在計(jì)算中學(xué)習(xí)基本的數(shù)學(xué)思想方法

劉梅

“基本的數(shù)學(xué)思想方法”作為小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)之一，要求學(xué)生既要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，又要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法。然而，在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算課教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)過(guò)于偏重于技能訓(xùn)練，從而忽視計(jì)算中蘊(yùn)涵的基本數(shù)學(xué)思想方法。在計(jì)算中學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化、類比、數(shù)形結(jié)合、歸納等方法，不僅有利于學(xué)生理解算理，掌握算法，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而且還有利于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，為后續(xù)學(xué)好數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ)。

一、構(gòu)建聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

教學(xué)中，當(dāng)不能或不易直接應(yīng)用已有知識(shí)解決問(wèn)題時(shí)，教師要根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生將要解決的問(wèn)題不斷轉(zhuǎn)化，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)原問(wèn)題的解決。在計(jì)算課中，學(xué)習(xí)用轉(zhuǎn)化方法思考問(wèn)題，有助于良好思維習(xí)慣的培養(yǎng)。

如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)整數(shù)筆算退位減法的例題，教材編排如下：

通過(guò)以上4個(gè)例題的學(xué)習(xí)，豐富學(xué)生將退位減轉(zhuǎn)化為不退位減的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)習(xí)51-36時(shí)，產(chǎn)生一個(gè)認(rèn)知沖突，個(gè)位上的1減6不夠減，該怎么辦？教師要抓住這個(gè)時(shí)機(jī)，幫助學(xué)生構(gòu)建退位減與不退位減知識(shí)之間的聯(lián)系，用轉(zhuǎn)化方法解決退位減的問(wèn)題。為促進(jìn)學(xué)生邏輯思維的發(fā)展，提出怎樣轉(zhuǎn)化？為此，調(diào)動(dòng)學(xué)生100以內(nèi)兩位數(shù)減一位數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，從十位分出1個(gè)十，轉(zhuǎn)化為10個(gè)一，退給個(gè)位，個(gè)位上的數(shù)從1個(gè)一變?yōu)?1個(gè)一，實(shí)現(xiàn)了個(gè)位從不夠減到夠減的轉(zhuǎn)化。學(xué)生經(jīng)歷轉(zhuǎn)化——怎樣轉(zhuǎn)化的學(xué)習(xí)過(guò)程后，反思為什么要轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生在表達(dá)中感受將新的知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，并利用已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)高效學(xué)習(xí)新知的思想方法。這種方法一直接延續(xù)到三年級(jí)上冊(cè)退位減的三個(gè)例題中：

筆算550-380，十位上的5減8不夠減，怎么辦？用轉(zhuǎn)化的方法解決，從百位上分出1個(gè)百，轉(zhuǎn)化為10個(gè)十，退給十位，十位上的數(shù)從5個(gè)十變?yōu)?5個(gè)十。

筆算435-86，當(dāng)個(gè)位不夠減轉(zhuǎn)化為夠減時(shí)，十位上的數(shù)為什么是2？當(dāng)十位不夠減轉(zhuǎn)化為夠減時(shí)，十位上的數(shù)為什么是12？

筆算403-158，在兩次轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，十位上的數(shù)發(fā)生幾次變化？怎樣變化？

這樣學(xué)習(xí)，不僅讓學(xué)生深度理解、掌握退位減的方法，更重要的是凸顯轉(zhuǎn)化在計(jì)算中的價(jià)值。逐漸讓學(xué)生學(xué)會(huì)在新、舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化中尋找到解決“新”知的方法。

二、比較相似，遷移類比

數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)：“類比就是一種相似?！蓖ㄟ^(guò)觀察、比較發(fā)現(xiàn)新、舊知識(shí)具有相似的性質(zhì)時(shí)，就可以把已有知識(shí)類比到新知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，得到一個(gè)新的結(jié)論。

