受激并車弧齒錐齒輪系統(tǒng)兩參量平面上解域界結(jié)構(gòu)

林何 洪靈 江俊 胥光申

摘要： 為掌握齒輪系統(tǒng)激振參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響規(guī)律，建立了考慮多種激勵的并車弧齒錐齒輪系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型。應(yīng)用胞映射（CMM）與區(qū)域離散分解技術(shù)（DDM）構(gòu)建并數(shù)值求解了多組兩參量平面上的解域界結(jié)構(gòu)，算法基于吸引子在Poincaré截面上的點映射準(zhǔn)則。通過分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)等分析了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性，結(jié)果表明，嚙合頻率分岔路徑上外加誤差激勵可使分岔中的部分周期分支收縮和轉(zhuǎn)變。求解了阻尼比和綜合傳動誤差分別與其他參數(shù)配置下的解域界演變，解析出周期域、混沌帶與邊界胞等分布特征，確定了目標(biāo)參數(shù)域中周期分岔全局覆蓋性態(tài)，通過最大Lyapunov指數(shù)和Poincaré映射驗證了解域界算法中各態(tài)子域胞集的有效性。

關(guān)鍵詞： 非線性振動; 并車弧齒錐齒輪; 胞映射; 區(qū)域離散分解; 解域界

中圖分類號： O322; TH113.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號： 1004-4523（2021）05-1020-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.05.016

引 言

齒輪裝置在運轉(zhuǎn)中常伴隨著多樣化的內(nèi)、外部激勵，這些激勵的強度與系統(tǒng)振動響應(yīng)特性息息相關(guān)，因而對齒輪系統(tǒng)振動規(guī)律與參數(shù)配置間作用機制研究具有實際指導(dǎo)意義[1]。相比常規(guī)齒輪傳動，并車弧齒錐齒輪具有多嚙合副同時工作，構(gòu)型緊湊的特點，可實現(xiàn)高速大功率與重載高傳動比應(yīng)用，因而在航空、艦船與風(fēng)電等動力分配要求高的場合受到青睞，如黑鷹UH?60A型直升機主減中即采用了并車弧齒錐齒輪構(gòu)型[2?3]。在對其動力學(xué)研究中，相空間解的問題受到了學(xué)者們的較多重視，同樣，掌握激振參數(shù)下豐富的解域構(gòu)造與解域趨勢對系統(tǒng)穩(wěn)定控制與全局優(yōu)化、預(yù)測同樣意義顯著，亦逐漸受到關(guān)注[4?6]。

通常分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)可對多源激勵從獨立維度離散解析，而多參量層面揭示則略顯不足與低效。解域界研究基于胞映射思想對參數(shù)空間胞化求解，將同狀態(tài)胞參數(shù)歸入同一域內(nèi)，域與域間分界為域邊界，胞映射（Cell Mapping Method， CMM）是由Hsu提出的[7]，經(jīng)后期改進(jìn)發(fā)展出諸多版本，較典型的如插值胞映射（ICM）和廣義胞映射圖論法（GCMD）等。劉曉君等[8]在GCMD基礎(chǔ)上還提出拓展廣義胞映射法（EGCM），并成功應(yīng)用在分?jǐn)?shù)階Duffing系統(tǒng)全局域邊界激變和內(nèi)部激變研究中。為規(guī)避齒輪系統(tǒng)的混沌問題，文獻(xiàn)[9?10]借助Melnikov原理在不同參數(shù)空間追蹤了時變直齒輪模型下全局同宿分岔臨界值和混沌遷移，從數(shù)值仿真上驗證了參數(shù)域分析的優(yōu)勢。Gou等[11]采用簡單胞映射與逃逸時間算法針對扭振齒輪副模型進(jìn)一步在參數(shù)域平面上得到周期吸引子域分形結(jié)構(gòu)，并揭示了同宿或異宿軌道是由不同周期軌跡交匯引起的。文獻(xiàn)[12?14]還從全局解域角度研究了多類非自治系統(tǒng)中內(nèi)嵌的Wada域、瞬胞集與混沌散射（chaotic scattering）等深層物理現(xiàn)象。Liu等[15]較早地嘗試以參數(shù)胞區(qū)域分解方式對弾性輻板齒輪系統(tǒng)進(jìn)行解域界研究，基于域界區(qū)指導(dǎo)了系統(tǒng)混沌響應(yīng)激振控制。此外，齒輪系統(tǒng)動力學(xué)參數(shù)解域界構(gòu)造，兼顧宏觀與微觀層面對系統(tǒng)振動演化廣泛研判，從二維或多維視角靈活統(tǒng)籌，詳盡解析相胞穩(wěn)態(tài)域在解域界內(nèi)的Poincaré映射集，在多參數(shù)下持續(xù)遍歷受激胞元信息，反饋出分岔集、窗口帶、臨界值及敏感域等;反之，特定需求下亦可快速尋找定位其主導(dǎo)激勵振源，甚至關(guān)鍵誘導(dǎo)值域，進(jìn)而避開混沌或噪聲復(fù)雜區(qū)間，特別對系統(tǒng)初期動載設(shè)計及參數(shù)全局優(yōu)化意義顯著。

