基于自適應(yīng)新息卡爾曼濾波的脫靶量預(yù)測(cè)算法*

楊麗君，劉 博，王 軍，陳天群，雷俊杰

(1.南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210094；2.上海機(jī)電研究所，上海 201109)

脫靶量是始點(diǎn)在目標(biāo)上，終點(diǎn)在彈頭上的一個(gè)矢量。脫靶量的精確預(yù)測(cè)是實(shí)現(xiàn)后續(xù)閉環(huán)校射的基礎(chǔ)。所以，為完成真正意義上的火控系統(tǒng)閉環(huán)控制，需要提高脫靶量預(yù)測(cè)的精度。

建立脫靶量預(yù)測(cè)模型，首先需要對(duì)射擊誤差的特性規(guī)律進(jìn)行分類與分析。查閱國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)于誤差源的分析研究可知，脫靶量可以分為確定性誤差分量和隨機(jī)誤差分量。確定性誤差通常也稱為系統(tǒng)誤差，在工程應(yīng)用中一般以常量代替；隨機(jī)誤差分量可依據(jù)時(shí)間相關(guān)性將其分為可修正誤差和不可修正誤差。綜合考慮誤差源特性后，疊加生成誤差序列。

預(yù)測(cè)彈丸與已發(fā)彈丸之間的相關(guān)性是建立各階次預(yù)測(cè)模型的基礎(chǔ)。目前，廣泛使用的脫靶量預(yù)測(cè)模型大多僅考慮只有前后兩發(fā)彈之間存在相關(guān)性的一階模型[1-3]，但是，隨著火炮射速的不斷提高，尤其是在射頻很高的情況下，一階誤差模型的假定誤差較大，與實(shí)際不符。因此，本文對(duì)高階模型進(jìn)行相關(guān)研究。

傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法是基于最小方差估計(jì)的遞推式濾波方法，在動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的估計(jì)、預(yù)測(cè)和控制中使用廣泛[4]。在系統(tǒng)狀態(tài)已知，過(guò)程噪聲和測(cè)量噪聲的統(tǒng)計(jì)特性精確的情況下，傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法能夠?qū)崿F(xiàn)最優(yōu)估計(jì)。但是，實(shí)際應(yīng)用中的系統(tǒng)狀態(tài)大都是先驗(yàn)未知，而且預(yù)測(cè)模型單一造成預(yù)測(cè)的精度較低、穩(wěn)定性較差，甚至造成濾波發(fā)散。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了一系列基于傳統(tǒng)卡爾曼濾波的改進(jìn)算法來(lái)解決這些問(wèn)題，從而提高卡爾曼濾波的精度和普適性。

文獻(xiàn)[5]提出了一種Sage-Husa 自適應(yīng)濾波算法，該算法通過(guò)協(xié)方差匹配技術(shù)實(shí)現(xiàn)在線估計(jì)噪聲統(tǒng)計(jì)特性；文獻(xiàn)[6]提出了一種通過(guò)任意時(shí)刻施行 2 次傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法的方法，來(lái)自適應(yīng)調(diào)整測(cè)量噪聲協(xié)方差，以提高濾波精度；文獻(xiàn)[7]利用新息自適應(yīng)估計(jì)過(guò)程噪聲和測(cè)量噪聲的協(xié)方差矩陣，以達(dá)到提高濾波性能、防止濾波發(fā)散的目的。綜上可知，改進(jìn)卡爾曼濾波算法的關(guān)鍵在于如何最優(yōu)估計(jì)噪聲統(tǒng)計(jì)特性，以此來(lái)提高卡爾曼濾波精度和防止濾波發(fā)散。但對(duì)于實(shí)際的非線性系統(tǒng)，很難獲得精確的噪聲統(tǒng)計(jì)特性來(lái)建立系統(tǒng)模型，這就需要綜合考慮系統(tǒng)模型和噪聲統(tǒng)計(jì)特性，來(lái)提高卡爾曼濾波的普適性和濾波精度[8-9]。因此，本文從系統(tǒng)建模的角度，提出一種基于新息的自適應(yīng) Kalman 濾波算法。

