結(jié)構(gòu)損傷識別的廣義均布載荷面法

趙建剛 張玉祥 陳家照 姜勰

摘要： 針對多數(shù)情況下受損結(jié)構(gòu)的損傷前參數(shù)無法獲得，且實(shí)際中結(jié)構(gòu)高階模態(tài)較難獲取的問題，從理論上推導(dǎo)并提出廣義均布載荷面的損傷識別方法。分別構(gòu)建廣義均布載荷面曲率和基于最小二乘多項(xiàng)式擬合廣義均布載荷面曲率的損傷指標(biāo)。以兩端固支的T型簡支梁為例，數(shù)值分析和對比柔度曲率、均布載荷面曲率、廣義均布載荷面曲率和基于最小二乘多項(xiàng)式擬合廣義均布載荷面曲率四種指標(biāo)的損傷識別效果，結(jié)果表明：上述四種指標(biāo)均只需低階模態(tài)參數(shù)就可識別出損傷，但后三種指標(biāo)的識別效果優(yōu)于第一種;廣義均布載荷面曲率指標(biāo)比均布載荷面曲率指標(biāo)截?cái)嗾`差小，并具有一定的抗噪性;只有基于最小二乘多項(xiàng)式擬合廣義均布載荷面曲率指標(biāo)只需結(jié)構(gòu)損傷后的參數(shù)，更具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞： 損傷識別; 廣義均布載荷面; 最小二乘多項(xiàng)式; 截?cái)嗾`差; 抗噪性

中圖分類號： O327; V214.3+7 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號： 1004-4523（2021）05-0987-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.05.012

引 言

近年來，結(jié)構(gòu)損傷識別作為結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測的關(guān)鍵技術(shù)，逐漸成為人們研究的熱點(diǎn)。早期基于動力特性結(jié)構(gòu)的損傷識別，主要是根據(jù)結(jié)構(gòu)損傷導(dǎo)致結(jié)構(gòu)剛度變化，進(jìn)而引起結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)（模態(tài)頻率和模態(tài)振型）的改變這一特性來識別損傷[1]。研究發(fā)現(xiàn)，在實(shí)際環(huán)境中可以從結(jié)構(gòu)的振動信號中以較高精度提取出模態(tài)振型和頻率[2]。然而單一的頻率或是振型對損傷識別的敏感程度并不是很高，于是基于結(jié)構(gòu)固有頻率或固有頻率和振型組合的指標(biāo)被提出并應(yīng)用于實(shí)際的損傷識別中。其中，研究較多的有模態(tài)應(yīng)變能[3?4]、模態(tài)柔度差[5]、模態(tài)柔度曲率[6?7]、廣義柔度法[8?9]、均布載荷面法等。Sung等[10]基于歐拉?伯努利梁理論首次提出使用均布載荷面的損傷識別方法，對一簡支梁進(jìn)行了識別。Jung等[11]基于均布載荷面提出歸一化的均布載荷面曲率損傷識別指標(biāo)，并分別采用該方法與均布載荷面法、柔度矩陣法對簡支梁進(jìn)行損傷識別，數(shù)值對比分析發(fā)現(xiàn)所提指標(biāo)需要結(jié)構(gòu)損傷后較高階的模態(tài)參數(shù)，并對損傷更敏感，識別效果更好。余建新等[12]針對飛艇骨架結(jié)構(gòu)中損傷引起的模態(tài)躍遷現(xiàn)象導(dǎo)致無法通過匹配損傷前后動態(tài)特性參數(shù)變化來識別損傷的難題，給出了模態(tài)振型曲率法、均布載荷面曲率法和虛擬軸向應(yīng)變法等三種只基于損傷后振動響應(yīng)信息進(jìn)行損傷識別的動態(tài)方法。結(jié)果表明新?lián)p傷識別方法對損傷敏感，在環(huán)境噪聲工況下能準(zhǔn)確識別和定位單個和多個損傷桿件。上述的研究方法均能識別出損傷，同時識別出結(jié)構(gòu)損傷的位置和程度。但這些方法一般不是需要結(jié)構(gòu)損傷前的信息，就是需獲得結(jié)構(gòu)的高階模態(tài)，或是兩者兼有，這樣較難在實(shí)際中得到應(yīng)用。

