單矢量水聽器多維參數(shù)聯(lián)合估計方法

王 進，牛樹華

(海裝裝備審價中心,北京 100071)

近年來,無人艇、UUV、魚雷等平臺技術(shù)發(fā)展迅猛。對于這些尺寸受限的載體,聲吶系統(tǒng)布放的空間資源相對緊張。矢量水聽器可以同步獲取聲場的聲壓和振速數(shù)據(jù),因此,不用成陣僅依靠單個矢量水聽器即可實現(xiàn)對目標的方位估計[1-3]。所以,與常規(guī)標量探測設(shè)備相比,矢量水聽器更適合應用于此類平臺。

方位估計依賴于信號頻率這一先驗條件,但實際應用中信號頻率通常未知,因此，針對方位頻率聯(lián)合估計問題開展研究具有現(xiàn)實意義。利用矢量水聽器獲得的聲壓振速信息,有利于實現(xiàn)對信號方位頻率的聯(lián)合估計。文獻[4-7]基于單矢量水聽器分別利用ESPIRT算法、波達方向矩陣法和平行因子模型對多個信號的方位角、俯仰角和頻率進行了聯(lián)合估計。但由于算法模型的原因,這三種方法估計的目標數(shù)目有限。文獻[8-9]分別使用狀態(tài)空間模型方法和稀疏分解理論獲得了單矢量水聽器接收信號的方位角和頻率參數(shù)信息。

在文獻[9]的研究基礎(chǔ)上,本文提出了基于稀疏分解理論的單矢量水聽器多維參數(shù)(即頻率、方位角和俯仰角)聯(lián)合估計方法。首先根據(jù)聲源信號的特征,建立單矢量水聽器的時空接收數(shù)據(jù)模型。然后構(gòu)造相同形式的過完備原子庫,利用稀疏分解理論進行求解,由此可以得到聲源信號頻率、方位角和俯仰角的精確估計。

1 單矢量水聽器時空接收數(shù)據(jù)模型

假設(shè)遠場有K個窄帶聲源信號入射到空間分布的某個三維矢量水聽器上,則該單矢量水聽器t時刻的接收信號可以表示為

Y(t)=[p(t),vx(t),vy(t),vz(t)]T=

U·X(t)+N(t)

(1)

式中,p(t)表示矢量水聽器的聲壓通道數(shù)據(jù),vx(t)、vy(t)和vz(t)分別為矢量水聽器的三個振速通道數(shù)據(jù);U=[u1,…,uk,…,uK]為4×K維的方向矩陣,其中uk=[1,sinφkcosθk,sinφksinθk,cosφk]T為三維矢量水聽器的方向向量,φk和θk分別表示第k個聲源的俯仰角和方位角;X(t)為聲源信號信息,N(t)為零均值的觀測加性高斯白噪聲。

對接收信號進行采樣,采樣點為T個,可以得到:

Y(n)=[p(n),vx(n),vy(n),vz(n)]T=

U·X(n)+N(n)

(2)

式中,n=1,2,…,T-1。根據(jù)時空變換技術(shù)(TST),將矢量水聽器各通道的時域接收數(shù)據(jù)按每一個采樣點進行排列寫為式(3)。參照式(3)將式(2)重新整理,如式(4)所示。式(4)中,I是元素全為1的K維列向量,W為觀測噪聲。為了方便,假設(shè)聲源信號均為復正弦信號,如式(5)所示。

Y=[p(0),vx(0),vy(0),vz(0),…,p(T-1),vx(T-1),vy(T-1),vz(T-1)]T

(3)

(4)

xk(t)=μkej(2πfkt+σk)+nk(t)=μkejσk·ej2πfkt+nk(t)

(5)

式(5)中,μk、fk和σk為第k個聲源信號的幅度、頻率和相位,k∈[1,K];nk(t)為高斯白噪聲。令E=[μ1ejσ1,μ2ejσ2,…,μKejσK]T,則式(4)可以寫為式(6)所示。

(6)

