基于雙樹復(fù)小波變換與雙邊濾波的圖像濾波

萬里勇，陳家益

(1.南昌工學(xué)院人工智能學(xué)院，南昌 330108；2.江西師范大學(xué)管理科學(xué)與工程研究中心，南昌 330046；3.廣東醫(yī)科大學(xué)信息工程學(xué)院，廣東 湛江 524023)

在圖像的拍攝和處理的過程中，常常受到噪聲的干擾.其中高斯噪聲是一種常見的噪聲，其服從零均值的高斯分布，數(shù)學(xué)模型為：

f=s+n，

(1)

其中，s、n和f分別為原圖像、高斯噪聲和含噪圖像，n服從零均值的高斯分布，n～N(0，σn).高斯噪聲影響圖像的視覺效果及其應(yīng)用，去除高斯噪聲非常必要.去除高斯噪聲常用的有效方法有空間域的高斯濾波[1]、維納濾波[2]以及非局部均值濾波[3]，以及變換域的小波閾值去噪方法[4].高斯濾波的各項同性會破壞圖像的邊緣和紋理結(jié)構(gòu)，非局部均值濾波雖然能夠有效地去除高斯噪聲，但是其計算復(fù)雜度較高，缺乏實用性.而小波因為其具有多分辨率分析和信號局部特征表示的能力，被廣泛應(yīng)用于圖像處理.Kumar等[5]提出了一種應(yīng)用于醫(yī)學(xué)超聲圖像的小波閾值去噪方法，在閾值的選取中引入了Fisz變換方法，但是其收縮函數(shù)采用軟閾值函數(shù)，未能有效地保持的圖像的邊緣和細(xì)節(jié).Li等[6]提出了帶邊緣檢測的優(yōu)化小波閾值去噪方法(WTDED)，將小波檢測出來的圖像邊緣，融合到小波閾值去噪圖像中.Sumathi等[7]提出一種四方向的拉普拉斯濾波器，以去除小波高頻圖像的噪聲.但是拉普拉斯濾波器是空間域濾波器，會破壞圖像的部分小波系數(shù).為了同時利用小波的稀疏表示特性和中值濾波的邊緣保持能力，Ullah等[8]將小波閾值去噪與中值濾波相結(jié)合，提出了一種運(yùn)用對數(shù)收縮函數(shù)的小波去噪方法(WDLSF).

圖像的細(xì)節(jié)和紋理結(jié)構(gòu)錯綜復(fù)雜，邊緣的灰度存在跳躍，小波變換存在平移敏感性和缺乏方向選擇性等缺陷，難以有效地保持圖像的細(xì)節(jié)和紋理結(jié)構(gòu)，于是Selesnick等[9]提出了雙樹復(fù)小波變換(DTCWT)方法.雙樹復(fù)小波變換除了具有小波變換的優(yōu)點(diǎn)外，還具有平移不變性和多方向選擇性，這正是圖像處理所亟需的.鑒于不同分解尺度間的小波系數(shù)存在相關(guān)性，在雙樹復(fù)小波變換的基礎(chǔ)上，La等[10]提出了雙密度的雙樹復(fù)小波變換.Velayudham等[11]提出了一種結(jié)合局部像素分組和雙樹復(fù)小波包的圖像去噪方法，用雙樹復(fù)小波包對噪聲信息進(jìn)行識別，然后分三階段，每一階段用不同的噪聲強(qiáng)度參數(shù)對噪聲進(jìn)行去除.鑒于形態(tài)學(xué)在圖像處理中的廣泛而有效的應(yīng)用，牛犇等[12]將形態(tài)學(xué)濾波和雙樹復(fù)小波變換相結(jié)合，提出了基于最大后驗估計的圖像去噪方法(DCWM).用形態(tài)學(xué)濾波對含噪圖像進(jìn)行預(yù)處理，然后用最大后驗估計方法確定去噪閾值，對小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理.Edla等[13]指出，小波閾值去噪的性能取決于閾值的選取，于是提出了一種基于雙樹復(fù)小波變換去噪的最優(yōu)閾值的計算方法.利用最優(yōu)閾值，噪聲對圖像均勻區(qū)域像素強(qiáng)度的影響得到完全抑制，而圖像的邊緣不受影響.但是其閾值缺乏自適應(yīng)性，對于性質(zhì)不同的圖像未必有效.Saeedzarandi等[14]提出了一種應(yīng)用多元t分布與非抽樣雙樹復(fù)小波變換的圖像濾波方法(UDT-CWT)，采用多元t分布作為無噪聲系數(shù)的先驗概率，以正確建模小波系數(shù)的統(tǒng)計特性.