1 構(gòu)建脫靶量模型

1.1 脫靶量定義

脫靶量在嚴(yán)格意義上表征為射彈與目標(biāo)之間的最小矢量距離。但是在實(shí)際應(yīng)用中，通常分為二維脫靶量和三維脫靶量，二維脫靶量主要包含高低角誤差和方位角誤差，三維脫靶量主要包含方位角誤差、高低角誤差和距離誤差[10]。為便于后續(xù)需要實(shí)現(xiàn)閉環(huán)控制，本文采用的是二維脫靶量，即研究方位角誤差和高低角誤差。因?yàn)橥桓吲谖淦飨到y(tǒng)設(shè)備引起的射擊誤差分量的相關(guān)系數(shù)和均方差屬性相同，所以本文以某一方向的脫靶量(高低脫靶量)進(jìn)行研究，同樣的研究方法適用于另一方向的脫靶量(方位脫靶量)。

假設(shè)彈目矢量距離最小時(shí)的彈丸坐標(biāo)和目標(biāo)坐標(biāo)分別為(x,y,z)和(xe,ye,ze)，則脫靶量高低角φe和脫靶量方位角αe的計(jì)算公式如下：

(1)

(2)

1.2 脫靶量分解

脫靶量偏差是彈丸位置的實(shí)際值與理想值之差，射擊誤差是彈丸位置的理想值與實(shí)際值之差，故將脫靶量的始點(diǎn)與終點(diǎn)對(duì)調(diào)后的矢量稱為射擊誤差。射擊誤差的分解也就是脫靶量的分解。

脫靶量是各類誤差的綜合反應(yīng)結(jié)果，為了更好地校正誤差，需要對(duì)產(chǎn)生脫靶量的誤差進(jìn)行分解，依據(jù)武器系統(tǒng)各階子系統(tǒng)的階序，逐步找出導(dǎo)致脫靶量的所有原始誤差(誤差源)所在的部位與產(chǎn)生的原因，為建立誤差源與脫靶量間的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步論證、設(shè)計(jì)、檢測(cè)武器系統(tǒng)的脫靶量及其各個(gè)分系統(tǒng)的誤差指標(biāo)奠定技術(shù)基礎(chǔ)[11]。

本節(jié)從產(chǎn)生原因和統(tǒng)計(jì)特性兩個(gè)方面對(duì)誤差源進(jìn)行分析，根據(jù)分析結(jié)果進(jìn)行分解與建模。

1)按產(chǎn)生原因分解誤差源

依照武器系統(tǒng)各階子系統(tǒng)的階序，找出導(dǎo)致產(chǎn)生脫靶量的所有原始誤差所在部位與產(chǎn)生原因，將其分解為以下四部分，圖1所示為脫靶量傳遞過(guò)程。

圖1 脫靶量傳遞過(guò)程

①火控解算誤差

其主要包括氣象條件誤差、彈道條件誤差、基線修正誤差、目標(biāo)運(yùn)動(dòng)假定誤差、射表處理誤差。

②隨動(dòng)誤差

其包括：對(duì)于人工操炮的武器系統(tǒng)，由于操炮手不能實(shí)時(shí)準(zhǔn)確地跟蹤火控系統(tǒng)解算出的射擊諸元而導(dǎo)致的誤差；對(duì)于采用隨動(dòng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)自動(dòng)跟蹤的武器系統(tǒng)，由于在實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)跟蹤時(shí)，驅(qū)動(dòng)軸間存在間隙、摩擦等因素而導(dǎo)致的誤差。