令Fk=[1,ej2πfk,…,ej2πfk(T-1)]T,因此,式(6)可以寫為如下形式:

Y=[F1?u1,F2?u2,…,FK?uK]E+W

(7)

式中,?為Kronecker積的運算符號;令A=[F1?u1,F2?u2,…,FK?uK],A包含了聲源信號的時域和空域信息,稱為時空陣列流型。式(7)為單矢量水聽器的時空接收數(shù)據(jù)模型。

2 多參數(shù)聯(lián)合估計方法

首先確定參數(shù)的搜索空間,對搜索空間根據(jù)精度需求選擇合適的間隔進行網(wǎng)格劃分。假設(shè)頻率的搜索點數(shù)為Nf個,方位角的搜索點數(shù)為Nθ個,俯仰角的搜索點數(shù)為Nφ個,則參數(shù)搜索空間維度為Ns=Nf×Nθ×Nφ。

假設(shè)每個網(wǎng)格點上都存在聲源,則式(7)可以改寫

成如下形式:

Y=AsZ+W

(8)

其中,

As=[a(f1,θ1,φ1),…,a(fNs,θNs,φNs)]
Z=[z1,…,zNs]T

(9)

式(8)中,a(fi,θi,φi)=Fi?ui,i∈[1,Ns];As為4T×Ns維度的矩陣,當4T?Ns時,As被稱為過完備原子庫。

但實際上,只有聲源真實存在的位置對應的網(wǎng)格點上才有信號,其余網(wǎng)格點上的信號強度為0。所以,Z是個稀疏度為K的稀疏向量,其非零元素的索引包含聲源的位置信息。式(8)將單矢量水聽器多維參數(shù)估計問題轉(zhuǎn)化成欠定線性方程組的求解問題。通常,欠定線性方程組有無窮個解,因此對該方程組的求解需要引入先驗性稀疏約束,從而構(gòu)建稀疏分解模型,如下所示:

(10)

式中,‖·‖0為l0范數(shù),ε為稀疏分解誤差容忍項,與數(shù)據(jù)所含噪聲有關(guān)。

綜上所述,本文提出的單矢量水聽器多維參數(shù)聯(lián)合估計方法具體流程歸納如下:

步驟1:將單矢量水聽器各通道接收的時域數(shù)據(jù)選取合適的采樣點數(shù)參照式(3)進行整理,得到待處理的觀測數(shù)據(jù)Y;

步驟2:確定參數(shù)的搜索空間,根據(jù)估計精度需求選取合適的間隔對搜索網(wǎng)格進行劃分,按照a(fi,θi,φi)=Fi?ui的形式構(gòu)造過完備原子庫As;

步驟3:將觀測數(shù)據(jù)Y和過完備原子庫As代入式(10),利用正交匹配追蹤(OMP)算法進行求解,從而得到稀疏向量Z,將Z中非零元素的索引值進行換算即可獲得對參數(shù)的估計。

3 數(shù)值仿真分析

3.1 方法性能分析

仿真條件1:假設(shè)有2個窄帶目標源信號入射,幅值分別為2和1,頻率分別為32 Hz和80 Hz,方位角分別為83°和227°,俯仰角分別為75°和141°。采樣頻率為200 Hz。頻率搜索范圍為1 Hz～100 Hz,搜索間隔為1 Hz;方位角搜索范圍為1°～360°,俯仰角搜索范圍為1°～180°,搜索間隔均為1°。

基于仿真條件1,使用本文方法進行處理,處理結(jié)果如圖1所示。

圖1 單矢量水聽器頻率-方位角-俯仰角聯(lián)合估計結(jié)果(2個目標)

由圖1a)可知,當信噪比(SNR)為20 dB、快拍數(shù)(T)為500時,本文方法可以實現(xiàn)對目標頻率、方位角和俯仰角參數(shù)的準確估計(本文以單矢量水聽器各通道的一個采樣點的數(shù)據(jù)作為一個快拍)。同時,從圖中可以得到兩個目標信號幅值的估計值分別約等于2和1,與仿真理論值相符。當信噪比下降為5 dB且快拍數(shù)仍為500,仿真結(jié)果如圖1b)所示,此時方位角和俯仰角的估計已出現(xiàn)偏差,但頻率估計值仍是準確的。保持信噪比為5 dB,增加快拍數(shù)至3 000,仿真結(jié)果如圖1c)所示,此時方位角和俯仰角的估計值與仿真理論值相符。可以看出,信噪比和快拍數(shù)對本文方法的估計性能有重要的影響。