小數(shù)除法計(jì)算對(duì)小學(xué)生來(lái)講是一個(gè)難點(diǎn)，如何解決這個(gè)問(wèn)題呢？從整體的角度比較有余數(shù)的除法、除數(shù)是一位數(shù)的整數(shù)除法、除數(shù)是二位數(shù)的整數(shù)除法、除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法、除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法，發(fā)現(xiàn)它們筆算除法的方法是相似的，都是用除法豎式記錄平均分的過(guò)程，每次分都是把余數(shù)的計(jì)數(shù)單位變小和更低一位上的數(shù)合并繼續(xù)平均分。由此可見(jiàn)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用類比的方法學(xué)習(xí)整數(shù)、小數(shù)筆算除法。

如，五年級(jí)上冊(cè)第三單元小數(shù)除法例1（22.4÷4），分以下三個(gè)環(huán)節(jié)開(kāi)展學(xué)習(xí)活動(dòng)：

先呈現(xiàn)224÷4的除法豎式，交流第二次平均分的方法、過(guò)程及結(jié)果。即：把2個(gè)十平均分成4份，不夠分1個(gè)十，就把2個(gè)十轉(zhuǎn)化為更小的計(jì)數(shù)單位也就是20個(gè)一，再和4個(gè)一合并為24個(gè)一。這樣就把2個(gè)十平均分成4份轉(zhuǎn)化為把24個(gè)一平均分成4份，商是6個(gè)一，商6寫在個(gè)位上。

接下來(lái)讓學(xué)生比較筆算224÷4與22.4÷4有什么相似之處？都是筆算除法，都用除法豎式記錄每一次平均分的過(guò)程及結(jié)果，且平均分的方法不變，那么就可以把筆算224÷4的方法類比到22.4÷4中。

最后呈現(xiàn)學(xué)習(xí)單，讓學(xué)生帶著任務(wù)和要求自主學(xué)習(xí)。

顯然，學(xué)習(xí)例1，不僅要掌握除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法筆算方法，更重要的是學(xué)習(xí)用類比方法思考第二次是把2個(gè)一平均分成4份轉(zhuǎn)化為把24個(gè)十分之一平均分成4份的過(guò)程，從而類推出商的小數(shù)點(diǎn)為什么要點(diǎn)在十分位6的左下角。

從以上學(xué)習(xí)過(guò)程可以看出，盡管不同單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容有難易之分，但貫穿于其中的轉(zhuǎn)化及類比思想是不變的。有了類比的思想方法，學(xué)生就會(huì)感受到整個(gè)小學(xué)階段筆算除法的知識(shí)不是孤立和零散的，而是一個(gè)相互有關(guān)聯(lián)的統(tǒng)一整體，把握好變與不變，不僅有助于發(fā)展學(xué)生類比推理的能力，而且還有助于學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

三、直觀感知，數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題的思想方法。在計(jì)算課中，有的學(xué)習(xí)內(nèi)容需要借助計(jì)數(shù)器、小棒、圖形建立形的直觀，理解“數(shù)”的含義及算的原理，進(jìn)而讓學(xué)生體會(huì)以形助數(shù)的思想方法。

如，二年級(jí)下冊(cè)有余數(shù)的除法例3：13根小棒，每4根分一組，結(jié)果怎樣？

先操作分的過(guò)程和結(jié)果，理解圖式的含義;再將操作的過(guò)程及結(jié)果寫成除法橫式，借助形的直觀感知除法橫式中13、4、3、1表示的含義;最后提出除法橫式也可以寫成豎式，構(gòu)建除法橫式與豎式的聯(lián)系，并將以形助數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)再一次類比到除法豎式中，理解12表示分掉的12根小棒，12下面的橫線及1表示分了之后還余1根小棒。這樣從直觀操作到除法橫式到除法豎式的轉(zhuǎn)化，構(gòu)建了知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了從直觀到抽象的學(xué)習(xí)過(guò)程，為后續(xù)學(xué)習(xí)三年級(jí)除數(shù)是一位數(shù)的整數(shù)除法打下基礎(chǔ)。

