相關(guān)熵和雙譜分析齒輪故障診斷研究

李輝 郝如江

摘要： 相關(guān)熵為高斯、非高斯噪聲處理的一種有效方法，針對強高斯噪聲和非高斯噪聲干擾下齒輪故障診斷問題，提出了一種基于相關(guān)熵和雙譜的齒輪故障診斷方法。該方法綜合利用高斯核函數(shù)和不完全Cholesky分解算法計算信號的相關(guān)熵，然后再計算相關(guān)熵的雙譜，根據(jù)相關(guān)熵的雙譜特征識別齒輪故障。通過不完全Cholesky分解算法計算信號的相關(guān)熵，不僅大大壓縮了數(shù)據(jù)量，突出了齒輪故障特征，而且提高了計算效率。通過仿真和齒輪磨損故障振動信號分析結(jié)果表明：強背景噪聲會造成傳統(tǒng)雙譜故障診斷方法失效，而基于相關(guān)熵和雙譜分析的齒輪故障診斷方法，能在強噪聲干擾背景中提取齒輪的故障特征準(zhǔn)確識別齒輪故障，其性能優(yōu)于傳統(tǒng)雙譜和小波變換域雙譜，為一種有效的齒輪故障診斷方法。

關(guān)鍵詞： 故障診斷; 齒輪; 信號處理; 相關(guān)熵; 雙譜

中圖分類號： TH165+.3; TH132.41; TN911.72 文獻標(biāo)志碼： A 文章編號： 1004-4523（2021）05-1076-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.05.022

引 言

齒輪是機械傳動中最重要、最常用的零件之一，齒輪的健康狀態(tài)是保證機械傳動正常運行的重要因素，因此，基于振動信號的齒輪狀態(tài)監(jiān)測是一個廣泛研究的課題[1?2]。當(dāng)齒輪出現(xiàn)表面點蝕、齒根裂紋、斷齒等故障時，使得振動信號產(chǎn)生復(fù)雜的幅值、相位調(diào)制現(xiàn)象，不僅具有非線性、非高斯信號特征，而且往往包含大量的背景噪聲，將齒輪故障特征淹沒，這些因素加大了齒輪故障診斷的難度。振動信號的非線性、非高斯特征使傳統(tǒng)基于信號二階統(tǒng)計量的方法，如相關(guān)分析、功率譜分析等性能衰退，甚至失效[3?4]?；谛盘柛唠A統(tǒng)計量的信號處理方法，如雙譜[5?6]、切片雙譜[7]、倒雙譜[8]、循環(huán)雙譜[9?11]、高階譜[12]分析等則在非線性、非高斯信號處理方面有著獨特優(yōu)勢，已廣泛應(yīng)用于齒輪故障特征識別，取得了良好效果。鄭海波等[13]研究了汽車變速箱齒輪振動信號的雙譜和雙相干譜特征，并利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)成功將齒輪正常信號、磨損信號和斷齒信號進行了分類。周雁冰等[14]針對裂紋故障導(dǎo)致齒輪振動信號非高斯性變化的特點，提出了基于雙譜熵的齒輪裂紋故障特征提取方法。程軍圣等[15]綜合利用基于B樣條的局部特征尺度分解方法和雙譜分析識別齒輪裂紋故障。李學(xué)軍等[16]綜合利用聚類分析和雙譜技術(shù)實現(xiàn)了對齒輪正常、齒面點蝕、斷齒的模式識別與故障診斷。

