Levinson矩形微板諧振器熱彈性阻尼解析解

李世榮 劉榮桂 武永

摘要： 基于Levinson高階剪切板理論，給出了四邊簡支微板諧振器熱彈性耦合自由振動(dòng)的復(fù)頻率以及板內(nèi)變溫場(chǎng)的精確解析解;由復(fù)頻率法給出了表征微板熱彈性阻尼的逆品質(zhì)因子;通過數(shù)值結(jié)果分析了Levinson微板的熱彈性阻尼隨幾何尺寸和振動(dòng)模態(tài)變化的規(guī)律，并與一階剪切變形理論和經(jīng)典板理論的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行了比較，分析了剪切變形對(duì)熱彈性阻尼的影響程度。數(shù)值結(jié)果表明，對(duì)于中厚板和厚板諧振器，經(jīng)典板理論預(yù)測(cè)的熱彈性阻尼值明顯大于剪切變形板理論的預(yù)測(cè)值。這是由于經(jīng)典板理論忽略了橫向剪切變形，從而過高地估計(jì)了微板的抗彎剛度。另外，在四邊簡支條件下，還給出了Mindlin微板和Levinson微板熱彈性阻尼預(yù)測(cè)值之間的比較。結(jié)果表明，Levinson高階剪切變形理論能夠更好地預(yù)測(cè)厚板諧振器的熱彈性阻尼。這是因?yàn)長evinson理論下的位移場(chǎng)能夠精確滿足上下表面應(yīng)力為零的條件，溫度場(chǎng)包含了厚度方向坐標(biāo)的高階項(xiàng)。

關(guān)鍵詞： 熱彈耦合振動(dòng); Levinson 板理論; 復(fù)頻率; 熱彈性阻尼; 解析解

中圖分類號(hào)： O343.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2021）05-1009-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.05.015

引 言

熱彈性阻尼（Thermoelastic Damping，TED）[1?3]是微/納諧振器所固有的內(nèi)部能耗機(jī)制，是結(jié)構(gòu)周期振動(dòng)時(shí)材料內(nèi)部熱?彈耦合變形引起的內(nèi)部阻尼。要想從理論上定量地計(jì)算微/納結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過程中的熱彈性阻尼，就需要基于熱?彈耦合動(dòng)力學(xué)理論建立結(jié)構(gòu)振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，通過聯(lián)立求解熱?彈耦合運(yùn)動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程獲得系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)，從而求得表征熱彈性阻尼的品質(zhì)因子[3?29]。TED與微結(jié)構(gòu)的材料性質(zhì)、幾何尺寸、支承條件以及環(huán)境溫度諸多因素密切相關(guān)。因此，定量地分析和預(yù)測(cè)TED對(duì)高品質(zhì)微/納諧振器的研究和設(shè)計(jì)具有重要意義。

很多微/納諧振器的力學(xué)模型都可以簡化為彈性梁、板構(gòu)件。已有的關(guān)于微/納板諧振器熱彈性阻尼數(shù)學(xué)模型在建立時(shí)，幾乎都采用了Kirchhoff經(jīng)典板理論[4?26，28?29]。文獻(xiàn)[4?15]研究了均勻各向同性材料彈性薄板諧振器的TED。Nayfeh 和Younis[4]采用攝動(dòng)法求解了引入剛度阻尼的振動(dòng)方程，獲得了受靜電載荷和殘余面內(nèi)應(yīng)力共同作用的矩形微板TED的近似解析解。Sun等[5?6]、Ali等[7]采用復(fù)頻率法分別研究了微圓和環(huán)板諧振器的熱彈耦合振動(dòng)響應(yīng)，給出了L?R[3]形式的熱彈性阻尼解析解。Salajeghe等[8]、Mohammadi 等[9]分別定量地分析了靜態(tài)幾何非線性大變形對(duì)微圓板和矩形微板諧振器TED的影響規(guī)律。Li等[10]和Fang等[11?12]分別采用一維、二維和三維熱傳導(dǎo)方程，利用能量方法求得了矩形和圓形薄板諧振器逆品質(zhì)因子解析解，分析了熱傳導(dǎo)方程的簡化對(duì)TED預(yù)測(cè)值精度的影響。最近，Ma等[13] 還基于二維熱傳導(dǎo)方程研究了具有初始徑向張力的軸對(duì)稱自由振動(dòng)微圓板的熱彈性阻尼。