本文建立了并車弧齒錐齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型，在一維參數(shù)域中對比分析了兩種參數(shù)協(xié)同作用下嚙合振動中分岔分支的斷裂收縮行為及分岔節(jié)點的轉(zhuǎn)移。面對嚙合傳動誤差和阻尼比等主要動力學(xué)參數(shù)構(gòu)建了多組解域界，從不同維度數(shù)值模擬激勵參數(shù)的全局性態(tài)和相互耦合狀況，同時為多源激勵優(yōu)化明確目標(biāo)周期態(tài)下的參數(shù)值域交集提供了一種思路，最后提取相關(guān)參數(shù)胞值利用最大Lyapunov指數(shù)驗證了解域界的準(zhǔn)確性。

1 動力學(xué)建模與振動方程

圖1中設(shè)系統(tǒng)為正交嚙合副，為90°，兩處齒輪副呈幾何對稱，不考慮齒面摩擦;各齒輪單元，和視為剛體;動力學(xué)建模時考慮各齒輪橫向和軸向振動，對嚙合副處計入齒側(cè)間隙與綜合傳動誤差的影響。首先進(jìn)行受力分析，分別建立主動輪，坐標(biāo)系和，從動齒輪坐標(biāo)系，將嚙合力分解于各坐標(biāo)軸，和（）上，分別記為，和，各分力由節(jié)錐角、法向壓力角和齒寬中點螺旋角可計算出。定義，間嚙合副為;，間的嚙合副為。各齒輪在，和（）支撐上的剛度和阻尼分別記為和（; ）。，和分別為各齒輪轉(zhuǎn)動慣量，，和分別為扭轉(zhuǎn)方向的振動角位移，（）為輸入轉(zhuǎn)矩，為輸出轉(zhuǎn)矩。

圖1中主動輪齒數(shù)均為23，從動輪齒數(shù)為78;和均為左旋，為右旋;螺旋角均為35°，各齒輪法向模數(shù)mn均為4.25 mm，法向壓力角均為20°，其他參數(shù)如表1所示。

根據(jù)牛頓力學(xué)定律建立各齒輪單元振動微分方程，主動弧齒錐齒輪和的振動方程為

式中 表示中各坐標(biāo)軸上的振動向中相對位移上的投影;表示中各坐標(biāo)軸上的振動向的相對位移上的投影;和分別表示坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸上的振動位移分別向和的相對位移上的投影。

式（9），（10）經(jīng)變量代換，剛體位移消除后系統(tǒng)總自由度數(shù)目減為11個，相應(yīng)生成新的廣義坐標(biāo)矢量為

并車弧齒錐齒輪傳動系統(tǒng)無量綱動力學(xué)微分方程矩陣形式為

最后，采用變步長Runge?Kutta法求解式（11）。

2 解域界求解基礎(chǔ)

對存在多個控制參數(shù)的非自治微分方程系統(tǒng)，其模型可描述為

當(dāng)控制參數(shù)變化時，系統(tǒng)響應(yīng)隨之改變，為分析激勵與響應(yīng)間的關(guān)聯(lián)機制，將一維分岔思想擴展為空間平面上的離散。二維域則由兩個參數(shù)在x和方向構(gòu)造的平面域，參數(shù)胞為（; ）。其中和分別代表起點與終點，和分別為離散胞在x，方向的尺度。鑒于矩形胞單元尺寸均勻性好，將參數(shù)域劃分為個矩形規(guī)則胞元，胞與胞間彼此毗鄰。同一域內(nèi)劃分的胞數(shù)目越多則胞的尺寸越小、精度越高，當(dāng)某一維度上的胞數(shù)目為個時，那么在該維度上的胞尺度為