為方便比較,在上文仿真條件1中增加一個新目標:幅值為0.8,頻率為65 Hz,方位角為110°,俯仰角為30°。圖2展示了3個目標時不同的信噪比和快拍數(shù)條件下的仿真結(jié)果。對比圖2b)和圖1b)可知,在同等信噪比和快拍數(shù)的條件下,目標數(shù)增加會導致方位角和俯仰角估計結(jié)果出現(xiàn)誤差,頻率估計值依舊準確。保持信噪比不變,增加快拍數(shù)至5 000,處理結(jié)果見圖2c)。在該條件下,三個目標源的頻率、方位角和俯仰角參數(shù)估計都精確。保持信噪比不變,減少快拍數(shù)至10,處理結(jié)果見圖2a)。在該情形下,除了方位角和俯仰角之外,頻率的估計值也出現(xiàn)了誤差。將圖2的三個子圖進行比較,可以發(fā)現(xiàn)頻率估計受快拍數(shù)影響較大。

圖2 單矢量水聽器頻率-方位角-俯仰角聯(lián)合估計結(jié)果(3個目標)

3.2 與傳統(tǒng)方法對比

仿真條件2:假設(shè)有2個目標源信號入射,幅值分別為2和1,頻率分別為65 Hz和80 Hz,方位角分別為33°和107°,俯仰角分別為75°和141°。采樣頻率為200 Hz。為減少計算量,采用變步長的搜索網(wǎng)格。頻率搜索范圍在64 Hz～66 Hz和79 Hz～81 Hz內(nèi)時搜索間隔為0.1 Hz,其余搜索間隔為1 Hz;方位角搜索范圍在32°～34°、106°～108°,俯仰角搜索范圍在74°～76°、140°～142°時,搜索間隔為0.1°,其余搜索間隔為1°。蒙特卡洛試驗次數(shù)為500。

基于仿真條件2分別使用本文方法和文獻[4]中的ESPIRT方法進行處理。使用均方根誤差(RMSE)作為衡量標準比較兩種方法的估計性能:

(11)

兩種方法處理結(jié)果如圖3和圖4所示。圖3中展示了固定快拍數(shù)為100的條件下,兩種方法在不同信噪比時參數(shù)估計的RMSE曲線。圖4中展示了固定信噪比為10 dB的條件下,兩種方法在不同快拍數(shù)時參數(shù)估計的RMSE曲線。

圖3 不同信噪比下參數(shù)估計的均方根誤差

圖4 不同快拍數(shù)下參數(shù)估計的均方根誤差

圖3、4中使用本文方法估計頻率獲得的RMSE曲線分別在15 dB和100個快拍之后截斷,原因是在該條件下RMSE的估計值為0,而使用對數(shù)坐標系繪制RMSE曲線無法處理0值,因此圖中呈現(xiàn)截斷狀態(tài)。由圖3、4可知,相比于傳統(tǒng)的ESPIRT方法,本文方法對方位角、俯仰角和頻率的估計精度更高。

4 結(jié)束語

針對單矢量水聽器多維參數(shù)估計問題,本文提出一種基于稀疏分解理論的單矢量水聽器多維參數(shù)聯(lián)合估計方法。通過數(shù)值仿真驗證了該方法的有效性,同時得出了以下結(jié)論:1)目標數(shù)、信噪比和快拍數(shù)對本文方法的估計性能有重要的影響。目標數(shù)越大,維持較高的估計精度需要更大的信噪比或者更多的快拍數(shù)；2)相同條件下,本文方法相較于經(jīng)典的ESPIRT方法估計精度更高。