基于廣義熱傳導(dǎo)理論，文獻(xiàn)[14?18]在理論上分析了熱傳導(dǎo)過程中的波動(dòng)和黏滯效應(yīng)對(duì)微/納板諧振器TED的影響。 Sharma等[14]基于Lord?Shulman理論分析了非軸對(duì)稱自由振動(dòng)圓板諧振器的TED。在此基礎(chǔ)上，Sharma和Grover[15]進(jìn)一步研究了由于空隙率變化而引起的延滯效應(yīng)對(duì)板式諧振器TED的影響。Guo等[16]采用雙向延滯廣義熱傳導(dǎo)模型求解得到了微圓板諧振器逆品質(zhì)因子的L?R[3]形式解析解。Grover [17]基于Kelvin?Voigt 材料模型下的廣義熱黏彈性理論定量地分析了機(jī)械松弛時(shí)間和熱松弛時(shí)間對(duì)微圓板諧振器逆品質(zhì)因子的影響。最近，Chugh 和Partap[18] 在微圓板諧振器的自由振動(dòng)模型中同時(shí)考慮熱松弛和微伸長（Microstretch）效應(yīng)，給出了TED的解析解，發(fā)現(xiàn)微伸長參數(shù)對(duì)臨界熱彈性阻尼值具有增強(qiáng)作用。

考慮材料性質(zhì)沿著厚度方向的階梯變化，部分學(xué)者研究了復(fù)合材料層合微/納板式諧振器的TED[19?26]，Bishop和 Kinra[19?20]開創(chuàng)了復(fù)合材料層合微板諧振器熱彈性阻尼的先河。他們考慮上下表面的邊絕熱條件和層間界面處的非完美協(xié)調(diào)條件，通過計(jì)算一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)由不可逆?zhèn)鳠崃鳟a(chǎn)生的總熱量與結(jié)構(gòu)的總彈性勢(shì)能之比，獲得了諧振器的逆品質(zhì)因子[19]解析解，并由此定量地分析了三層對(duì)稱鋪設(shè)矩形微板的TED[20]?；跍?zhǔn)一維熱傳導(dǎo)方程，Sun等[21]采用復(fù)頻率法求得了對(duì)稱鋪設(shè)的三層微圓板在軸對(duì)稱自由振動(dòng)模態(tài)下的逆品質(zhì)因子。采用與文獻(xiàn)[20]中相同的能量方法，Zuo等[22?23]研究了雙層和三層矩形微板的TED?？紤]溫度場(chǎng)在面內(nèi)的變化，Liu等[24?25]分別基于二維和三維熱傳導(dǎo)方程采用格林函數(shù)法求得了雙層微圓板和矩形微板在給定邊界條件下逆品質(zhì)因子級(jí)數(shù)形式的解析解。最近，Li等[26]還利用三維傳熱模型計(jì)算了四邊夾緊雙層矩形微板的熱彈性阻尼。這里需要說明的是，文獻(xiàn)[21?26]都是通過引入物理中面消去了拉?彎耦合，將面內(nèi)位移用撓度來表示。但是，當(dāng)材料性質(zhì)關(guān)于幾何中面不對(duì)稱時(shí)，非對(duì)稱的溫度場(chǎng)將會(huì)產(chǎn)生熱薄膜力，而上述簡化實(shí)際上忽略了熱薄膜力對(duì)熱彈性阻尼的貢獻(xiàn)[28?29]。

