創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)抽象能力
——以“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”為例

◎ 孫琪敏

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要模塊。如何提高圓錐曲線學(xué)習(xí)的有效性？如何在概念課教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理素養(yǎng)？本文以滬教版數(shù)學(xué)教材（高二下）第12章“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”第一課時(shí)為例，以問(wèn)題情境為載體，對(duì)主要教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行了如下設(shè)計(jì)與分析。

一、概念闡釋

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中明確提出要“創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)?！币虼?，在高中數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)中，重要的不是直接呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念，而是要引導(dǎo)學(xué)生如何從數(shù)量與數(shù)量的關(guān)系、圖形與圖形的關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征。

問(wèn)題教學(xué)在一般是指不改變教材內(nèi)容、不打亂教材體系的情況下，在教學(xué)過(guò)程中把教材以問(wèn)題的形式向?qū)W生提出來(lái)，并使其接受后成為自己的問(wèn)題。其目的不僅在于引起學(xué)生注意與興趣，更主要是激發(fā)學(xué)生思考，從而培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的思維能力。［1］而設(shè)置情境問(wèn)題，用以問(wèn)代講的方式，更能激起學(xué)生的好奇心，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生探究問(wèn)題的本質(zhì)，從而提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率。

二、教學(xué)過(guò)程

（一）聯(lián)系生活情境，喚醒學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

對(duì)于高二學(xué)生而言，“拋物線”這一詞并不陌生，之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)出現(xiàn)過(guò)兩次“拋物線”。第一次接觸拋物線是在初三，二次函數(shù)的圖像是拋物線；第二次是在高一函數(shù)應(yīng)用中，利用二次函數(shù)圖像求解一元二次方程和一元二次不等式。在此基礎(chǔ)上，類比圓、橢圓和雙曲線的研究方法，筆者通過(guò)階梯式的問(wèn)題情境，喚醒學(xué)生對(duì)二次函數(shù)圖像的再認(rèn)識(shí)。

師：生活中存在著各種形式的拋物線，上海盧浦大橋的橋梁結(jié)構(gòu)、噴泉中噴射出的水柱、雨過(guò)天晴后的彩虹、拋出的籃球所經(jīng)過(guò)的軌跡都是拋物線。拋物線的用途也很廣泛，射電望遠(yuǎn)鏡、雷達(dá)天線、手電筒和路上隨處可見(jiàn)的汽車大燈等，都是利用拋物線的原理制成的。

問(wèn)題1.1我們學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)內(nèi)容里有沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)拋物線？

生：初中學(xué)過(guò)二次函數(shù)，y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像是拋物線。

問(wèn)題1.2在二次函數(shù)中研究過(guò)的拋物線有什么特征？

生：初中的二次函數(shù)是軸對(duì)稱圖形，當(dāng)a>0時(shí)開(kāi)口往上，有最小值，當(dāng)a<0時(shí)開(kāi)口往下，有最大值。

問(wèn)題1.3初中階段，我們主要是利用拋物線圖像幫助理解和研究二次函數(shù)，而今天這節(jié)課，我們要研究的是：具有怎樣特征的點(diǎn)的軌跡是拋物線？拋物線上的點(diǎn)有什么規(guī)律呢？為什么二次函數(shù)的圖像恰好是拋物線呢？

【片段分析】首先，用生活情境給學(xué)生以視覺(jué)上的沖擊，使學(xué)生產(chǎn)生濃厚興趣，投入到課堂學(xué)習(xí)中；同時(shí)根據(jù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)同化理論，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回顧初中二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)，將二次函數(shù)圖像的拋物線與即將新授的拋物線概念順利對(duì)接，納入學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。既符合學(xué)生目前的學(xué)情，又為新知識(shí)的形成做了鋪墊，同時(shí)又引發(fā)新的認(rèn)知沖突：為什么二次函數(shù)的圖像是拋物線？拋物線上的點(diǎn)究竟有怎樣的規(guī)律？由此對(duì)拋物線定義的研究呼之欲出。