為了在圖像去噪中更有效地保持和恢復(fù)圖像的細(xì)節(jié)和紋理結(jié)構(gòu)，本文提出了基于雙樹復(fù)小波變換與雙邊濾波的圖像去噪方法(DCWBF).DCWBF充分利用雙樹復(fù)小波變換的平移不變性和多方向選擇性，用推導(dǎo)出自適應(yīng)的閾值去噪模型對含噪圖像進(jìn)行去噪處理，然后用改進(jìn)的雙邊濾波對去噪圖像進(jìn)行邊緣增強(qiáng)，最后用實驗證明方法的有效性.

1 雙樹復(fù)小波變換

文獻(xiàn)[9]中首次提出雙樹復(fù)小波的概念，在論文中演示了數(shù)學(xué)分析和推導(dǎo)過程，并詳盡地對雙樹復(fù)小波變換的濾波器構(gòu)造和濾波效果分析進(jìn)行了充分的論述.雙樹復(fù)小波變換建立于小波理論基礎(chǔ)上.復(fù)數(shù)小波定義為

ψ(t)=ψh(t)+jψg(t)，

(2)

其中，ψh(t)和jψg(t)分別為復(fù)小波的實部與虛部.

雙樹復(fù)小波變換如圖1所示，其中h0(n)和h1(n)表示共軛正交濾波器對，g0(n)和g1(n)表示共軛積分濾波器對，↓2表示隔點(diǎn)采樣.雙樹復(fù)小波變換的思想路線為：在第一層分解中，若要求樹a和樹b的濾波器之間的延遲剛好是一個采樣周期，就可以保證樹b中第一層的隔點(diǎn)采樣后所得的數(shù)據(jù)恰好是采樣到樹a中因隔點(diǎn)采樣所丟掉的數(shù)據(jù)，這樣就會降低數(shù)據(jù)的丟失，也就不會有平移敏感性.在以后的各層分解中，為確保樹a和樹b在這一層和它之前的各層上的延遲差總和相對輸入剛好有一個采樣周期，那么兩樹所對應(yīng)的濾波器相頻響應(yīng)之間就會剛好有半個采樣周期的群延遲，而且兩組濾波器的幅頻就會相同.為了確保濾波器之間的線性相位，文獻(xiàn)[9]中采用雙正交小波變換，要求兩樹中其中一樹的濾波器為奇數(shù)長，而另一樹的濾波器則是偶數(shù)長.因此，要使這兩棵樹呈現(xiàn)好的對稱性，只要求在每樹的不同層次間采用交替的奇偶濾波器.

圖1 雙樹復(fù)小波變換的分析濾波器組Fig.1 Analysis filter bank for dual tree complex wavelet transform

雙樹結(jié)構(gòu)的濾波器組使得雙樹復(fù)小波變換具有近似的平移不變性，并且二維的雙樹復(fù)小波變換能夠提供6個方向的細(xì)節(jié)信息，具有多方向選擇性，并且其具有較小的數(shù)據(jù)冗余以及完成重構(gòu)的能力.雙樹復(fù)小波繼承了離散小波的時頻局部化分析與多分辨率分析等優(yōu)良性能，另外具有多方向選擇性，如圖2所示，以及平移不變性，如圖3所示[9].

圖2 二維雙樹復(fù)小波的方向和幅值Fig.2 Direction and amplitude of two dimensional dual tree complex wavelet

圖3 雙樹復(fù)小波變換的平移不變性Fig.3 Translation invariance of dual tree complex wavelet transform

2 DCWBF方法

2.1 適應(yīng)的閾值去噪模型

根據(jù)高斯噪聲模型(如式(1))，經(jīng)小波變換后，可寫為

F=S+N，

(3)

(4)

根據(jù)貝葉斯估計的法則可得

(5)

上式取對數(shù)后等價于

(6)

根據(jù)噪聲的小波系數(shù)N和原圖像系數(shù)S的概率分布，上式等價于

(7)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)求極值的方法，上式等價于求解以下方程

(8)

從而得到自適應(yīng)的閾值去噪模型

(9)

2.2 改進(jìn)的雙邊濾波

經(jīng)過自適應(yīng)的閾值去噪模型去噪后的圖像，由于圖像的部分高頻系數(shù)與噪聲系數(shù)易混淆，以致去噪不徹底，或者去除了部分有用的圖像系數(shù).鑒于雙邊濾波具有保持邊緣和降噪平滑的能力，采用改進(jìn)的雙邊濾波對去噪圖像作進(jìn)一步的處理，以徹底去除噪聲和恢復(fù)圖像的邊緣.