考慮材料性質(zhì)沿著厚度連續(xù)變化，文獻(xiàn)[27?29]研究了新型的功能梯度材料（Functionally Graded Materials， FGM） 微板的熱彈性耦合自由振動(dòng)響應(yīng)。與復(fù)合材料層合微板不同，材料性質(zhì)沿厚度連續(xù)變化的FGM微板的熱傳導(dǎo)方程為厚度方向坐標(biāo)的變系數(shù)微分方程，這將給方程求解在數(shù)學(xué)上帶來很大困難。Emami和Alibeigloo[27]采用單向耦合準(zhǔn)一維熱傳導(dǎo)理論和修正的應(yīng)變梯度理論，研究了材料性質(zhì)沿橫向冪函數(shù)變化的FGM Mindlin矩形微板的TED。通過將熱傳導(dǎo)方程的系數(shù)和溫度場(chǎng)同時(shí)展開成關(guān)于橫向坐標(biāo)的泰勒級(jí)數(shù)，將熱傳導(dǎo)方程轉(zhuǎn)化為一系列常系數(shù)的微分方程組，求得了變系數(shù)熱傳導(dǎo)方程的級(jí)數(shù)形式的近似解析解，進(jìn)而采用復(fù)頻率法計(jì)算出了四邊簡支FGM 矩形微板的TED?；贙irchhoff經(jīng)典板理論，采用單向耦合的準(zhǔn)一維熱傳導(dǎo)方程，Li等[28?29]研究了FGM微圓板和微矩形板的熱彈性阻尼，發(fā)展了求解材料性質(zhì)在橫向任意非均勻變化微板的復(fù)雜變系數(shù)熱傳導(dǎo)方程的分層均勻化方法，獲得材料性質(zhì)按冪函數(shù)變化的FGM 微板在各種支承條件下的熱彈性阻尼半解析解， 研究了材料梯度指數(shù)、環(huán)境溫度、邊厚比、振動(dòng)模態(tài)等對(duì)熱彈性阻尼的影響規(guī)律，定量地分析了熱薄膜力對(duì)熱彈性阻尼的影響程度。

從上述已有的研究成果可見，除文獻(xiàn)[27]之外所有的研究工作都在微板結(jié)構(gòu)的彎曲振動(dòng)模型建立中忽略了橫向剪切變形的影響，采用了Kirchhoff薄板理論。眾所周知，經(jīng)典板理論忽略橫向剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力，從而夸大了結(jié)構(gòu)的彎曲剛度，過高地估計(jì)了結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的固有頻率。因此，在微板諧振器的厚度與面內(nèi)尺寸的比值超過薄板的界限后，經(jīng)典板理論也將會(huì)過高地預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的熱彈性阻尼。本文基于Levinson高階剪切變形理論[30]和單向耦合熱傳導(dǎo)理論建立均勻材料矩形微板熱?彈耦合自由振動(dòng)的控制微分方程。在上下表面絕熱邊界條件下尋求用撓度函數(shù)表示的準(zhǔn)一維熱傳導(dǎo)方程的解析解。從而將包含熱彎曲內(nèi)力的結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為只包含撓度振幅的偏微分方程。在四邊簡支邊界條件下，推導(dǎo)出Levinson微板的復(fù)頻率解析解，從而可由復(fù)頻率法求得反映熱彈性阻尼水平的逆品質(zhì)因子解析解。通過數(shù)值結(jié)果定量地分析了剪切變形對(duì)熱彈性阻尼值的影響程度。

1 問題的數(shù)學(xué)模型

考慮矩形微板， 長度為、寬度為、厚度為h。選取直角坐標(biāo)系（x， y， z），將坐標(biāo)面（x， y）置于微板的幾何中面。則板的定義域?yàn)椋骸；贚evinson 高階剪切變形板理論和單向耦合的熱傳導(dǎo)理論，采用解析方法研究矩形微板熱彈性耦合小振幅自由振動(dòng)，通過復(fù)頻率法分析微板的熱彈性阻尼。