另外，還可以充分畫圖，引導(dǎo)學(xué)生從分?jǐn)?shù)意義的角度直觀理解分?jǐn)?shù)加、減、乘、除運(yùn)算的法則。比如，理解同分母分?jǐn)?shù)加法法則，學(xué)生借助圖形得出+=后，教師提出問(wèn)題，分母為什么是8？分子為什么是4？解決這兩個(gè)問(wèn)題，就要運(yùn)用形的直觀感知3個(gè)和1個(gè)相加，結(jié)果是（3+1）個(gè)，即，再引導(dǎo)學(xué)生從分?jǐn)?shù)的意義直觀理解分母是8，分子是3+1的算理。把這樣的方法類比到任意兩個(gè)同分母分?jǐn)?shù)相加，豐富學(xué)生以形理解“分母不變、分子相加”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而抽象出同分母加法的計(jì)算法則。

小學(xué)生的思維以直觀形象思維為主，理解運(yùn)算法則中每一個(gè)數(shù)或每一步的算理時(shí)，通常是化抽象為直觀，突出數(shù)與形的對(duì)應(yīng)，逐漸體會(huì)以形理解數(shù)或算理的學(xué)習(xí)方法。

四、分析共性，歸納概括

歸納是特殊到一般的推理形式。小學(xué)數(shù)學(xué)一般采用不完全歸納，依據(jù)一類事物中部分對(duì)象的相同性質(zhì)推出該類事物都具有這種性質(zhì)的一般結(jié)論的推理方法。在計(jì)算中，歸納一般表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：

一是讓學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過(guò)程中學(xué)習(xí)歸納的方法。前面講到列加法豎式，在操作感知的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生分析5和2都寫在個(gè)位上，抽象出都寫在相同的數(shù)位——個(gè)位上，且要對(duì)齊寫;3和3都寫在十位上，抽象出都寫在相同的數(shù)位——十位上，同樣要對(duì)齊寫。此時(shí)，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同的本質(zhì)屬性，所寫的數(shù)位是“相同”的，且要對(duì)齊寫，自然歸納出相同數(shù)位要對(duì)齊這一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論。二是學(xué)生既要從某類事物個(gè)別對(duì)象中發(fā)現(xiàn)其共同的因素，也要發(fā)現(xiàn)對(duì)象之間的聯(lián)系，在廣泛的聯(lián)系中突出事物的本質(zhì)特征。

如，“多位數(shù)乘一位數(shù)”不僅要從整體上分析每一個(gè)例題的重、難點(diǎn)，同時(shí)還要理解例題之間的內(nèi)在聯(lián)系，便于更好地歸納出多位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算法則。

學(xué)習(xí)例1時(shí)，重點(diǎn)表達(dá)用第二個(gè)因數(shù)分別去乘第一個(gè)因數(shù)的個(gè)位、十位、百位，再把兩次或三次乘的積相加，在表達(dá)中感悟出依次、每一位的含義。

學(xué)習(xí)例2、例3時(shí)，重點(diǎn)表達(dá)個(gè)位滿幾十向十位進(jìn)幾、十位滿幾十向百位進(jìn)幾，百位滿幾十向千位進(jìn)幾的方法，在表達(dá)中感悟哪一位、前一位的含義。

通過(guò)表達(dá)，突出每一個(gè)詞的含義，突出計(jì)算的基本步驟和要點(diǎn)，學(xué)生就能歸納概括出多位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算法則。

計(jì)算中融入基本的數(shù)學(xué)思想方法，不僅能夠提高學(xué)生的運(yùn)算能力，更重要的是豐富了學(xué)生用轉(zhuǎn)化、類比、數(shù)形結(jié)合、歸納等方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生邏輯思維的發(fā)展，真正體現(xiàn)計(jì)算育人的價(jià)值。