雙邊濾波如式(10)所示，核函數(shù)是空間域核Gd與像素范圍域核Gs的結(jié)合，可以達(dá)到保持邊緣和降噪平滑的效果.

(10)

雙邊濾波的效果決定于其核函數(shù)Gd和Gs，核函數(shù)不僅考慮了像素的空間距離，還考慮了像素范圍域中的輻射差異，具有邊緣識別的能力.在圖像的平坦區(qū)域，像素值變化很小，那么像素范圍域權(quán)重就大，此時像素范圍域權(quán)重起主要作用，提升鄰域像素的相似性；在圖像的邊緣區(qū)域，像素值變化很大，對應(yīng)的像素范圍域權(quán)重就小，此時空間域權(quán)重起主要作用，從而保護(hù)了邊緣的信息.但是，一般的雙邊濾波核函數(shù)忽略了圖像與空間鄰域的特征，從而導(dǎo)致濾波缺乏魯棒性.于是，根據(jù)平滑區(qū)域的像素方差小，細(xì)節(jié)區(qū)域的像素方差大，我們提出了改進(jìn)的雙邊濾波

(11)

W=αGd+(1-α)Gs，

(12)

其中，

α用以決定空間域核Gd與像素范圍域核Gs的權(quán)重的分量，經(jīng)過圖像數(shù)據(jù)集的測試與驗證，α取0.226為宜，為保持圖像的邊緣和細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)，Gs占主導(dǎo)地位.σd為鄰域像素位置的空間距離標(biāo)準(zhǔn)差，σs為原圖像小波子帶的標(biāo)準(zhǔn)差.小鄰域的像素相關(guān)性強(qiáng)，方差小，其空間域權(quán)重就大；反之，大鄰域的空間域權(quán)重小.平滑區(qū)域的像素相關(guān)性強(qiáng)，方差小，其像素范圍域權(quán)重大；反之，細(xì)節(jié)區(qū)域的像素范圍域權(quán)重小.因此，改進(jìn)的核函數(shù)自適應(yīng)于鄰域的大小和原圖像的特征，根據(jù)鄰域的大小和圖像特征自適應(yīng)地調(diào)整空間域核與像素范圍域核的權(quán)重，從而獲得平滑非細(xì)節(jié)區(qū)域而保持細(xì)節(jié)區(qū)域邊緣信息的效果.

3 實驗結(jié)果與數(shù)據(jù)分析

以處理器為Intel(R)i7、內(nèi)存為8 G的計算機(jī)和Matlab 2019a為實驗操作環(huán)境，實驗所用的數(shù)據(jù)集為BSD68、SET12和部分醫(yī)學(xué)圖像，其中醫(yī)學(xué)圖像如圖4所示.以最新提出的算法WTDED[6]、WDLSF[8]、DCWM[12]、UDT-CWT[14]作為參照，根據(jù)峰值信噪比(PSNR)和結(jié)構(gòu)相似性(SSIM)[15]以及圖像的視覺感知分析DCWBF方法的效果.PSNR和SSIM的定義如下:

圖4 醫(yī)學(xué)圖像Fig.4 Medical images

(13)

C1=(K1L)2，C2=(K2L)2.

(14)

3.1 去噪結(jié)果的PSNR和SSIM

數(shù)據(jù)集BSD68總共有68張性質(zhì)各異的圖像：包括人物、動物、山水景觀、建筑等圖像，圖像尺寸各異，部分圖像偏暗而部分圖像偏亮.利用BSD68可以較準(zhǔn)確而穩(wěn)定地度量算法的性能.各算法在數(shù)據(jù)集BSD68上實驗得到PSNR和SSIM值用曲線表示如圖5所示.其中，WDLSF和WTDED的PSNR和SSIM曲線處于較低位置，表明它們在噪聲的去除和紋理結(jié)構(gòu)保持上的性能較差，另外，UDT-CWT在噪聲強(qiáng)度較低時，取得了相對良好的去噪效果，但是對于中、高強(qiáng)度的噪聲，其性能驟然走低.DCWM的去噪效果較好，對紋理結(jié)構(gòu)的保持和恢復(fù)得很好.相對地，本文提出的方法取得了更好的去噪效果，其PSNR和SSIM曲線高于所有算法，與去噪性能較好的DCWM相比，其PSNR比DCWM高出了大約0.8 dB，SSIM高出大約2.3%.