結(jié)合以上分析，本文提出廣義均布載荷面法，建立基于最小二乘擬合多項(xiàng)式的廣義均布載荷面曲率（Least squares polynomial fitting General uniform load surface Curvature，LGC）損傷識別指標(biāo)，該指標(biāo)只需損傷結(jié)構(gòu)的低階模態(tài)參數(shù)就可以得到良好的損傷識別效果。文中以一兩端固支的T型簡支梁為例，對比分析模態(tài)柔度曲率（Modal Flexibility Curvature，MFC）、均布載荷面曲率（Uniform Load Surface Curvature，ULSC）、廣義均布載荷面曲率（General Uniform Load Surface Curvature，GULSC）和基于最小二乘擬合的廣義均布載荷面曲率四種指標(biāo)的損傷識別效果。結(jié)果表明，四種指標(biāo)均可以在獲得結(jié)構(gòu)低階模態(tài)參數(shù)情況下就能識別出單損傷和多損傷，均布載荷面曲率要比模態(tài)柔度曲率識別效果好，廣義均布載荷面曲率比均布載荷面曲率的截?cái)嗾`差更小，而只有基于最小二乘擬合的廣義均布載荷面曲率法不需要結(jié)構(gòu)損傷前的信息，所以其更具有優(yōu)越性和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 基于模態(tài)柔度曲率（MFC）的損傷指標(biāo)

根據(jù)無阻尼自由振動的結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程，將模態(tài)振型針對質(zhì)量矩陣做歸一化處理后，可得到其柔度矩陣表達(dá)式如下[13]

式中 為結(jié)構(gòu)振型矩陣，Λ為結(jié)構(gòu)固有頻率平方的對角矩陣，m為模態(tài)階數(shù)，為第r階的固有頻率，為第r階對質(zhì)量矩陣做歸一化后的模態(tài)振型。根據(jù)中心差分的思想，通過模態(tài)柔度矩陣F得到結(jié)構(gòu)損傷前后模態(tài)柔度曲率矩陣和，其矩陣中的元素計(jì)算如下：

1.2 基于均布載荷面曲率（ULSC）的損傷指標(biāo)

根據(jù)有限元分析可知，柔度矩陣F可表示為：

式中 ;為結(jié)構(gòu)上的節(jié)點(diǎn)編號，的物理意義為結(jié)構(gòu)上點(diǎn)在單位載荷作用下點(diǎn)產(chǎn)生的撓度，即柔度在點(diǎn)的大小。

根據(jù)文獻(xiàn)[14]可知，均布載荷面為結(jié)構(gòu)在單位載荷作用下所產(chǎn)生的撓度變形。對于線性系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)在單位載荷作用下，在節(jié)點(diǎn)處產(chǎn)生撓度為

1.3 基于廣義均布載荷面曲率（GULSC）的損傷指標(biāo)

根據(jù)文獻(xiàn)[8]，廣義柔度矩陣的表達(dá)式如下

對比式（6），（7）和（8）發(fā)現(xiàn)，均布載荷面是由柔度矩陣衍生而來，柔度矩陣中的元素表示結(jié)構(gòu)上某一節(jié)點(diǎn)上受到單位載荷作用時在另一節(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生的撓度;而均布載荷面中的元素表示整體結(jié)構(gòu)受到單位載荷作用時，在某一點(diǎn)處產(chǎn)生的撓度總和。廣義均布載荷面與均布載荷面表達(dá)形式相似，區(qū)別在于均布載荷面與結(jié)構(gòu)固有頻率的平方成反比，而廣義均布載荷面與結(jié)構(gòu)固有頻率的四次方成反比。這說明廣義均布載荷面的損傷識別指標(biāo)更加收斂于低階模態(tài)，高階模態(tài)對廣義均布載荷面的計(jì)算精度影響更小，更適用在實(shí)際中只能獲得結(jié)構(gòu)低階模態(tài)參數(shù)的情況。

當(dāng)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷時，損傷部位的特性將會發(fā)生較大變化，而對該變化反應(yīng)最敏感的就是結(jié)構(gòu)的曲率，本文則是通過曲率變化來判斷損傷。由有限元和結(jié)構(gòu)動力學(xué)知識可知，若結(jié)構(gòu)有損傷，則損傷單元對應(yīng)節(jié)點(diǎn)處的振型會有較大變化，進(jìn)而使均布載荷面產(chǎn)生變化，因此可以用該節(jié)點(diǎn)處廣義均布載荷面的曲率變化來識別損傷。根據(jù)中心差分法，結(jié)構(gòu)上各節(jié)點(diǎn)處的廣義均布載荷面曲率為

