小波遲滯混沌神經(jīng)元系統(tǒng)及其應(yīng)用

邱澤國，甄鑫鑫，徐耀群,2

(1.哈爾濱商業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，哈爾濱 150028; 2.哈爾濱商業(yè)大學(xué) 系統(tǒng)工程研究所，哈爾濱 150028)

混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是在Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中引入混沌動力學(xué)，利用混沌系統(tǒng)全局遍歷的特點(diǎn)，可以有效的避免在解決優(yōu)化問題時(shí)，陷入局部極小值[1-4].另一方面，研究發(fā)現(xiàn)，將遲滯動力學(xué)引入Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建的遲滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，可以提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化性能[5-6].LIU等學(xué)者將具有遲滯特性的激勵函數(shù)引入混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，提出具有混沌和遲滯特性的單神經(jīng)元模型，并利用該模型解決優(yōu)化問題，結(jié)果表明，該模型可以同時(shí)利用混沌和遲滯動力學(xué)，防止收斂到局部極小值[7].本文在此基礎(chǔ)上，將兩個相互偏離的Sigmoid與Gauss組合作為新的激勵函數(shù)，提出小波遲滯混沌神經(jīng)元.分析了模型中參數(shù)變化時(shí)對混沌特性的影響.對模型產(chǎn)生的時(shí)間序列進(jìn)行隨機(jī)性的檢驗(yàn)，將其應(yīng)用至圖像加密算法中，并對加密結(jié)果進(jìn)行性能分析.

1 小波遲滯混沌神經(jīng)元動力系統(tǒng)

1.1 小波遲滯混沌神經(jīng)元模型

本文在此基礎(chǔ)上，將兩個相互偏離的Sigmoid與Gauss組合作為新的激勵函數(shù)，提出小波遲滯混沌神經(jīng)元，表示為：

(1)

y(t+1)=ky(t)-z(t)x(t)+h

(2)

z(t+1)=(1-β)z(t)

(3)

a(t+1)=(1-β1)a(t)

(4)

b(t+1)=(1-β2)b(t)

(5)

其中：y(t)是神經(jīng)元在t時(shí)刻的內(nèi)部狀態(tài)；x(t)為激勵函數(shù)即神經(jīng)元在時(shí)刻的輸出；k表示神經(jīng)元保留內(nèi)部狀態(tài)的能力，取值范圍為0≤k≤1；β是退火速度參數(shù).

Sigmoid與Gauss組合的函數(shù)是非單調(diào)的，但總體上呈遞增趨勢，可以有效地提高混沌搜索的效率.圖1為本文所使用的遲滯激勵函數(shù)圖像.相比于單函數(shù)激勵函數(shù)，遲滯激勵函數(shù)的學(xué)習(xí)效率更高，并不容易到達(dá)飽和狀態(tài).當(dāng)神經(jīng)元在t時(shí)刻的輸入大于(t-1)的輸入時(shí)，則采用激勵函數(shù)A；當(dāng)當(dāng)神經(jīng)元在t時(shí)刻的輸入小于(t-1)的輸入時(shí)，則采用激勵函數(shù)B[8-9].

圖1 小波遲滯激勵函數(shù)Figure 1 Wavelet hysteretic excitation function

1.2 小波遲滯混沌神經(jīng)元的動力學(xué)行為

由神經(jīng)元模型可以看出，I影響神經(jīng)元的混沌動力學(xué)行為的有5個參數(shù)，將其余參數(shù)固定，通過改變其中一個參數(shù)來觀察導(dǎo)致混沌的分支序列.將參數(shù)設(shè)置為r=250,z=-0.1,k=0.6,h=0.01.繪制分岔圖以及Lyapunov指數(shù)圖[10]分析小波遲滯混沌神經(jīng)元模型的動力學(xué)行為.

圖2、3是z變化時(shí)所對應(yīng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖.由圖可知，兩者之間有明顯的對應(yīng)關(guān)系，混沌狀態(tài)下的Lyapunov指數(shù)大于0.圖2顯示了多個進(jìn)入和退出混沌的過程，在進(jìn)化過程中，混沌不是連續(xù)的.

圖4、5分別是參數(shù)k,r,h變化時(shí)所對應(yīng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖.由圖可知，參數(shù)k和r是在大范圍內(nèi)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，而參數(shù)h的混沌現(xiàn)象只有小范圍，并且呈對稱趨勢.