③火炮誤差

其主要包括火炮靜態(tài)誤差和火炮動(dòng)態(tài)誤差?；鹋陟o態(tài)誤差，即火炮與目標(biāo)均靜止時(shí)，火炮的調(diào)平、對(duì)正誤差；火炮動(dòng)態(tài)誤差，即火炮的運(yùn)動(dòng)未加檢測(cè)或雖加檢測(cè)、調(diào)平、對(duì)正，但未調(diào)整到位所導(dǎo)致的誤差。

④射彈散布誤差

在上述三種誤差為零的情況下仍出現(xiàn)的彈目偏差。

2)按統(tǒng)計(jì)特性分解誤差源

誤差源可以通過(guò)對(duì)射擊誤差的遞階分解得到，各種誤差源導(dǎo)致的射擊誤差所具有的隨機(jī)特性有明顯區(qū)別。如果依據(jù)統(tǒng)計(jì)特性將前述的誤差源進(jìn)行分類，可以分為不相關(guān)誤差、強(qiáng)相關(guān)誤差、弱相關(guān)誤差、系統(tǒng)誤差。

各誤差的狀態(tài)方程及組成情況如下：

(3)

構(gòu)成系統(tǒng)誤差的誤差源是射表處理誤差。

②強(qiáng)相關(guān)誤差xq狀態(tài)方程

(4)

構(gòu)成強(qiáng)相關(guān)誤差的誤差源是氣象條件誤差，彈道條件誤差，基線修正誤差。

③弱相關(guān)誤差xr狀態(tài)方程

(5)

構(gòu)成弱相關(guān)誤差的誤差源是觀瞄設(shè)備測(cè)量誤差，操炮誤差，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)假定誤差。

④不相關(guān)誤差xb狀態(tài)方程

(6)

構(gòu)成不相關(guān)誤差的誤差源是射彈散布誤差。

1.3 射擊誤差數(shù)學(xué)模型

基于前面誤差的分析與歸類，可將射擊誤差(脫靶量)序列的狀態(tài)方程與輸出方程歸納為：

(7)

其中：

xr(k)=(xr(k),xr(k-1),…,xr(k-N+1))T

(8)

N表示脫靶量模型的階數(shù)，表示k時(shí)刻狀態(tài)只與前N個(gè)時(shí)刻相關(guān)。

1.4 脫靶量序列生成

對(duì)誤差源參數(shù)進(jìn)行設(shè)置，疊加生成脫靶量序列，射擊誤差分量的均方差及相關(guān)系數(shù)如表1所示。因?yàn)檎J(rèn)為同一高炮武器系統(tǒng)設(shè)備引起的射擊誤差分量的相關(guān)系數(shù)相等，且均方差也一樣，所以方位脫靶量與高低脫靶量特性一樣，本文針對(duì)某一方向的脫靶量(高低)進(jìn)行的研究。在Matlab中進(jìn)行仿真得到脫靶量序列，假設(shè)彈丸發(fā)射時(shí)間間隔為20 ms，脫靶量時(shí)間序列如圖2所示。假設(shè)火控系統(tǒng)的第k次射擊誤差滿足：

X(k)=a+xq(k)+xr(k)+xb(k)

(9)

不相關(guān)誤差、強(qiáng)相關(guān)誤差、弱相關(guān)誤差、系統(tǒng)誤差的射擊誤差分量均方差及其相關(guān)系數(shù)的設(shè)定如表1中數(shù)據(jù)所示。

表1 射擊誤差分量均方差與相關(guān)系數(shù)

根據(jù)前述的射擊誤差模型建立以及對(duì)誤差分量均方差值、相關(guān)系數(shù)的設(shè)定，在Matlab中生成射擊誤差序列如圖2所示。

圖2 射擊誤差序列圖

2 構(gòu)建各階次預(yù)測(cè)模型及相關(guān)系數(shù)辨識(shí)