1.1 位移分量

基于Levinson[30]和Wang等[31]高階剪切變形理論中所采用的位移假設(shè)，微板的位移場(chǎng)可表示為

1.2 應(yīng)變分量

對(duì)于微板的小振幅自由振動(dòng)，將式（1）代入彈性力學(xué)的幾何方程可得應(yīng)變分量

1.3 應(yīng)力分量

對(duì)于線彈性材料，由胡克定理給出應(yīng)力分量

式中 ，和分別為微板的彈性模量、泊松比和線性熱膨脹系數(shù);為由熱彈性耦合振動(dòng)引起的板內(nèi)變溫場(chǎng)，為瞬態(tài)溫度場(chǎng)，為環(huán)境溫度（為常數(shù)）。由式（2d），（2e）可知，式（3b）能夠精確滿足上下自由表面切應(yīng)力為零的邊界條件。然而，在Mindlin板理論中的假設(shè)位移場(chǎng)給出的橫向切應(yīng)力沿著板厚為常數(shù)，顯然不滿足上下表面的切應(yīng)力為零的條件。為了補(bǔ)償實(shí)際剪應(yīng)力與假定的恒定剪應(yīng)力沿厚度分布之間的差引入剪切修正因子。

1.4 運(yùn)動(dòng)方程

針對(duì)式（1）可以采用兩種不同的方法來建立微板的運(yùn)動(dòng)方程。在Levinson 板理論[30]中，通過將空間應(yīng)力形式的彈性力學(xué)波動(dòng)方程沿板厚進(jìn)行靜力等效積分來獲得以等效內(nèi)力和內(nèi)力矩表示的運(yùn)動(dòng)方程。而在Wang等[31]板理論中，運(yùn)動(dòng)方程則是通過能量變分原理推導(dǎo)出的，其中引入了所謂的高階彎矩和高階剪力。然而，由于將撓度的導(dǎo)數(shù)作為獨(dú)立變量進(jìn)行變分，在夾緊邊上出現(xiàn)了一階剪力為零的不合理結(jié)果[32?33]。這是由于在夾緊邊界上，Reddy板理論除了給出與Levinson板理論相同的撓度和轉(zhuǎn)角為零的邊界條件外，還給出了撓度的斜率為零的條件。在簡支邊界上，Levinson 板理論只給出彎矩為零的自然邊界條件，而Reddy板理論則另外給出了高階彎矩為零的自然邊界條件。這是因?yàn)榛赗eddy板理論導(dǎo)出的以撓度為基本未知函數(shù)的自由振動(dòng)控制方程是關(guān)于空間坐標(biāo)的6階偏微分方程[34]， 一條邊界上需要三個(gè)邊界條件來確定特解。 然而，Levinson板的自由振動(dòng)控制方程為4階偏微分方程（由后面的推導(dǎo)結(jié)果可知），一條邊上只需要兩個(gè)邊界條件即可定解。在這里，微板的運(yùn)動(dòng)方程將采用Levinson板理論導(dǎo)出。將應(yīng)力形式的彈性力學(xué)空間運(yùn)動(dòng)方程沿著板厚分別進(jìn)行力和力矩的等效積分，并利用上下表面的應(yīng)力邊界條件得到Levinson板自由振動(dòng)微分方程

其中，熱彎矩與變溫場(chǎng)確定，而變溫場(chǎng)需要由熱彈耦合的熱傳導(dǎo)方程求得。

1.5 熱傳導(dǎo)方程

基于單向耦合熱彈性理論[1]，微板的熱傳導(dǎo)方程為

式中 為導(dǎo)熱系數(shù)，為單位質(zhì)量下的比熱容，為體積應(yīng)變，具體可表示為

對(duì)于橫向自由振動(dòng)的微板諧振器而言，溫度梯度沿著板厚度方向的變化要遠(yuǎn)大于沿面內(nèi)的變化。因此，可忽略溫度關(guān)于面內(nèi)坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，并將式（14）代入式（13）得到單向耦合的準(zhǔn)一維熱傳導(dǎo)方程

2 熱彈性耦合振動(dòng)響應(yīng)

由于系統(tǒng)沒有外界機(jī)械和溫度載荷激勵(lì)，位移場(chǎng)和溫度場(chǎng)的動(dòng)力響應(yīng)可假設(shè)為如下調(diào)和模式