式中 為結(jié)構(gòu)上兩節(jié)點(diǎn)之間的距離。于是得到結(jié)構(gòu)的廣義均布載荷面曲率損傷識別指標(biāo)

式中 為完好結(jié)構(gòu)的廣義均布載荷面曲率，為損傷結(jié)構(gòu)的廣義均布載荷面曲率。

1.4 基于最小二乘多項(xiàng)式擬合廣義均布載荷面曲率（LGC）的損傷識別指標(biāo)

根據(jù)1.3節(jié)廣義均布載荷面曲率法識別結(jié)構(gòu)損傷的原理，GULSC曲線在結(jié)構(gòu)的損傷位置處會產(chǎn)生突變，而完好結(jié)構(gòu)的GULSC曲線在該處是光滑的，沒有突變。因此，可以利用結(jié)構(gòu)的非損傷位置點(diǎn)，通過最小二乘多項(xiàng)式來擬合一條光滑的曲線，用來表征完好結(jié)構(gòu)的GULSC曲線。

通過計(jì)算方程組得到擬合的完好結(jié)構(gòu)廣義均布載荷面曲率曲線，與損傷結(jié)構(gòu)的廣義均布載荷面曲率曲線，于是得到新的損傷指標(biāo)

2 算例分析

本文以兩端固支的T型簡支梁為研究對象，梁截面參數(shù)為，，，，;長度為2 m，劃分為等長的20個單元，其有限元模型如圖1所示。圖中圓圈中的數(shù)字代表單元編號，下排數(shù)字為節(jié)點(diǎn)編號。材料為普通鋼，彈性模量 Pa，密度為7850，泊松比為0.3。結(jié)構(gòu)損傷以單元剛度的降低來模擬。通過ABAQUS有限元方法計(jì)算結(jié)構(gòu)在無損傷和各種損傷情況下的前三階模態(tài)參數(shù)。

2.1 最小二乘多項(xiàng)式擬合曲線的選擇

考慮梁結(jié)構(gòu)中單元8損傷50%情況下，得到單一損傷結(jié)構(gòu)的GULSC曲線，采取最小二乘多項(xiàng)式來擬合該曲線上未損傷單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)對，擬合次數(shù)依次為2次、3次和4次，結(jié)果如圖2（a）所示。通過擬合發(fā)現(xiàn)，當(dāng)擬合次數(shù)為4時，擬合曲線通過除損傷單元的節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)8和節(jié)點(diǎn)9）外的其他所有節(jié)點(diǎn)，因此選4作為最小二乘多項(xiàng)式的擬合次數(shù)。

為了驗(yàn)證所選擬合次數(shù)的合理性，考慮單元8和單元16均損傷50%情況下最小二乘多項(xiàng)式曲線的擬合情況，如圖2（b）所示;發(fā)現(xiàn)4次多項(xiàng)式依舊能夠很好地通過除損傷單元節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)8和節(jié)點(diǎn)9，節(jié)點(diǎn)16和節(jié)點(diǎn)17）外的其他節(jié)點(diǎn)，說明所選最小二乘4次多項(xiàng)式曲線是正確的。

2.2 損傷識別

2.2.1 單損傷識別

考慮T型簡支梁中單元8分別在10%，20%和30%不同的損傷程度下，對比分析MFC，ULSC，GULSC和LGC四種指標(biāo)的損傷識別情況，如圖3所示。

圖3中（a），（b），（c）和（d）分別是單元8損傷的MFC，ULSC，GULSC和LGC四種損傷指標(biāo)曲線。從圖3看出：四種損傷指標(biāo)都可以準(zhǔn)確識別出單損傷位置;隨著結(jié)構(gòu)損傷程度增大，損傷指標(biāo)值也增大，都可以相對地反映出損傷程度大小。

對比圖3（a）和（b）可以看出：MFC曲線在損傷單元周邊存在小的峰值，這樣容易引起對損傷位置的誤判;而ULSC曲線只在損傷位置存在峰值，其他周邊曲線較為平坦，很容易看出損傷位置;所以對于損傷位置的判斷，均布載荷面曲率法要優(yōu)于模態(tài)柔度曲率法。在同一損傷程度下，MFC曲線峰值比ULSC曲線峰值更接近真實(shí)值，但兩指標(biāo)值均不能代表損傷的數(shù)值大小。