齒輪故障振動信號呈周期性重復(fù)沖擊和復(fù)雜調(diào)制的特點，具有明顯的非平穩(wěn)、非線性、非高斯特點。雙譜是分析高斯信號的有力工具，理論上能完全抑制高斯噪聲，但對非高斯類噪聲卻無能為力，信號中存在非高斯噪聲會對雙譜造成干擾。因而在強非高斯噪聲背景下，基于傳統(tǒng)雙譜的齒輪故障特征提取方法難以取得理想效果。相關(guān)熵是處理非高斯噪聲的有效方法，已在雷達和通信信號檢測、信號濾波、波達方向估計和時延估計等方面得到應(yīng)用和驗證，取得了良好效果[17?19]。盡管相關(guān)熵方法在通信領(lǐng)域的應(yīng)用已經(jīng)展開，但在機電設(shè)備故障診斷領(lǐng)域的應(yīng)用還未涉及。本文針對傳統(tǒng)雙譜難以有效處理強非高斯噪聲干擾的問題，綜合利用相關(guān)熵和雙譜的優(yōu)點，提出了基于相關(guān)熵和雙譜的齒輪故障診斷方法。該方法綜合利用高斯核函數(shù)和不完全Cholesky分解算法計算信號的相關(guān)熵，然后再計算相關(guān)熵的雙譜，根據(jù)相關(guān)熵的雙譜特征識別齒輪故障，并利用仿真信號和齒輪故障實驗信號驗證了該方法的有效性和可靠性。

1 基礎(chǔ)理論

1.1 相關(guān)熵

2006年，美國佛羅里達大學(xué)Principe教授研究團隊，在綜合利用再生核和信息理論學(xué)習(xí)（IDL）方法的基礎(chǔ)上，首次提出了相關(guān)熵（Correntropy）的概念[17]。

對于任意兩個隨機變量，它們的互相關(guān)熵（廣義相關(guān)函數(shù)）可定義為

式（4）是相關(guān)熵的漸進無偏估計，因為由式（3）表示的高斯核函數(shù)是正定的Mercer核函數(shù)，因此由式（4）表示的相關(guān)熵是一個正定的對稱函數(shù)。

若直接利用式（4）計算相關(guān)熵，需要先計算核矩陣（以下簡寫為核矩陣），核矩陣是一個的半正定對稱矩陣，當(dāng)較大時，計算核矩陣不僅計算效率低，而且占用計算機內(nèi)存很大。因此，本文利用不完全Cholesky分解（Incomplete Cholesky Decomposition， ICD）算法計算信號的相關(guān)熵。

1.2 不完全Cholesky分解

根據(jù)矩陣Cholesky分解理論，任何的正定對稱矩陣，均可表示為

式中 是一個的下三角矩陣。

在實際數(shù)據(jù)處理中，當(dāng)核矩陣的特征值下降很快時，則可以用一個（）的下三角矩陣逼近，即

式中 是一個任意小的整數(shù)，是合適的矩陣范數(shù)。

式（6）稱為矩陣的不完全Cholesky分解。當(dāng)時，將大大減小計算量。在實際應(yīng)用時，可以不必求出核矩陣的所有元素，再利用式（6）計算，而是采用貪婪算法逐步計算，具體算法可參考文獻[20]，其空間復(fù)雜性為，時間復(fù)雜性為，因此，當(dāng)時，利用不完全Cholesky分解計算相關(guān)熵，將大大提高計算速度，降低計算機內(nèi)存占用量。

1.3 基于歸一化能量的矩陣降維

在下三角矩陣中，的各列向量按矩陣的特征值大小降序排列。為進一步降低數(shù)據(jù)的復(fù)雜性，剔除噪聲影響，突出齒輪故障特征，本文通過歸一化能量方法進一步剔除冗余的列向量。下三角矩陣每一列向量的歸一化能量可表示為

設(shè)置閾值為，在下三角矩陣中刪除的列，這樣下三角矩陣的列數(shù)將縮減為，進一步降低了數(shù)據(jù)冗余度，壓縮了數(shù)據(jù)量，突出了齒輪故障特征。

1.4 雙譜估計

假設(shè)是零均值的平穩(wěn)隨機過程，其三階累積量可表示為

從式（9）可以看出雙譜是變量和的函數(shù)。

根據(jù)雙譜的性質(zhì)，若平穩(wěn)隨機過程和統(tǒng)計獨立，則隨機過程+的雙譜為+。因此，使用雙譜分析可以有效抑制齒輪故障振動信號中的高斯噪聲，有效突出齒輪轉(zhuǎn)頻及其諧波、齒輪嚙合頻率及其諧波等非高斯成分。