某一維度上胞序列為，將各胞下相軌跡在Poincaré截面上映射截斷，由吸引子狀態(tài)判定參數(shù)胞解域界歸屬，判定準(zhǔn)則為

式中 表示映射法則，為周期值，若時映射關(guān)系仍不滿足，則表明胞為混沌參數(shù)胞。

式（18）中，如果小于給定的正數(shù)（1.010-2），那么可認(rèn)為點集和歸屬相同狀態(tài)吸引子，落在相同解域內(nèi)。

3 分岔通道與解域界

3.1 分岔通道

圖2為一維參數(shù)和E下位移的分岔行為與分岔點位置變化。由圖2（a）可知，E=28時，出現(xiàn)了分別位于0.917，0.935和0.951處的三個分岔點。在[0.9， 0.954]范圍內(nèi)系統(tǒng)完全處于周期態(tài)運行，同時此段過程在2周期分支上發(fā)生跳躍式斷裂，破裂造成原分支后半部無征兆性收縮，在進(jìn)入P1（1周期）前一直維持兩條分支，因位移隨之突變，表明在0.935點誘發(fā)激變導(dǎo)致嚙合副產(chǎn)生碰撞不穩(wěn)定。此后當(dāng)1周期發(fā)展到時系統(tǒng)步入一段持續(xù)混沌期。由圖2（b），（c），（d）可見，隨著E的增大，在[0.935， 0.951]期間，P2因受抑制而衰弱，同時在時振動越來越無規(guī)則，E為29時2周期退化愈加明顯，直至E=30時右側(cè)P2分支已完全消失，取而代之的是振動短暫恢復(fù)單周期。整體上分岔點在軸上隨P2上下分支收縮而移動，在綜合誤差和嚙合頻率共同作用下系統(tǒng)混沌屬性持續(xù)增強，二者共同作用時在一定范圍可抑制多周期振動，但達(dá)到某一臨界值后又將加劇系統(tǒng)混沌響應(yīng)。

3.2 綜合傳動誤差-剛度波動系數(shù)解域界

圖3中取有限域，各維度上胞數(shù)目細(xì)分為401，解域界內(nèi)規(guī)則矩形胞總數(shù)為4012，可知胞在誤差和間隙域上尺度分別為2.24×10-4和4.0×10-3。參數(shù)平面域內(nèi)含3個動力學(xué)解子域，即P1解域，P4解域和混沌（Chaotic）解域。整體上P1域內(nèi)嵌于混沌域中形成數(shù)個周期窗口，邊界清晰，E變化時系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)換頻繁。部分主要為P4解域，從維度上對比E和知在該解域界內(nèi)誤差參數(shù)的改變引起系統(tǒng)狀態(tài)的變化更顯著。同時，圖4揭示了各解域邊界形態(tài)，邊界胞代表狀態(tài)響應(yīng)切換點處激勵參數(shù)的臨界值，即分岔節(jié)點，具有實際參考意義，因為相鄰解域狀態(tài)在此處遷移或突變，在全局域上勾畫出分岔集演化規(guī)律。

3.3 嚙合頻率-綜合傳動誤差解域界

圖5揭示存在復(fù)雜區(qū)解域交錯現(xiàn)象，參數(shù)域內(nèi)同時存在P1，P2，P3和混沌胞元類型，主要是分散P3胞誘發(fā)不穩(wěn)定吸引子在混沌域邊界附近造成該區(qū)域動態(tài)性質(zhì)復(fù)雜，暗示齒輪振動此時對誤差和嚙合頻率組合的解域較敏感，激勵間相互耦合影響，參數(shù)設(shè)計時應(yīng)主動避開該不規(guī)則域。P1，P2胞占據(jù)整個平面中大部分區(qū)域，混沌域形成二者隔離區(qū)。P1胞域左右兩側(cè)均存在，在E從2.5減小為1.2過程中，P1過渡到P2期間出現(xiàn)周期加倍行為。隨著誤差的持續(xù)減小，P2過渡中出現(xiàn)P3胞和混沌胞雜亂交錯帶，聚集在[0.76， 0.8]附近，可視該局部為不穩(wěn)定區(qū)，進(jìn)入P1域干涉現(xiàn)象減弱，敏感參數(shù)區(qū)通常預(yù)示著動態(tài)特性的振蕩。部分邊界胞還揭示了系統(tǒng)可從P1態(tài)直接跨入混沌未經(jīng)歷周期倍化。圖6中由圖5結(jié)果分別取為三組不同參數(shù)歷經(jīng)了誤差變化下的最大Lyapunov指數(shù)，三組演化趨勢驗證了解域界參數(shù)胞區(qū)的有效性。