對比圖3（c）和（d）可以看出：LGC曲線要優(yōu)于GULSC曲線對單損傷的識別，主要是因?yàn)長GC曲線在未損傷位置指標(biāo)值均接近于0，而在損傷位置指標(biāo)值突出明顯;且基于最小二乘的廣義均布載荷面曲率法對結(jié)構(gòu)損傷識別不需要完好結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，只要損傷結(jié)構(gòu)的參數(shù)就可識別出損傷。在同一損傷程度下，LGC曲線峰值與GULSC曲線峰值相同，且以上兩損傷指標(biāo)值均不能代表結(jié)構(gòu)實(shí)際損傷的數(shù)值大小。

對比圖3（b）和（c）可以發(fā)現(xiàn)，GULSC曲線對損傷程度的反映要比ULSC曲線更接近真實(shí)值。

2.2.2 多損傷識別

多損傷狀況以單元8和單元16各損傷10%或30%來模擬，對比分析MFC，ULSC，GULSC和LGC四種指標(biāo)的損傷識別，如圖4所示。

圖4中（a），（b），（c）和（d）分別是單元8和單元16損傷的MFC，ULSC，GULSC和LGC四種損傷指標(biāo)曲線。從圖4（a）可以看出：模態(tài)柔度曲率法只在單元8損傷10%，單元16損傷30%時，能夠識別出多損傷;而在單元8與單元16同時損傷30%，和單元8損傷30%同時單元16損傷10%兩種工況下，模態(tài)柔度曲率法只能得到其中一個損傷的位置，并不能識別出多損傷。從圖4（b），（c）和（d）可以看出，無論單元8和單元16在何種工況下，ULSC，GULSC和LGC三種指標(biāo)均能準(zhǔn)確識別出多損傷位置，并且能夠相對給出損傷程度的大小。對比上圖發(fā)現(xiàn)，圖4（d）的多損傷位置最明顯，即最小二乘擬合廣義均布載荷面曲率法對多損傷的識別效果最好。

分別對比圖3（a）和（b），圖4（a）和（b），且根據(jù)以上理論和數(shù)值分析可得：均布載荷面法是在柔度矩陣法概念的基礎(chǔ)上衍生而來，從物理意義上講柔度法是均布載荷面法的特例;對于損傷的識別效果，無論單損傷還是多損傷，均布載荷面法的識別效果絕對好于柔度矩陣法。

2.3 截?cái)嗾`差分析

由于廣義均布載荷面的表達(dá)式與均布載荷面的表達(dá)式相似，且廣義均布載荷面與均布載荷面具有相同的物理意義。為了更好地對比廣義均布載荷面法與均布載荷面法的損傷識別效果，下面討論兩種指標(biāo)各自的截?cái)嗾`差。由公式（7）計(jì)算得到的均布載荷面與根據(jù)實(shí)際結(jié)構(gòu)施加靜載荷時獲得的均布載荷面之間的差距最小時所需要的模態(tài)階數(shù)和頻率帶寬的研究，稱為截?cái)嗾`差分析[15]。同理由公式（12），可進(jìn)行廣義均布載荷面的截?cái)嗾`差分析。根據(jù)定義，損傷指標(biāo)的截?cái)嗾`差可表示為

式中 T為實(shí)際環(huán)境下得到的損傷指標(biāo)真實(shí)值，t為用公式計(jì)算得到的損傷指標(biāo)值。

以單元8損傷30%的工況為研究對象，進(jìn)行ULSC和GULSC的截?cái)嗾`差分析，如圖5和6所示。

圖5是結(jié)構(gòu)1階模態(tài)損傷指標(biāo)曲線，其中紅色實(shí)線代表GULSC指標(biāo)采用1階模態(tài)參數(shù)識別的結(jié)構(gòu)損傷，黑色虛線代表ULSC指標(biāo)采用1階模態(tài)參數(shù)識別的結(jié)構(gòu)損傷?？梢钥吹紾ULSC的損傷指標(biāo)值在0.14附近，而ULSC的損傷指標(biāo)值大約在0.12。為判斷以上哪種方法的結(jié)果更靠近實(shí)際的真實(shí)值，數(shù)值分析了前100階模態(tài)的損傷指標(biāo)值，并以此來代表實(shí)際環(huán)境下真實(shí)的損傷指標(biāo)值T。