脫靶量預(yù)測(cè)模型的建立與階次狀態(tài)有關(guān)[11-16]。

2.1 建立脫靶量預(yù)測(cè)模型

1)脫靶量的一階預(yù)測(cè)模型，即表示k時(shí)刻脫靶量只與前一個(gè)時(shí)刻相關(guān)。

(10)

2)脫靶量的二階預(yù)測(cè)模型，表示k時(shí)刻脫靶量只與前兩個(gè)時(shí)刻相關(guān)。

(11)

3)脫靶量的三階預(yù)測(cè)模型，即表示k時(shí)刻脫靶量只與前三個(gè)時(shí)刻相關(guān)。

(12)

2.2 自相關(guān)系數(shù)辨識(shí)

兩者之間的相關(guān)性會(huì)受到中間變量的影響。在考慮這些因素時(shí)即為自相關(guān)，xt時(shí)刻與xt-q時(shí)刻的自相關(guān)系數(shù)表示為

(13)

3 自適應(yīng)新息卡爾曼濾波

3.1 離散系統(tǒng)卡爾曼濾波狀態(tài)方程

離散卡爾曼濾波基本公式可參考文獻(xiàn)[8-9]，本文不作詳細(xì)描述。

(14)

其中，Xk為被估計(jì)量，Φk|k-1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Γ(k)為系統(tǒng)噪聲矩陣，ωk-1為k時(shí)刻系統(tǒng)噪聲矩陣，Vk為k時(shí)刻測(cè)量噪聲，Hk為觀測(cè)矩陣，Yk為k時(shí)刻量測(cè)向量。

3.2 傳統(tǒng)卡爾曼濾波預(yù)測(cè)算法

離散型的傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法具體步驟如下：

假設(shè)系統(tǒng)的過(guò)程噪聲和量測(cè)噪聲都是均值為零且互不相關(guān)的高斯白噪聲，其k時(shí)刻協(xié)方差矩陣分別為Q、R。

1)計(jì)算濾波狀態(tài)預(yù)測(cè)

(15)

2)計(jì)算其相應(yīng)的預(yù)測(cè)協(xié)方差

P(k|k-1)=Φ(k)P(k-1|k-1)Φ(k)T+

Γ(k)QΓ(k)T

(16)

隨后卡爾曼濾波結(jié)合了量測(cè)信息與預(yù)測(cè)信息再次更新了狀態(tài)信息，基于最小方差的原則實(shí)現(xiàn)狀態(tài)更新。

3)計(jì)算濾波增益矩陣

K(k)=P(k|k-1)H(k)T*

[H(k)P(k|k-1)H(k)T+R]-1

(17)

4)計(jì)算k時(shí)刻狀態(tài)估計(jì)

(18)

5)計(jì)算k時(shí)刻估計(jì)誤差方差

P(k|k)=[Ι-K(k)H(k)]P(k-1)

(19)

3.3 自適應(yīng)新息卡爾曼濾波預(yù)測(cè)算法流程

在卡爾曼濾波中是根據(jù)預(yù)測(cè)遞推方程來(lái)進(jìn)行迭代預(yù)測(cè)，這將造成一定程度的延遲性?？柭鼮V波中的噪聲協(xié)方差包括過(guò)程噪聲協(xié)方差矩陣Q和測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣R。實(shí)際應(yīng)用中的Q和R往往是不固定的，常采用默認(rèn)值和經(jīng)驗(yàn)值。Q和R的精確度會(huì)影響卡爾曼濾波的性能，本文采用新息來(lái)自適應(yīng)估計(jì)Q和R。

1)計(jì)算k時(shí)刻新息

(20)

2)計(jì)算k時(shí)刻新息協(xié)方差

C(k)=H(k)P(k|k-1)H(k)T+R(k)

(21)

3)更新計(jì)算新息的過(guò)程噪聲協(xié)方差矩陣

由式(17)和式(19)可推出Q(k-1)的表達(dá)式，穩(wěn)定濾波時(shí)均方誤差估計(jì)趨于0，所以，Q(k-1)≈K(k)H(k)P(k|k-1)，將式(21)代入式(18)，得基于新息的過(guò)程噪聲協(xié)方差矩陣Q的自適應(yīng)矩陣為