雙譜估計有直接法和間接法兩種，本文采用直接法計算信號的雙譜[8]。

2 基于相關(guān)熵和雙譜分析的齒輪故障診斷步驟

①根據(jù)式（2）和式（6）計算信號核矩陣的不完全Cholesky分解，求出下三角矩陣;

②根據(jù)式（7）將下三角矩陣的列數(shù)縮減為;

③根據(jù)式（5）計算核矩陣;

④根據(jù)式（4）計算信號相關(guān)熵;

⑤根據(jù)式（8）和（9）計算相關(guān)熵的雙譜;

⑥根據(jù)雙譜的頻譜結(jié)構(gòu)識別齒輪故障。

3 仿真驗證

齒面點蝕、剝落和裂紋是齒輪中的典型故障，伴隨著這些故障的產(chǎn)生，齒輪箱的嚙合振動也隨之發(fā)生變化，故障齒輪的轉(zhuǎn)頻對嚙合振動的調(diào)制作用也會逐步加強，導(dǎo)致調(diào)制邊頻帶的數(shù)量增加和形狀的改變，因此，齒輪故障診斷通常以齒輪某階嚙合頻率附近的窄帶信號為研究對象，根據(jù)齒輪調(diào)制邊頻帶的變化情況，識別齒輪的健康狀態(tài)。其振動信號模型可表示為[1]

式中 為齒輪的第m階嚙合頻率;為第階嚙合頻率諧波分量的初相位;為第階嚙合頻率諧波分量的幅值調(diào)制函數(shù)

式中 為幅值調(diào)制指數(shù)，即幅值調(diào)制函數(shù)的第階分量的幅值;為幅值調(diào)制函數(shù)的第階分量的初相位;為齒輪軸的轉(zhuǎn)動頻率。為第階嚙合頻率諧波分量的相位調(diào)制函數(shù)，且

式中 為調(diào)制指數(shù)，即相位調(diào)制函數(shù)的第階分量的幅值;為相位調(diào)制函數(shù)的第階分量的初相位。

根據(jù)以上分析可知，故障齒輪的激勵信號往往表現(xiàn)為齒輪回轉(zhuǎn)頻率對嚙合頻率及其倍頻的調(diào)制，在譜圖上形成以嚙合頻率為中心、等間隔分布的邊頻帶。一般情況下，齒輪箱中發(fā)生故障齒輪的軸頻在調(diào)制成分中所占的比例較大。

某階嚙合頻率附近的窄帶信號為單一調(diào)制頻率、調(diào)幅和調(diào)頻共存的復(fù)雜調(diào)制信號，為驗證上述分析，依據(jù)式（10）模擬齒輪嚙合頻率附近的窄帶信號，假設(shè)只含有齒輪第1階嚙合頻率，調(diào)制頻率為軸頻及其2，3倍頻。將式（10）簡化為

式中 為零均值高斯噪聲;為脈沖噪聲。取 Hz， Hz，信號采樣點數(shù)，信號采樣頻率 Hz，通過該齒輪仿真信號，驗證提出方法的有效性。

圖1（a）和圖1（b）分別為仿真信號的時域波形和FFT，可以清晰看到信號在頻域內(nèi)圍繞齒輪嚙合頻率形成邊頻帶簇，邊頻帶的間隔為齒輪軸的轉(zhuǎn)頻。

圖2為仿真信號相關(guān)熵（）的雙譜，從圖2中的雙頻平面內(nèi)可以清晰看到在，以及等6條直線的交點處，圍繞齒輪嚙合頻率形成邊頻帶簇，邊頻帶的間隔為齒輪軸的轉(zhuǎn)頻。為了能清晰識別邊頻帶簇，圖3給出了在附近的局部放大圖，從圖3可以看出：以為中心，分布著齒輪軸的1階、2階邊頻帶，這種頻譜特征表明了齒輪的故障特征，與理論分析一致。

在仿真信號中加入零均值高斯噪聲，信噪比為 dB，之后再隨機加入幾個幅值不同的脈沖信號，以模擬非高斯脈沖噪聲，圖4（a）和圖4（b）分別為仿真信號的時域波形和FFT，由于仿真信號完全被強噪聲淹沒，因此從圖4（a）已完全看不出信號幅值的變化規(guī)律，從圖4（b）也不能識別齒輪的嚙合頻率及其邊頻帶。