圖2 參數(shù)z對應(yīng)的分岔圖Figure 2 Bifurcation diagram of parameter z

圖3 參數(shù)z對應(yīng)的Lyapunov指數(shù)圖Figure 3 Lyapunov diagram of parameter z

圖4 參數(shù)k.r,h變化時(shí)所對應(yīng)的分岔圖Figure 4 Bifurcation diagram of parameter k.r,h

圖5 參數(shù)k.r,h變化時(shí)所對應(yīng)的Lyapunov指數(shù)圖Figure 5 Lyapunov diagram of parameter k.r,h

圖6、7為參數(shù)a,b變化時(shí)所對應(yīng)的分岔圖和演化圖，本文取a=b.根據(jù)神經(jīng)元的混沌狀態(tài)，合理選擇參數(shù)，可以神經(jīng)元同時(shí)具有遲滯性和混沌性，優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)性能.

1.3 隨機(jī)性檢測

為了驗(yàn)證小波混沌神經(jīng)元產(chǎn)生的隨機(jī)序列的安全性，對隨機(jī)序列進(jìn)行公式的處理，將其轉(zhuǎn)為二進(jìn)制，利用NIST統(tǒng)計(jì)測試對序列進(jìn)行隨機(jī)性檢驗(yàn).

si=(1010×v′i)mod1

(6)

(7)

NIST測試需要進(jìn)行15次隨機(jī)測試，并在測試結(jié)束時(shí)輸出P值.當(dāng)P大于0.01時(shí)，表示數(shù)據(jù)集的隨機(jī)性檢測成功.

圖6 參數(shù)a=b變化時(shí)所對應(yīng)的分岔圖Figure 6 Bifurcation diagram of parameter a=b

圖7 參數(shù)a=b變化時(shí)所對應(yīng)的Lyapunov指數(shù)圖Figure 7 Lyapunov diagram of parameter a=b

本文測試了1 000 000位二進(jìn)制數(shù)據(jù)，結(jié)果如表1所示.由表1可以看出，該序列通過NIST的隨機(jī)數(shù)測試，可以應(yīng)用于圖像加密.

表1 隨機(jī)序列的測試結(jié)果Table 1 Test result of random sequence

2 圖像加密

2.1 彩色圖像加密算法

彩色圖像加密算法的具體步驟如下：

1)將大小為M×N×3的原始彩色圖像按照R,G,B通道分為3份，其中:M、N分別為圖像A的行列維數(shù).

2)對圖像R(i,j)加密，利用公式(1)，迭代M次和N次生成兩個實(shí)數(shù)序列{xN}和{yM}.

3)利用公式對序列進(jìn)行處理，將數(shù)值大小歸一化至(0，255)，得到新的序列a和b.

a=floor(x(i)M)+1

(8)

b=floor(y(i)N)+1

(9)

4)對圖像進(jìn)行置亂操作，將圖像的行列位置按照序列a和b組成的置亂矩陣進(jìn)行置換，得到置亂圖像.

5)改變置亂圖像的像素值，進(jìn)行擴(kuò)散處理，利用神經(jīng)元模型，迭代M×N次生成序列{xm×n} 和{ym×n}.

6)取置亂圖像中的像素值，設(shè)該點(diǎn)的序號為n.若n是奇數(shù)，則由公式(10)對序列{xm×n}構(gòu)造為加密密鑰；若n是偶數(shù)，則由公式(11)對序列{ym×n}構(gòu)造為加密密鑰.

key(n)=mod(floor(x1(n)*1015),256)

(10)

key(n)=mod(floor(y1(n)*1015),256)

(11)

7)利用之前得到的置亂圖像里的像素值與加密密鑰值進(jìn)行異或運(yùn)算，得到加密后的像素值.將圖像中的所有像素點(diǎn)均執(zhí)行操作后，則得到加密圖像R′(i,j).

8)對圖像G(i,j),B(i,j)進(jìn)行同樣的操作，得到G′(i,j)和B′(i,j).

9)將加密圖像R′(i,j),G′(i,j)和B′(i,j)組合到一起，得到原始彩色圖像圖8(D)的加密圖像.