Q(k-1)=K(k)C(k)H(k)K(k)T

(22)

4)更新計(jì)算測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣

由式(22)變形可得基于新息的測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣R的自適應(yīng)矩陣為

R(k)=C(k)-H(k)P(k|k-1)H(k)T

(23)

5)迭代計(jì)算

將考慮新息得到的式(22)和式(23)，代入式(16)至式(19)中進(jìn)行迭代計(jì)算，在一定程度上可以解決噪聲統(tǒng)計(jì)帶來(lái)的問(wèn)題，從而提高脫靶量預(yù)測(cè)的精度。

本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)新息卡爾曼濾波流程圖如圖3所示。

圖3 自適應(yīng)新息卡爾曼濾波流程圖

4 仿真結(jié)果與分析

同一高炮武器系統(tǒng)設(shè)備引起的射擊誤差分量即方位脫靶量與高低脫靶量的相關(guān)系數(shù)、均方差相似，因此，這里著手于高低脫靶量的研究，同樣的研究方法適用于方位脫靶量。

本文采用的樣本數(shù)據(jù)經(jīng)驗(yàn)證均是符合脫靶量序列特性的平穩(wěn)序列。給定的脫靶量序列如圖4所示，隨機(jī)脫靶量序列則根據(jù)上述分析得到的各個(gè)誤差源特性疊加生成。隨機(jī)脫靶量序列在后續(xù)仿真中一一展示。

圖4 給定脫靶量序列圖(120發(fā)彈丸脫靶量)

4.1 給定脫靶量序列時(shí)預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比分析

根據(jù)給定的脫靶量序列，分別在傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法和自適應(yīng)新息卡爾曼濾波算法中進(jìn)行仿真[17-18]。預(yù)測(cè)遞推步數(shù)的選取為2，預(yù)測(cè)模型分別為一階脫靶量預(yù)測(cè)模型、二階脫靶量預(yù)測(cè)模型和三階脫靶量預(yù)測(cè)模型。用已知的90個(gè)彈丸脫靶量預(yù)測(cè)后續(xù)30發(fā)彈丸脫靶量，預(yù)測(cè)結(jié)果分別如圖5～7所示。

圖5～7中，藍(lán)色星號(hào)折線代表給定脫靶量序列，紅色圓圈折線代表各階次多步傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法的預(yù)測(cè)結(jié)果，黃色菱形折線代表各階次多步自適應(yīng)新息卡爾曼濾波算法的預(yù)測(cè)結(jié)果。

圖5 一階模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比圖

圖6 二階模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比圖

圖7 三階模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比圖

表2、3、4中的數(shù)據(jù)為給定脫靶量序列時(shí)各階脫靶量遞推預(yù)測(cè)模型的統(tǒng)計(jì)特性。

表2 一階模型預(yù)測(cè)精度統(tǒng)計(jì)表

表3 二階模型預(yù)測(cè)精度統(tǒng)計(jì)表

表4 三階模型預(yù)測(cè)精度統(tǒng)計(jì)表

從上述的仿真結(jié)果對(duì)比圖以及特性統(tǒng)計(jì)表中，可以得出以下結(jié)論：

1)在一階預(yù)測(cè)模型、二階預(yù)測(cè)模型和三階預(yù)測(cè)模型中，自適應(yīng)新息卡爾曼濾波算法的精度一直高于傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法。

2)在預(yù)測(cè)過(guò)程中，自適應(yīng)新息卡爾曼濾波算法的預(yù)測(cè)結(jié)果與給定脫靶量之間的誤差逐漸減小。因?yàn)?，在自適應(yīng)新息卡爾曼濾波過(guò)程中，過(guò)程噪聲矩陣和量測(cè)噪聲矩陣會(huì)根據(jù)之前的預(yù)測(cè)結(jié)果自適應(yīng)修正。