3.4 阻尼比-綜合傳動誤差解域界

圖7對指導(dǎo)或?qū)ふ易罴逊植砺窂揭饬x顯著，隨著減小，混沌解域占據(jù)主導(dǎo)因素，倍周期分岔依次經(jīng)歷P2，P4，P8和P16等窗口。特別指出僅少量P16胞散落于混沌前邊界處（如圖8所示），對高周期胞數(shù)量與位置分析可知，倍周期分岔時高周期窗口呈快速收縮態(tài)勢，且對激擾參數(shù)極其敏感，精密揭示需對目標(biāo)區(qū)做更細(xì)密地離散，那么計算資源消耗將劇增。值越小系統(tǒng)不穩(wěn)定振動風(fēng)險越大，同時，目標(biāo)域內(nèi)參數(shù)胞集聚分布特性構(gòu)成映射子域更有助于指導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)的優(yōu)化與控制。圖9從中取3個獨立胞元（0.1， 0.35），（0.3， 0.35）和（0.4， 0.35），由Runge?Kutta法求解進(jìn)一步驗證了Poincaré截面信息分別為Chaotic，P4和P2狀態(tài)。

為揭示多源激勵下對系統(tǒng)性態(tài)影響的分布和關(guān)聯(lián)傾向，構(gòu)建了圖10所示誤差和間隙分別與阻尼比的P4解域界，整體各維度胞數(shù)目均為401，以整個區(qū)域內(nèi)特定胞數(shù)量占比衡量對響應(yīng)狀態(tài)的敏感度S，即S=ni/N，ni表示狀態(tài)為i的胞數(shù)量，N為總的胞數(shù)目。其中[0.05， 0.45]，中P4占比16.67%，下P4占比20.21%，故此時系統(tǒng)對域內(nèi)P4狀態(tài)敏感傾向強于域。該思路為多源激勵不同參數(shù)下的全局動態(tài)設(shè)計和優(yōu)化提供了借鑒。

4 結(jié) 論

將胞映射與區(qū)域分解思想引入齒輪系統(tǒng)多源激勵全局研究中，通過胞域離散賦值求解了目標(biāo)參數(shù)區(qū)解域界結(jié)構(gòu)，相較單維分岔而言，從更廣泛角度對引起并車弧齒錐齒輪響應(yīng)性態(tài)的激振因素進(jìn)行了解析。

（1）構(gòu)建了二維參數(shù)胞區(qū)域離散與解域界求解判定準(zhǔn)則，在嚙合頻率分岔路徑上綜合傳動誤差可迫使分岔通道中部分周期分支斷裂、收縮及軌道遷移。

（2）在綜合傳動誤差分別與嚙合頻率和剛度波動系數(shù)的解域界中，得到分岔集、混沌帶、邊界胞和敏感激變參數(shù)區(qū)，應(yīng)用最大Lyapunov指數(shù)追蹤驗證了解域界中分岔區(qū)間的演化路徑。

（3）阻尼比下解域界中存在倍周期分岔集區(qū)，隨著阻尼比減小，高周期窗口快速收窄，P8和P16域界異常狹窄或離散分布且參數(shù)敏感性增強，Poincaré映射點集證實了參數(shù)胞值的準(zhǔn)確性，最后從參數(shù)胞域性態(tài)全局占比角度為多源激勵動態(tài)設(shè)計與優(yōu)化提供了思路。

參考文獻(xiàn)：

[1] 向 玲， 高 楠， 唐 亮， 等. 支承剛度變化下風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性[J]. 振動與沖擊， 2019， 38（1）： 111-117.