進(jìn)一步比較兩種方法優(yōu)劣，分別采用廣義均布載荷面法和均布載荷面法計(jì)算了結(jié)構(gòu)前1階到前10階的損傷指標(biāo)值，得到截?cái)嗾`差曲線如圖6所示。從圖中可以明顯看出，任何階數(shù)下GULSC指標(biāo)的截?cái)嗾`差都要小于ULSC指標(biāo)的截?cái)嗾`差;且GULSC指標(biāo)的截?cái)嗾`差曲線在前三階時數(shù)值基本為0，說明GULSC指標(biāo)相比ULSC指標(biāo)更收斂于低階，廣義均布載荷面曲率法的損傷計(jì)算結(jié)果比均布載荷面法的損傷計(jì)算結(jié)果更靠近實(shí)際的真實(shí)值。

2.4 抗噪性能分析

針對廣義均布載荷面曲率損傷指標(biāo)的抗噪性能，對指標(biāo)輸入?yún)?shù)分別加入了0.5%，1%和1.5%的白噪聲，來模擬環(huán)境噪聲對GULSC損傷指標(biāo)識別效果的影響，其數(shù)值分析結(jié)果如圖7和8所示。

圖7是當(dāng)簡支梁結(jié)構(gòu)上單元8損傷30%時，GULSC損傷指標(biāo)在無環(huán)境噪聲和環(huán)境噪聲分別為0.5%，1.0%，1.5%情況下的識別效果曲線。從圖中可以看出，GULSC指標(biāo)進(jìn)行結(jié)構(gòu)單損傷識別時，對環(huán)境噪聲具有較好的抗噪性能，在噪聲水平1.5%情況下依然能很好地識別出損傷。

圖8是當(dāng)簡支梁結(jié)構(gòu)上單元8和單元16同時損傷10%時，GULSC損傷指標(biāo)在無環(huán)境噪聲和環(huán)境噪聲分別為0.5%，1.0%，1.5%情況下的識別效果曲線。從圖中可以看出，GULSC指標(biāo)進(jìn)行結(jié)構(gòu)多損傷識別時，對環(huán)境噪聲具有較好的抗噪性能。當(dāng)噪聲水平達(dá)到1.5%時，損傷識別曲線波動較多，該指標(biāo)此時識別多損傷存在一定的困難。

通過以上分析可知：無論單損傷還是多損傷，GULSC指標(biāo)都可以在環(huán)境噪聲水平1%以內(nèi)很好地識別出損傷，具有一定的抗噪性能;其有噪聲影響的損傷識別效果曲線與無噪聲影響的損傷識別效果曲線基本重合，說明該指標(biāo)魯棒性較好。

3 結(jié) 論

本文根據(jù)實(shí)際中結(jié)構(gòu)的高階模態(tài)參數(shù)較難獲得，選用了只需低階模態(tài)參數(shù)的模態(tài)柔度法和由其衍生的均布載荷面法進(jìn)行損傷識別，并在均布載荷面法的基礎(chǔ)上推導(dǎo)并提出了廣義均布載荷面方法。針對結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷后，結(jié)構(gòu)損傷前的參數(shù)無法得到問題，建立了基于最小二乘多項(xiàng)式擬合廣義均布載荷面曲率的指標(biāo)用于損傷識別。應(yīng)用以上四種方法的指標(biāo)對一T型簡支梁進(jìn)行了數(shù)值對比分析，得到了以下結(jié)論：

（1）四種損傷指標(biāo)均只需結(jié)構(gòu)的低階模態(tài)參數(shù)就能實(shí)現(xiàn)對結(jié)構(gòu)損傷的識別，不但可以識別出損傷位置，而且可以給出損傷程度的大小。

（2）對比模態(tài)柔度法和均布載荷面法發(fā)現(xiàn)：MFC指標(biāo)可以實(shí)現(xiàn)單損傷識別，但對于多損傷會出現(xiàn)誤判;而ULSC指標(biāo)無論單損傷還是多損傷均能很好地識別出來。因此，ULSC指標(biāo)的損傷識別效果優(yōu)于MFC指標(biāo)。

（3）通過誤差對比分析發(fā)現(xiàn)，廣義均布載荷面的截?cái)嗾`差遠(yuǎn)小于均布載荷面，GULSC的指標(biāo)優(yōu)于ULSC指標(biāo)。且GULSC的截?cái)嗾`差在前三階模態(tài)時就基本接近于0，損傷識別的指標(biāo)值更靠近真實(shí)值。

（4）通過對GULSC損傷指標(biāo)的抗噪性能分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)環(huán)境噪聲水平在1%以內(nèi)，廣義均布載荷面的損傷識別方法具有較好的魯棒性。

（5）建立的LGC指標(biāo)可以不需要結(jié)構(gòu)損傷前的模態(tài)參數(shù)，且和其他三種指標(biāo)對比發(fā)現(xiàn)，LGC指標(biāo)損傷識別效果更明顯，更具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1] Doebling S W. Damage identification and health monitoring of mechanical systems from changes in their vibration characteristics： A literature review[R]. Los Alamos National Report LA-13070-MS， 1996.