3)隨著脫靶量預(yù)測(cè)模型階次的增大，它的預(yù)測(cè)誤差的均值增大，但是變化的幅度不是很大，均方差的變化也不大，趨于平穩(wěn)。可以得出結(jié)論：k時(shí)刻脫靶量與k-1時(shí)刻脫靶量的相關(guān)性比較大，與k-2時(shí)刻乃至更早時(shí)刻的相關(guān)性有所減少(k≥3)。

4.2 隨機(jī)脫靶量序列時(shí)預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比分析

在驗(yàn)證脫靶量模型隨機(jī)情況下的仿真結(jié)果時(shí)，以一階狀態(tài)方程單步遞推預(yù)測(cè)為例，假設(shè)已知前90發(fā)彈丸的脫靶量，預(yù)測(cè)第91發(fā)到120發(fā)彈丸的脫靶量。采用多次試驗(yàn)，隨機(jī)選取三次試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析。

圖8為試驗(yàn)一的隨機(jī)脫靶量序列示意圖，圖9為試驗(yàn)一的仿真結(jié)果圖；圖10為試驗(yàn)二的隨機(jī)脫靶量序列示意圖，圖11為試驗(yàn)二的仿真結(jié)果圖；圖12為試驗(yàn)三的隨機(jī)脫靶量序列示意圖，圖13為試驗(yàn)三的仿真結(jié)果圖。

圖8 試驗(yàn)一隨機(jī)脫靶量序列圖

圖9 試驗(yàn)一仿真結(jié)果對(duì)比圖

圖10 試驗(yàn)二隨機(jī)脫靶量序列圖

圖11 試驗(yàn)二仿真結(jié)果對(duì)比圖

圖12 試驗(yàn)三隨機(jī)脫靶量序列圖

圖13 試驗(yàn)三仿真結(jié)果對(duì)比圖

圖9、11、13中，藍(lán)色菱形折線代表由誤差源疊加生成的隨機(jī)脫靶量序列，紅色圓圈折線代表傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法的預(yù)測(cè)結(jié)果，黑色星號(hào)折線代表自適應(yīng)新息卡爾曼濾波算法的預(yù)測(cè)結(jié)果。

隨機(jī)脫靶量序列時(shí)遞推預(yù)測(cè)的統(tǒng)計(jì)特性如表5、6、7所示。

表5 試驗(yàn)一預(yù)測(cè)精度統(tǒng)計(jì)表

表6 試驗(yàn)二預(yù)測(cè)精度統(tǒng)計(jì)表

表7 試驗(yàn)三預(yù)測(cè)精度統(tǒng)計(jì)表

從上述的仿真結(jié)果對(duì)比圖以及特性統(tǒng)計(jì)表中，除了可以得出和前節(jié)相同的結(jié)論之外，多次試驗(yàn)結(jié)果還表明：自適應(yīng)新息卡爾曼濾波在工程應(yīng)用中具有普適性且更加適用于低階模型。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文從提高脫靶量精度著手，提出了自適應(yīng)新息卡爾曼濾波算法，建立了自適應(yīng)新息卡爾曼濾波脫靶量預(yù)測(cè)模型，并且進(jìn)行仿真驗(yàn)證。Matlab仿真結(jié)果表明，新息自適應(yīng)卡爾曼濾波算法，在進(jìn)行脫靶量預(yù)測(cè)時(shí)，與傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法相比，預(yù)測(cè)結(jié)果更加精確。同時(shí)，仿真結(jié)果也表明，在隨機(jī)脫靶量模型中，自適應(yīng)新息卡爾曼濾波算法預(yù)測(cè)精度也高于傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法，也證明了自適應(yīng)新息卡爾曼濾波算法在彈丸脫靶量預(yù)測(cè)方面的應(yīng)用普適性。