微分方程（32）為矩形微板在Levinson 高階剪切理論下熱?彈耦合自由振動(dòng)的無量綱控制方程，其中包含了復(fù)頻率參數(shù)。結(jié)合給定的邊界條件，求解微分方程（32）的特征值問題，即可得到微結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)和固有頻率。利用式（24），（25）和（17），可進(jìn)一步得到系統(tǒng)的有阻尼動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

為了便于獲得問題的精確解析解，這里假設(shè)矩形微板的四邊簡支。則可以證明微分方程（28）的邊界條件可表示為 （證明見附錄）

顯然滿足上述邊界條件，其中Amn為任意常數(shù)，m，n=1，2，3，…。將其代入方程（32）由系數(shù)的任意性可得特征方程

式中 為無阻尼Kirchhoff板的無量綱固有頻率。

由式（31）可知參數(shù)和是關(guān)于復(fù)頻率的超越函數(shù)，因此代數(shù)方程（34）是關(guān)于的超越方程，難以獲得其解析解。這里采用文獻(xiàn)中計(jì)算熱彈性阻尼時(shí)常用的近似方法[3?6]，即令，。其中是無阻尼Levinson微板的固有頻率。于是，由方程（34）可求得具有熱彈性阻尼的Levinson板的復(fù)頻率解析解

在式（34）中令，可先得到無阻尼（等溫）Levinson板的實(shí)頻率

然后由式（31）算得（0）和（0）， 并將其代入式（35），即可得到系統(tǒng)的復(fù)頻率。最后，采用復(fù)頻率法得到用逆品質(zhì)因子表示的四邊簡支矩形Levinson 微板的熱彈性阻尼精確解析解

式中 和分別是無量綱復(fù)頻率的實(shí)部和虛部。至此，已求得了四邊簡支Levinson微板諧振器的熱彈性阻尼解析解。實(shí)際上，上述解答也可以推廣至具有直邊的周邊簡支多邊形微板。

如果在式（1）中令高階項(xiàng)為零，則上述解答退化為Mindlin板理論下周邊簡支微板的熱?彈耦合振動(dòng)響應(yīng)?？梢宰C明，如果選擇Mindlin板的剪切修正系數(shù)為5/6，則兩種剪切變形理論下微分方程（22）和代數(shù)方程（34）中系數(shù)，和的值完全相同。因此，對(duì)于周邊簡支等溫（）矩形板Mindlin理論和Levinson理論預(yù)測(cè)的固有頻率相同。

然而，由于兩種剪切變形理論下的體積應(yīng)變率各不相同，由此產(chǎn)生的耦合變溫場(chǎng)不相同。由式（28）可以退化得到Mindlin微板變溫場(chǎng)

如果令， 則式（35）退化為四邊簡支Mindlin矩形微板復(fù)頻率的解析解。

特別地，在式（38）中令即可得到Kirchhoff 微板的變溫場(chǎng)。進(jìn)一步在式（34）中令， 得到Kirchhoff 微板的復(fù)頻率[3，5?6]

由此，利用式（37）可以求得Kirchhoff微板L?R[3]形式的熱彈性阻尼解析解[10]。這里需要說明的是，解答（39）適用于各種邊界條件。 對(duì)于不同邊界條件只要將相應(yīng)等溫板的頻率代入式（39）中，即可得到Kirchhoff微板的復(fù)頻率。