[2] Peeters B， Roeck G D. Preference-based stochastic subspace identification for output-only modal analysis[J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 1999，13（6）：855-875.

[3] Hu Huiwei， Wu Chengbo， Lu Weijun. Damage detection of circular hollow cylinder using modal strain energy and scanning damage index methods[J]. Computers and Structures， 2011， 89（1）：149-160.

[4] 張效忠，姚文娟. 基于敏感模態(tài)單元應(yīng)變能法結(jié)構(gòu)損傷識別[J]. 中南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，44（7）：3014-3023.

Zhang Xiaozhong， Yao Wenjuan. Structural damage identification based on strain energy method of sensitive modal element[J]. Journal of Central South University （Natural Science Edition）， 2013，44（7）：3014-3023.

[5] Pandey A K，Biswas M. Damage detection in structures using changes in flexibility[J]. Journal of Sound and Vibration，1994，169（1）：3-17.

[6] Lu Q，Ren G，Zhao Y. Multiple damage location with flexibility curvature and relative frequency change for beam struetures[J]. Journal of Sound and Vibration， 2002，253（5）：1101-1114.

[7] 徐宏文，李 寧，謝永健. 基于模態(tài)曲率曲線擬合的板結(jié)構(gòu)損傷識別研究[J]. 工程抗震與加固改造，2018，40（4）：16-20.

Xu Hongwen， Li Ning， Xie Yongjian. Damage identification of plate structure based on modal curvature curve fitting[J]. Seismic Engineering and Reinforcement， 2018，40（4）：16-20.

[8] Li Jing， Wu Baisheng， Zeng Q C. A generalized flexibility matrix based approach for structural damage detection[J]. Journal of Sound and Vibration， 2010，329（22）：4583-4587.

[9] 周衛(wèi)東，楊秋偉，趙 衛(wèi). 基于廣義柔度和附加質(zhì)量的結(jié)構(gòu)損傷識別研究[J]. 機(jī)械強(qiáng)度，2016，38（1）：156-159.

Zhou Weidong， Yang Qiuwei， Zhao Wei. Structural damage identification based on generalized flexibility and additional mass[J]. Mechanical Strength， 2016，38（1）：156-159.

[10] Sung S H， Jung H J， Jung H Y. Damage detection for beam-like structures using the normalized curvature of a uniform load surface[J]. Journal of Sound and Vibration， 2013，332（6）：1501-1519.

[11] Jung Ho-Yeon，Sung Seung-Hoon，Jung Hyung-Jo. Experimental validation of normalized uniform load surface curvature method for damage localization[J]. Sensors， 2015，15（10）：26315-26330.

[12] 余建新，衛(wèi)劍征，譚惠豐. 飛艇骨架結(jié)構(gòu)動態(tài)損傷識別方法[J]. 航空學(xué)報(bào)，2016，37（11）：3385-3394.

Yu Jianxin， Wei Jianzheng， Tan Huifeng. Dynamic damage identification method of airship skeleton structure[J]. Journal of Aviation， 2016，37（11）：3385-3394.

[13] Berman A， Flannely W G. Theory of incomplete models of dynamic structures[J]. American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal， 1971，9（8）：1481-1487.

[14] Wu D， Law S S. Damage localization in plate structures from uniform load surface curvature[J]. Journal of Sound and Vibration， 2004，276（1）：227-244.

[15] Zhang Z， Aktan A E. Application of modal flexibility and its derivatives in structural identification[J]. Research in Nondestructive Evaluation， 1998，10（1）：43-61.

作者簡介： 趙建剛（1984-），男，博士研究生。電話：（029）84743324; E-mail： zhaojgbox001@163.com

通訊作者： 張玉祥（1963-），男，教授。電話：（029）84743324;E-mail： yuxiangz@tom.com