（二）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，歸納抽象定義

為了歸納得出拋物線的定義，在此設(shè)計(jì)兩個(gè)例題，輔助學(xué)生從具體背景中抽象出拋物線的概念，并用規(guī)范化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以敘述。

問(wèn)題2.1 拋物線y=x2上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)和到定直線l：的距離有什么關(guān)系？

點(diǎn)P到定直線l：的距離為，兩個(gè)距離相同。

問(wèn)題2.2 由此，我們能不能說(shuō)拋物線是到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡呢？

生：不可以，例題只說(shuō)明拋物線上任意點(diǎn)滿足到一個(gè)點(diǎn)和一條直線距離相同，并沒(méi)有說(shuō)明滿足這一性質(zhì)的軌跡就是拋物線，沒(méi)有滿足曲線上的點(diǎn)與方程的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

生：設(shè)軌跡方程上任一點(diǎn)坐標(biāo)為P（x, y），由，得y=x2。

問(wèn)題2.4 通過(guò)以上兩個(gè)問(wèn)題的解答，大家能不能回答我們一開(kāi)始提出的疑問(wèn)：具有怎樣特征的點(diǎn)的軌跡是拋物線？拋物線上的點(diǎn)有什么規(guī)律呢？

師生共同完善拋物線定義，需特別強(qiáng)調(diào)定點(diǎn)與定直線的位置關(guān)系，若定點(diǎn)在定直線上，則滿足條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡是過(guò)定點(diǎn)且與定直線垂直的直線。

【片段分析】傳統(tǒng)概念課教學(xué)在情境引入之后，教師直接給出拋物線的定義，直截了當(dāng)，但學(xué)生對(duì)于定義探求還是一知半解。而通過(guò)問(wèn)題2.1和2.2的鋪墊，逐步揭示曲線與方程的關(guān)系，使得學(xué)生對(duì)拋物線的定義從模糊到逐漸清晰。在概念逐步形成的過(guò)程中，通過(guò)提問(wèn)、追問(wèn)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念中的“點(diǎn)F不在直線l上”這個(gè)限制條件的認(rèn)識(shí)，從而建構(gòu)完整的拋物線概念，無(wú)形中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力。

（三）探索建系方案，求解標(biāo)準(zhǔn)方程

接下來(lái)的問(wèn)題是如何求拋物線方程，仿照研究圓錐曲線方程的步驟，鼓勵(lì)學(xué)生建立合適的直角坐標(biāo)系求得拋物線方程，并通過(guò)比較得出較為簡(jiǎn)潔的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，這是本節(jié)課的重難點(diǎn)之一。

問(wèn)題3.1 如何求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程？（復(fù)習(xí)回顧：求曲線方程五步驟）

問(wèn)題3.2標(biāo)準(zhǔn)方程是最簡(jiǎn)單的方程形式，怎樣建系能使得方程更簡(jiǎn)單？（學(xué)生討論）

生1：以準(zhǔn)線l為y軸，過(guò)焦點(diǎn)F與l垂直的直線為x軸建系［見(jiàn)圖1（a）］。

生2：以F為原點(diǎn)，以過(guò)焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，x軸與l交于點(diǎn)K［見(jiàn)圖1（b）］。

生3：以頂點(diǎn)為原點(diǎn)，平行于l的直線為y軸建系［見(jiàn)圖1（c）］。

圖1 學(xué)生方案

問(wèn)題3.3如何求出不同坐標(biāo)系下拋物線方程?（學(xué)生活動(dòng)：分組合作）

設(shè)定點(diǎn)F到定直線l的距離為p（p>0），其中F∈l。

（1）以準(zhǔn)線為軸

（2）以焦點(diǎn)為原點(diǎn)

（3）以頂點(diǎn)為原點(diǎn)