3 數(shù)值結(jié)果與討論

在下面的數(shù)值計(jì)算中，分別選取微板的材料為陶瓷（SiC）和金屬（Ni）。在平衡溫度條件下材料物理參數(shù)如表1所示。在后面的數(shù)值結(jié)果中除非特別說明外，對(duì)應(yīng)的振動(dòng)模態(tài)都為一階。首先，在表2中給出了由式（36）計(jì)算的對(duì)應(yīng)不同振動(dòng)模態(tài)和不同邊/厚比的無阻尼正方形Levinson板的無量綱固有頻率的數(shù)值結(jié)果，并與相應(yīng)Kirchhoff板理論的結(jié)果進(jìn)行了比較。由此發(fā)現(xiàn)，隨著邊/厚比的減小和模態(tài)階數(shù)的增加Levinson板與Kirchhoff板的頻率之差單調(diào)增大。例如，在一階模態(tài)下對(duì)應(yīng)的相對(duì)誤差為，而對(duì)應(yīng)于模態(tài)（相對(duì)誤差則達(dá)到了44.98%。另外，在時(shí)還給出了Reddy高階剪切板理論[31]和由Levinson板理論和Reddy板理論預(yù)測(cè)的結(jié)果，可見二者十分相近，這一結(jié)果驗(yàn)證了式（36）的正確性。

為了定量地分析不同板理論預(yù)測(cè)微板熱彈性阻尼的差異，表3給出了前六種振動(dòng)模態(tài)下，分別由三種板理論預(yù)測(cè)的正方形陶瓷（SiC）微板的熱彈性阻尼值隨著板的邊/厚比的變化規(guī)律。其中Kirchhoff微板的熱彈性阻尼是由L?R形式的解析解[10]得到的，Mindlin 微板和Levinson 微板的結(jié)果是由式（35）和（37）計(jì)算得到的。分析表中的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)經(jīng)典板理論過高地估計(jì)了微板的熱彈性阻尼，而且隨著模態(tài)階數(shù)和板厚的增大經(jīng)典板理論與兩種剪切變形板理論的預(yù)測(cè)值之間的差別變得逐漸顯著。在和時(shí)的相對(duì)誤差達(dá)到了。雖然等溫時(shí)的固有頻率相同，但是由于熱彈?耦合振動(dòng)產(chǎn)生的溫度場(chǎng)（28）和（38）不同，兩種剪切變形板理論預(yù)測(cè)的熱彈性阻尼之間也存在差異。在，條件下，相對(duì)誤差僅為 ;而在時(shí)相對(duì)誤差達(dá)到?？梢姡瑢?duì)于厚板在高階模態(tài)下的振動(dòng)，Levinson高階剪切變形板理論能夠給出更為精確的熱彈性阻尼預(yù)測(cè)結(jié)果。因?yàn)闇囟葓?chǎng)（28）的非齊次解部分包含了關(guān)于厚度方向坐標(biāo)的三次項(xiàng)。

為了考察面內(nèi)幾何尺寸對(duì)熱彈性阻尼的影響規(guī)律，表4中給出了的矩形金屬（Ni）微板在前六階振動(dòng)模態(tài)下對(duì)應(yīng)于不同長/寬比的熱彈性阻尼。分析表中結(jié)果得知，兩種理論預(yù)測(cè)結(jié)果的相對(duì)誤差隨著比值的增大而增大。另外，隨著寬度方向（y方向）節(jié)線的增加，相對(duì)誤差變大。在時(shí)給出相對(duì)誤差的數(shù)值，最大值發(fā)生在模態(tài)（1，3）。為了反映具有不同長/寬比的微板的熱彈性阻尼隨板厚的變化規(guī)律，圖1繪出了在長寬比分別等于時(shí)矩形陶瓷（SiC）微板的熱彈性阻尼隨板厚連續(xù)變化的曲線。隨著長寬比的增加，熱彈性阻尼的最大值點(diǎn)向左移動(dòng)（或相應(yīng)的臨界厚度減?。?其中Kirchhoff板的最大阻尼值保持不變，而Levinson板的最大阻尼值逐漸降低，二者的差值逐漸增大。

圖2繪出了具有不同邊/厚比的正方形金屬（Ni）微板分別在Levinson和Kirchhoff板理論下熱彈性阻尼隨厚度的變化曲線。結(jié)果表明，在熱彈性阻尼的最大值附近兩種理論預(yù)測(cè)值的差別十分顯著，而且隨著邊/厚比的增大，差別更加明顯。圖3給出了具有不同邊長的正方形陶瓷微板（SiC）熱彈性阻尼與無阻尼Kirchhoff微板的固有頻率之間的特性曲線。對(duì)于給定邊長的微板，熱彈性阻尼最大值對(duì)應(yīng)的固有頻率值可定義為臨界頻率，相應(yīng)的厚度成為臨界厚度。隨著板的面內(nèi)尺寸增大，臨界頻率或臨界厚度減小。