圖5 各算法對數(shù)據(jù)集BSD68去噪的PSNR和SSIMFig.5 The PSNR and SSIM of each filter on dataset BSD68

將各算法應(yīng)用于數(shù)據(jù)集SET12得到的PSNR和SSIM曲線如圖6所示.相對于數(shù)據(jù)集BSD68，各算法在SET12上的結(jié)果都稍有提高，但得到的結(jié)論是一致的.WDLSF和WTDED的性能相對較差，雖然UDT-CWT在噪聲強(qiáng)度較低時，性能表現(xiàn)還可以，但是總體上還是較差.而DCWM和DCWBF的性能較好，另外，DCWBF在性能上還是比DCWM超出一定的距離，PSNR比DCWM高出了大約0.85 dB，SSIM高出大約4.7%.結(jié)果表明了DCWBF算法在去噪徹底性與紋理結(jié)構(gòu)保持上的性能更優(yōu).

圖6 各算法對數(shù)據(jù)集SET12去噪的PSNR和SSIMFig.6 The PSNR and SSIM of each filter on dataset SET12

各算法對醫(yī)學(xué)圖像spine＿mri的去噪結(jié)果如圖7所示.其中UDT-CWT和WTDED的效果較差，特別是在噪聲強(qiáng)度較高時，它們的PSNR值和SSIM值驟然走低.雖然WDLSF的SSIM值較高，能夠有效地保持圖像的細(xì)節(jié)和紋理結(jié)構(gòu)，但是其PSNR值總體上不高.DCWM與本文算法DCWBF的性能表現(xiàn)較好，PSNR和SSIM曲線均處于較高位置.相對地，DCWBF還是比DCWM高出一定的距離，PSNR值大約高出0.85 dB，SSIM值高出2.2%.

圖7 各算法對醫(yī)學(xué)圖像spine＿mri去噪的PSNR和SSIMFig.7 The PSNR and SSIM of each filter on medical image spine＿mri

鑒于改進(jìn)的雙邊濾波是本文方法的重要部分，在數(shù)據(jù)集SET12上單獨(dú)驗證其有效性.本文方法中分別用雙邊濾波(BF)與改進(jìn)的雙邊濾波(IBF)的實驗結(jié)果如表1所示.根據(jù)數(shù)據(jù)的比較，在本文方法中結(jié)合改進(jìn)的雙邊濾波，比結(jié)合傳統(tǒng)的雙邊濾波具有一定的優(yōu)勢，對于表1中不同的噪聲強(qiáng)度，其PSNR平均提高0.26 dB，SSIM平均提高0.32%.

3.2 去噪圖像的視覺感知

各算法對乳腺圖像mammogram的去噪圖像如圖8所示，各分圖下的兩個數(shù)字為圖像對應(yīng)的PSNR和SSIM值.很明顯，WTDED去除不徹底，殘留的噪聲布滿整個畫面.UDT-CWT去噪后圖像出現(xiàn)了類似噪聲的偽影.WDLSF徹底去除了噪聲，但是圖像的模糊效果嚴(yán)重，圖像的紋理不清.DCWM的去噪效果相對較好，圖像的紋理較清晰，但是依然存在一些模糊效果.DCWBF的去噪效果圖非常清晰，圖像的細(xì)節(jié)和紋理結(jié)構(gòu)恢復(fù)得較好，細(xì)節(jié)更加豐富和細(xì)膩，比如圖像的右下角部分.根據(jù)圖像的PSNR和SSIM值可以得出同樣的結(jié)論.

圖8 各算法對含噪強(qiáng)度σ=35乳腺圖像mammogram的去噪圖像Fig.8 Denoised image of each filter on mammogram corrupted with noise of intensity σ=35

綜上所述，實驗得出的客觀圖像質(zhì)量指標(biāo)和去噪圖像，驗證了所提出方法的有效性與實用性，相對地，所提出方法具有更好的去噪和邊緣恢復(fù)性能.對于性質(zhì)不同的數(shù)據(jù)集，其始終取得一致良好的去噪結(jié)果.

4 結(jié)論

為了在有效去除高斯噪聲的同時，更好地保持和恢復(fù)圖像的細(xì)節(jié)和紋理結(jié)構(gòu)，提出了基于雙樹復(fù)效波變換與雙邊濾波的去噪方法.根據(jù)對圖像和噪聲的分布假設(shè)，推導(dǎo)出基于雙樹復(fù)小波變換的自適應(yīng)閾值去噪模型，用改進(jìn)的自適應(yīng)雙邊濾波器對去噪圖像進(jìn)行濾波，以徹底去除噪聲和增強(qiáng)圖像的邊緣.實驗數(shù)據(jù)證明了所提出方法的有效性，具有良好的去噪和邊緣恢復(fù)性能.將方法作進(jìn)一步的改進(jìn)，與Retinex圖像增強(qiáng)方法結(jié)合，應(yīng)用于圖像的去噪和增強(qiáng)，是我們下一步的研究工作.