根據(jù)第2節(jié)介紹的步驟，計算仿真信號的相關(guān)熵（）及其雙譜。仿真信號的相關(guān)熵如圖5所示，從圖5可以看出相關(guān)熵的時域波形呈現(xiàn)出幅值調(diào)制的特征，圖4（a）中幅值較大的脈沖噪聲已被完全抑制，相關(guān)熵只保留了信號中的周期成分。仿真信號相關(guān)熵的雙譜如圖6和圖7所示，從圖6和7可以看出，在強高斯噪聲和非高斯噪聲的影響下，基于相關(guān)熵的雙譜仍然能夠識別齒輪的故障特征，圖2中的點狀邊頻帶譜峰變成圖6中的直線分布，，以及等6條頻譜線兩側(cè)的邊頻帶呈直線分布，清晰可見，在這6條頻譜線兩側(cè)圍繞齒輪嚙合頻率形成邊頻帶簇譜線，邊頻帶譜線的間隔為齒輪軸的轉(zhuǎn)頻。圖8給出了在附近的局部放大圖，從圖8可以清晰看出：以為中心，分布著齒輪軸的1階、2階邊頻帶，由此可見，盡管在強噪聲干擾下，基于相關(guān)熵的雙譜仍然能準(zhǔn)確提取齒輪的故障特征。

為凸顯相關(guān)熵的降噪能力，將相關(guān)熵雙譜與傳統(tǒng)雙譜和基于小波閾值降噪雙譜[6]進行對比。圖9和10給出了利用直接法計算的仿真信號的雙譜，圖11和12為采用小波閾值降噪后信號的雙譜，從圖9?10和圖11?12可以看出，仿真信號的雙譜和小波閾值降噪后雙譜已完全被強噪聲淹沒，完全不能分辨齒輪的嚙合頻率及其邊頻帶簇。對比圖7和圖10，12，圖7中相關(guān)熵的雙譜噪聲方差較小，而圖10，12中噪聲方差依然很大?？梢姳M管雙譜對高斯噪聲具有一定的抑制能力，但當(dāng)信號中含有很強的高斯噪聲和非高斯噪聲時，雙譜也難以有效提取齒輪的故障特征。而小波閾值降噪方法在處理強噪聲干擾時，也難以取得理想的效果。

通過上述仿真信號可知：由于相關(guān)熵能有效抑制高斯噪聲和非高斯脈沖噪聲，因此基于相關(guān)熵的雙譜分析具有從強高斯噪聲和非高斯噪聲背景中提取齒輪故障特征的能力，基于相關(guān)熵的雙譜分析為高斯、非高斯噪聲的處理提供了一種嶄新的魯棒性解決方法。

4 齒輪故障診斷

齒輪箱振動信號采集系統(tǒng)可參考文獻[21]，齒輪箱輸入軸齒輪齒數(shù)=28，輸出軸齒輪齒數(shù)為，用人工方法將輸出軸齒輪上某一齒的嚙合線附近磨掉約0.4 mm，以模擬齒輪單齒磨損故障。實驗時采樣點數(shù)為2048，采樣頻率為16384 Hz，電機轉(zhuǎn)速為1473 r/min，因此輸入軸回轉(zhuǎn)頻率 Hz，輸出軸回轉(zhuǎn)頻率為 Hz， 齒輪1階嚙合頻率為 Hz。

圖13為齒輪箱輸出軸齒輪單個齒面磨損時齒輪箱箱體振動信號的時域圖及其FFT，從頻譜圖中能清晰看到齒輪1階、2階和3階嚙合頻率，但嚙合頻率兩側(cè)邊頻帶信息模糊。在圖13（b）中，齒輪的2階嚙合頻率呈現(xiàn)出最大的譜峰，表明齒輪箱2階嚙合頻率具有最大的振動能量。