通過(guò)對(duì)比，當(dāng)原點(diǎn)在曲線上時(shí)，所求出的曲線方程中不含有常數(shù)項(xiàng)，此時(shí)的曲線方程是最簡(jiǎn)單的，且方程中的p也能體現(xiàn)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離這一幾何意義，由此確定拋物的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px。

【片段分析】恩格斯說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)。”只有引入坐標(biāo)刻畫(huà)動(dòng)點(diǎn)，才能使得用方程描述曲線成為可能，而這一切必須在相應(yīng)的坐標(biāo)系中才能完成，所以建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是推導(dǎo)曲線方程的“頭等大事”。［2］通過(guò)回顧求曲線方程的基本步驟，讓學(xué)生討論有哪些建系方案；通過(guò)小組合作的形式得出求出不同坐標(biāo)系下拋物線方程，這樣標(biāo)準(zhǔn)方程的產(chǎn)生就水到渠成，既培養(yǎng)了學(xué)生的思維發(fā)散能力，也發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科核心素養(yǎng)。

（四）運(yùn)用類比分析，深化分類意識(shí)

類比拋物線的四種常見(jiàn)形態(tài)，從變換的角度分析問(wèn)題得出結(jié)論，避免重復(fù)運(yùn)算，同時(shí)對(duì)比記憶，有助于形成良好的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

問(wèn)題4.1 橢圓及雙曲線各有兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，那么拋物線有幾種呢？能否采用類比的方法直接寫(xiě)出其他拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程？（學(xué)生活動(dòng)：完成表1）

表1 學(xué)生活動(dòng)表

問(wèn)題4.2 拋物線和其他圓錐曲線相比，有什么異同？

生1：圓與橢圓都是封閉圖形，而拋物線和雙曲線是非封閉圖形。

生2：圓、橢圓、雙曲線既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，而拋物線只是軸對(duì)稱圖形。

生3：圓、橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程都是x,y的二次形式，而拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，有一個(gè)變量是一次的。

【片段分析】從數(shù)形結(jié)合的角度類比分析四個(gè)圓錐曲線的圖像和解析式特點(diǎn)，幫助學(xué)生把握概念本質(zhì)，以簡(jiǎn)馭繁，提高學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)化水平，提高以形助數(shù)、以數(shù)馭形的能力。

（五）鞏固知識(shí)應(yīng)用，提升思維品質(zhì)

回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，請(qǐng)學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)，并完成課堂練習(xí)和課后作業(yè)。讓學(xué)生完成課堂小結(jié)有助于更好地梳理本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)，提煉解題方法。教師適當(dāng)給予補(bǔ)充完善，有助于提高學(xué)生分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸等多種數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生思維的條理性和嚴(yán)密性。

三、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境策略

古羅馬教育家昆體良曾提出“教是為了不教”的觀點(diǎn)，教學(xué)的最終目的不是教師教會(huì)學(xué)生哪些知識(shí)，而是在“傳道授業(yè)解惑”的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，進(jìn)而運(yùn)用他們的所學(xué)知識(shí)去想辦法解決問(wèn)題，真正做到實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化。因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，還可根據(jù)教學(xué)內(nèi)容采取以下策略進(jìn)行問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)。

（一）聯(lián)系趣味史實(shí)，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

高中數(shù)學(xué)和初中數(shù)學(xué)相比，知識(shí)容量大、難度深，因此很多學(xué)生進(jìn)入高中就對(duì)數(shù)學(xué)有種“畏難”心理，缺乏學(xué)習(xí)興趣。因此在課堂上，教師可以適時(shí)創(chuàng)造情境，引入一些數(shù)學(xué)家的趣事和獨(dú)創(chuàng)數(shù)學(xué)方法，將數(shù)學(xué)歷史滲透到課堂教學(xué)中，如在講解“等差數(shù)列前n項(xiàng)和及其求法”這一節(jié)時(shí)，教師可以提問(wèn)“如何快速地計(jì)算1+2+3+…+100？”在有些學(xué)生還在疑惑時(shí)，一部分同學(xué)已經(jīng)能講出求解方法，這時(shí)教師可以順著學(xué)生思路說(shuō)：大家知道嗎？高斯在小學(xué)時(shí)期就能夠用首尾相加求和的方法快速計(jì)算出1到100的和。學(xué)生被高斯的故事吸引，覺(jué)得高斯在小時(shí)候就這么厲害，一方面調(diào)動(dòng)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，另一方面大家也會(huì)有疑問(wèn)，還有其他方法求解嗎？