原圖像，加密圖像和解密圖像如圖8所示.可以看出加密后的圖像無法獲取任何信息，滿足圖像加密的需求.

2.2 統(tǒng)計(jì)性能分析

2.2.1 信息熵

信息熵可以分析圖像的不確定性，理論值為8.信息熵的值越接近8，說明圖像中的像素值屬于均勻分布，可以很好的抵抗統(tǒng)計(jì)攻擊[11]信息熵的數(shù)學(xué)公式為：

(12)

其中：n表示圖像的灰度等級，p(xi)表示灰度值xi出現(xiàn)的概率。對加密后的圖像計(jì)算信息熵，得到的結(jié)果如表2.從表中數(shù)據(jù)得出，加密后的圖像可以很好的掩藏信息并抵抗統(tǒng)計(jì)分析.

圖8 (A)(D)原始圖像；(B)(E)加密圖像；(C)(F)解密圖像Figure 8 (A)(D) Plain images;(B)(E) Encrypted images;(C)(F) Decrypted images

表2 信息熵Table 2 Information entropy

2.2.2 直方圖分析

直方圖分析圖像中像素值的分布情況[12].圖9中的(A)～(C)分別是Lena圖像中RGB三個通道上的直方圖，(D)～(F)則是加密圖像中的直方圖分布.兩者相比，加密圖像的直方圖分布均勻，這意味著利用統(tǒng)計(jì)分析處理加密圖像，從中獲取的信息很少.

2.2.3 抗差分攻擊

差分攻擊是使用微小區(qū)別的密鑰對加密圖像進(jìn)行攻擊.一般使用像素?cái)?shù)變化率(RNPC)和統(tǒng)一平均變化強(qiáng)度(IUAC)分析算法抵抗差分攻擊的能力[13].

(13)

(14)

(15)

其中:M、N分別為圖像的行列維數(shù)，C1、C2是由兩張只有一個像素值不同的原始圖像分別加密得到的加密圖像.

圖9 (A)(B)(C)原始圖像的直方圖； (D)(E)(F)加密圖像的直方圖Figure 9 (A)(B)(C)Histograms of Lena plaintext image; (D)(E)(F)Histograms of encrypted image

表3 RNPC和IUAC的結(jié)果Table 3 Result of RNPC and IUAC

RNPC和IUAC的理論值為99.609 4%和33.463 5%.從表3中的數(shù)據(jù)得出，兩者的計(jì)算結(jié)果均接近理論值，該算法可以很好地抵抗差分攻擊.

2.2.4 相關(guān)性分析

相鄰像素值之間具有一定的相關(guān)性.也就是說，相關(guān)性越強(qiáng)，越容易從圖像中獲得信息[14].

圖10展示了Lena的原始圖像和加密圖像在三個方向的相關(guān)性分布.很明顯，加密后的圖像在一定程度上削弱了相鄰像素的相關(guān)性，可以很好的抵抗統(tǒng)計(jì)攻擊.

圖10 Lena的相關(guān)性分布 (A)(D)水平； (B)(E)垂直；(C)(F)對角；Figure 10 Correlation distribution in of Lena (A)(D) Horizontal; (B)(E) Vertical; (C)(F) Diagonal

2.2.5 噪聲攻擊

魯棒性是算法受到攻擊時(shí)保證穩(wěn)定性的能力.在加密圖像中添加噪聲模擬受到的攻擊，并利用其解密，觀察解密圖像.在加密圖像中分別添加15%和25%的椒鹽噪聲[15]，得到的解密圖像對應(yīng)為圖11、12.很明顯，隨著噪聲添加的增多，得到的解密圖像的清晰度降低，但仍能識別出原始圖像中的有效信息，證明該算法可以很好地抵抗噪聲攻擊.

圖11 添加15%噪聲的解密圖像Figure 11 The decrypted image added with 15% noise

圖12 添加25%噪聲的解密圖像Figure 12 The decrypted image added with 25% noise

3 結(jié) 語

基于兩個相互偏離的Sigmoid與Gauss組合作為新的激勵函數(shù)，本文提出小波遲滯混沌神經(jīng)元,分析了該模型在不同參數(shù)影響下的動力學(xué)行為，并選取合適的參數(shù)，分析生成的時(shí)間序列，驗(yàn)證其隨機(jī)性，并應(yīng)用于彩色圖像加密算法中.