為了驗證基于相關(guān)熵的雙譜分析在齒輪故障診斷中的有效性，根據(jù)本文提出的方法，計算齒輪磨損故障信號的相關(guān)熵的雙譜。圖14為根據(jù)式（6）計算信號核矩陣的不完全Cholesky分解求出的下三角矩陣各列的歸一化能量，矩陣的列數(shù)為82，從圖14可以看出，有些列向量的能量很小。因此，根據(jù)式（7）將下三角矩陣的列數(shù)縮減為32，由于降低了數(shù)據(jù)冗余度，壓縮了數(shù)據(jù)量，不僅提高了相關(guān)熵計算的速度，而且降低了噪聲影響，突出了齒輪故障特征。

圖15為齒輪故障振動信號的相關(guān)熵，從圖15可以看出相關(guān)熵的時域波形呈現(xiàn)出明顯的調(diào)制特征，說明相關(guān)熵能有效提取信號中的周期成分。圖16和17為齒輪故障振動信號相關(guān)熵的雙譜，從圖16和17可以看出，雙譜圖中的譜峰呈離散點狀分布，幾乎沒有受到噪聲的影響，基于相關(guān)熵的雙譜能夠準(zhǔn)確顯示齒輪的故障特征，以及等10條直線的交點處，圍繞齒輪嚙合頻率及其倍頻形成邊頻帶簇，邊頻帶的間隔為齒輪軸的轉(zhuǎn)頻。尤其在，和等位置附近具有顯著的邊頻帶譜峰，這種頻譜特征表明了齒輪的故障特征，同時也說明齒輪箱的2階嚙合頻率具有最大的振動能量，與圖13（b）FFT頻譜圖的計算結(jié)果一致。

為了進行對比，驗證本文提出方法的有效性，圖18和19給出了利用直接法計算的齒輪故障振動信號的雙譜，圖20和21為采用小波閾值降噪后信號的雙譜[6]。從圖18?19和圖20?21可以看出，在和等位置出現(xiàn)顯著的譜峰，表明齒輪1階嚙合頻率和2階嚙合頻率具有很強的非線性耦合，但齒輪故障振動信號的雙譜和小波閾值降噪后的雙譜已完全被強噪聲淹沒，難以準(zhǔn)確分辨齒輪嚙合頻率附近的邊頻帶，因而不能準(zhǔn)確提取齒輪的故障特征。

通過上述分析可以看出：相關(guān)熵具有抑制高斯噪聲和非高斯噪聲的能力，能有效提取齒輪故障信號中的周期沖擊成分;基于相關(guān)熵的雙譜綜合利用了相關(guān)熵和雙譜的優(yōu)點，能有效處理非線性、非高斯信號，具有很強的從強噪聲背景中提取齒輪故障特征的能力，因而基于相關(guān)熵的雙譜技術(shù)能有效提取齒輪故障的邊頻帶，能在雙頻平面內(nèi)很清晰地刻畫齒輪的故障特征，提高了齒輪故障診斷的可靠性和準(zhǔn)確性，為從強噪聲環(huán)境中提取齒輪故障特征的有效方法。

5 結(jié) 論

雙譜具有很強的消噪能力，理論上可以抑制高斯噪聲，但卻不能有效抑制非高斯噪聲的干擾。相關(guān)熵不僅能有效抑制高斯噪聲，而且能有效抑制非高斯噪聲，因此，相關(guān)熵為高斯、非高斯噪聲的處理提供了一種嶄新的魯棒性解決方法。綜合利用了相關(guān)熵和雙譜的優(yōu)點，提出了基于相關(guān)熵雙譜分析的齒輪故障診斷方法，并利用ICD對核矩陣進行降維，壓縮了數(shù)據(jù)量，突出了齒輪故障特征，提高了計算速度。仿真和齒輪磨損故障實驗結(jié)果表明：基于相關(guān)熵的雙譜分析技術(shù)，能有效提取淹沒在強噪聲環(huán)境中的微弱信號，提高了信噪比，為一種齒輪故障診斷的有效方法。

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作者簡介： 李 輝（1968-），男，博士，教授。電話： 15931170851; E-mail： huili68@163.com