當(dāng)學(xué)生們興致高昂之時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)以下問(wèn)題情境。

問(wèn)題1：是否可以繼續(xù)用高斯求和方法求解1+2+3+…+101？

問(wèn)題2：化簡(jiǎn)1+2+3+…+101+…+n。

問(wèn)題3：{an}是等差數(shù)列，求a1+a2+…+an的值。

情境一是對(duì)高斯算法的反思與簡(jiǎn)單推廣，讓學(xué)生對(duì)對(duì)稱性和配對(duì)思想有所感悟，為之后的問(wèn)題情境做鋪墊；情境二是將高斯算法從有限項(xiàng)推廣到任意項(xiàng)的情形，把具體問(wèn)題一般化，同時(shí)也能考查學(xué)生是否掌握首尾配對(duì)求和的精髓，能否對(duì)n的奇偶進(jìn)行分類討論，而有了前兩問(wèn)的鋪墊，等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)就更容易了。

用數(shù)學(xué)史中的故事來(lái)進(jìn)行問(wèn)題的情境創(chuàng)設(shè)，不僅能夠營(yíng)造問(wèn)題探究的氛圍，而且可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)，提高對(duì)數(shù)學(xué)的宏觀認(rèn)識(shí)，使學(xué)生借助“美麗的冰冷”，產(chǎn)生“火熱的思考”，凸顯了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。

（二）結(jié)合數(shù)學(xué)模型，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

知識(shí)是直接或間接地與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系在一起的，教學(xué)的重要目的之一是培養(yǎng)應(yīng) 用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。因此在“雙新”背景下，數(shù)學(xué)建模真正走入了高中數(shù)學(xué)的課堂，通過(guò)選取貼近實(shí)際生活的應(yīng)用性問(wèn)題，搭建數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，提升學(xué)生實(shí)踐應(yīng)用能力。

如滬教版《數(shù)學(xué)》高中必修第四冊(cè)中的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)案例二“誘人”的優(yōu)惠券，在雙十一購(gòu)物節(jié)的情境下，某商家推出三種優(yōu)惠券，分別是滿199元減20元、滿299元減50元、滿499元減110元，這些優(yōu)惠券之間不可疊加使用，但它們可以與滿400元減50元的購(gòu)物津貼同時(shí)使用。此外，這兩類優(yōu)惠券有使用順序，必須先使用商家優(yōu)惠券，再使用購(gòu)物津貼。

現(xiàn)實(shí)生活中，學(xué)生都有利用優(yōu)惠券購(gòu)物的經(jīng)歷，面對(duì)上述實(shí)際情境，很容易就進(jìn)行發(fā)散性思考。教師此時(shí)可以創(chuàng)設(shè)以下問(wèn)題情境。

問(wèn)題1：小明購(gòu)買(mǎi)1200元的商品，實(shí)際要花費(fèi)多少元？

問(wèn)題2：如果你有800元，該怎么用好優(yōu)惠策略，使得自己購(gòu)物所享受的優(yōu)惠最大？

問(wèn)題3：在上述優(yōu)惠策略下，是否購(gòu)買(mǎi)金額越大，享受優(yōu)惠越高？

在這樣的問(wèn)題情境下，學(xué)生易于且樂(lè)于去思索，有利于提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，也在無(wú)形中培養(yǎng)了數(shù)據(jù)分析能力和數(shù)學(xué)建模能力，使學(xué)生在情感態(tài)度和理解能力方面都能得到發(fā)展。