Xiang Ling， Gao Nan， Tang Liang， et al. Nonlinear dynamic characteristics of wind turbine gear transmission system with varying support stiffness [J]. Journal of Vibration and Shock， 2019， 38（1）： 111-117.

[2] 魏 靜， 王剛強， 秦大同， 等. 考慮修形的斜齒輪系統(tǒng)非線性激勵與動力學(xué)特性研究[J]. 振動工程學(xué)報， 2018， 31（4）：561-572.

Wei Jing， Wang Gangqiang， Qin Datong， et al. Nonlinear excitation and dynamic characteristics of helical gear system with considering modification [J]. Journal of Vibration Engineering， 2018， 31（4）：561-572.

[3] Kahraman A， Singh R. Non-linear dynamics of a spur gear pair[J]. Journal of Sound & Vibration， 1990， 142（1）：49-75.

[4] Roozegar M， Angeles J. A two-phase control algorithm for gear-shifting in a novel multi-speed transmission for electric vehicles[J]. Mechanical Systems & Signal Processing， 2018， 104：145-154.

[5] 徐 偉， 岳曉樂， 韓 群. 胞映射方法及其在非線性隨機動力學(xué)中的應(yīng)用[J]. 動力學(xué)與控制學(xué)報， 2017，15（3）：200-208.

Xu Wei， Yue Xiaole， Han Qun. Cell mapping method and its applications in nonlinear stochastic dynamical systems[J]. Journal of Dynamics and Control， 2017， 15（3）： 200-208.

[6] 李自剛， 李明， 江俊. 交角不對中轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)非線性動力學(xué)行為研究[J]. 振動工程學(xué)報， 2019， 32（3）：509-515.

Li Zigang， Li Ming， Jiang Jun. Nonlinear dynamics of rotor-bearing systems with a fault of angular misalignment[J].Journal of Vibration Engineering， 2019， 32（3）：509-515.

[7] Hsu C S. Global analysis of dynamical systems using posets and digraphs[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos， 1995， 5（4）：1085-1118.

[8] 劉曉君， 洪 靈， 江 俊. 非自治分?jǐn)?shù)階Duffing系統(tǒng)的激變現(xiàn)象[J]. 物理學(xué)報， 2016， （18）： 231-238.

Liu Xiaojun， Hong Ling， Jiang Jun. Crises in a non-autonomous fractional-order Duffing system[J]. Acta Physica Sinica， 2016， （18）： 231-238.

[9] Farshidianfar A， Saghafi A. Global bifurcation and chaos analysis in nonlinear vibration of spur gear systems[J]. Nonlinear Dynamics， 2014， 75（4）： 783-806.

[10] Saghafi A， Farshidianfar A. An analytical study of controlling chaotic dynamics in a spur gear system[J]. Mechanism & Machine Theory， 2016， 96：179-191.

[11] Gou Xiangfeng， Zhu Lingyun， Chen Dailin. Bifurcation and chaos analysis of spur gear pair in two-parameter plane[J]. Nonlinear Dynamics， 2015， 79（3）：2225-2235.

[12] Gritli H， Belghith S， Khraief N. Cyclic-fold bifurcation and boundary crisis in dynamic walking of biped robots[J]. International Journal of Bifurcation & Chaos， 2012， 22（10）： 1?17.

[13] Liu Xiaoming， Jiang Jun， Hong Ling， et al. Studying the global bifurcation involving Wada boundary metamorphosis by a method of generalized cell mapping with sampling-adaptive interpolation[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos， 2018， 28（2）： 1?19.

[14] Liu Xiaoming， Jiang Jun， Hong Ling， et al. Wada boundary bifurcations induced by boundary saddle-saddle collision[J]. Physics Letters A， 2018， 383（2-3）：170-175.

[15] Liu Haixia， Wang Sanmin， Guo Jiashun， et al. Solution domain boundary analysis method and its application in parameter spaces of nonlinear gear system[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering， 2011， 24（3）： 507-513.

作者簡介： 林 何（1985-），男，副教授。電話：15891736934;E-mail： linhe@xpu.edu.cn

通訊作者： 胥光申（1964-），男，教授。電話：（029）62779109;E-mail： xugs988@126.com