圖4分別給出了，的正方形陶瓷（SiC）微板中熱彈性阻尼引起的頻移（Frequency shift） 和衰減（Attenuation） 。由圖可知：相對(duì)厚度在薄板范圍內(nèi)時(shí)，Kirchhoff板理論與Levinson板理論的結(jié)果差別很小;隨著厚度增大，兩種理論預(yù)測(cè)的衰減曲線仍然基本重合，但是頻移曲線的分離程度加劇，即Levinson板理論預(yù)測(cè)的頻移量比Kirchhoff板理論的預(yù)測(cè)結(jié)果越來越小。衰減函數(shù)在臨界厚度處取得極值，在此極值點(diǎn)處頻移函數(shù)增加速度最快，能量耗散達(dá)到最高值。

最后討論微板內(nèi)的變溫場(chǎng)沿著厚度的變化特性?？紤]正方形微板，將一階模態(tài)振幅代入式（28）和（38）可得到各種板理論下溫度場(chǎng)振幅，統(tǒng)一表達(dá)式為

圖5給出了三種板理論下厚度為，邊厚比的正方形金屬（Ni）微板變溫場(chǎng)函數(shù)曲線。該曲線可反映溫度場(chǎng)沿厚度的變化態(tài)勢(shì)，具體變溫場(chǎng)與撓度振幅函數(shù)有關(guān)。結(jié)果表明，對(duì)于厚板（）和中厚板（），經(jīng)典板理論與剪切變形理論的預(yù)測(cè)結(jié)果之間的差別十分顯著，但是兩種剪切變形理論的結(jié)果之間的差別非常小;對(duì)于薄板（） 三種理論的預(yù)測(cè)結(jié)果幾乎沒有差別。這時(shí)，Kirchhoff 板理論的結(jié)果已經(jīng)具有足夠的精度。

4 結(jié) 論

基于Levinson板理論和準(zhǔn)一維單向耦合的熱傳導(dǎo)方程，推導(dǎo)出了四邊簡支矩形微板自由振動(dòng)的復(fù)頻率以及板內(nèi)變溫場(chǎng)的精確解析解，即式（35）和（41）。進(jìn)一步由復(fù)頻率法給出了表征Levinson微板熱彈性阻尼的逆品質(zhì)因子。通過數(shù)值算例定量地分析了Levinson微板的熱彈性阻尼隨著板的幾何尺寸和模態(tài)變化的規(guī)律，并與Mindlin微板和Kirchhoff微板的結(jié)果進(jìn)行了比較，定量地分析了剪切變形對(duì)熱彈性阻尼的影響程度。數(shù)值結(jié)果表明，Kirchhoff板理論預(yù)測(cè)的熱彈性阻尼值大于Levinson板理論和Mindlin板理論的預(yù)測(cè)值。這是由于經(jīng)典板理論忽略了橫向剪切變形從而過高地估計(jì)了微板的剛度。隨著板厚的增加，剪切變形對(duì)熱彈性阻尼的影響變得顯著。另外還從理論上證明了在四邊簡支條件下，由Mindlin板理論和Levinson板理論導(dǎo)出的等溫板的固有頻率相等，但是相應(yīng)的熱彈性阻尼值卻不同，對(duì)于厚板這一差別更加明顯。因此，Levinson高階剪切變形理論能夠更好地預(yù)測(cè)厚板諧振器的熱彈性阻尼，因?yàn)樵摾碚摯_定的溫度場(chǎng)中包含了厚度方向坐標(biāo)的高階項(xiàng)，由此確定的應(yīng)力場(chǎng)也能精確滿足表面切應(yīng)力為零的邊界條件。

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作者簡介： 李世榮（1957-），男，博士，教授。電話：15062809918;E-mail： srli@yzu.edu.cn