=2Kk，η=kx-ωt+η0.

Ⅲ 當(dāng)α<0，β>0時(shí)，

(22)

(23)

其中ξ=Kx-Ωt+ξ0，Ω=2Kk，η=kx-ωt+η0.

Ⅳ 當(dāng)α>0，β<0時(shí)，

(24)

(25)

其中ξ=Kx-Ωt+ξ0，Ω=2Kk，η=kx-ωt+η0.

同理，對(duì)(14)，(15)，(17)式，分別結(jié)合(12)—(13)代入(7)，可得到GZEs的另外十二組精確解.

3 討論與總結(jié)

(26)

(27)

(28)

(29)

若取C1>0，C2=0，(18)和(19)式可變成下列形式

(30)

(31)

同理，依次可分析另外十五組解的簡(jiǎn)單形式.

與擴(kuò)展F-展開(kāi)法[4]和He變分法[8]相比較，我們用(Φ/Ψ)展開(kāi)法得到了廣義Zakharov方程組的豐富雙曲余切函數(shù)解.選取適當(dāng)?shù)膮⒘?，可清晰地刻?huà)出波的傳播情況，研究等離子體的自生磁場(chǎng)效應(yīng)、振蕩頻率、波數(shù)等不同參量對(duì)等離子體波的傳播特性的影響.這一方法將進(jìn)一步用于獲得量子Zakharov方程組的精確解，研究量子效應(yīng)對(duì)等離子體波傳播的影響.此方法也可用于求解其它非線(xiàn)性演化方程的精確解.