從橫場(chǎng)伊辛鏈到量子E8可積模型*

王驍 楊家豪 吳建達(dá)2)

1) (上海交通大學(xué)李政道研究所,上海 201210)

2) (上海交通大學(xué)物理與天文學(xué)院,上海 200240)

本文綜述了近年來關(guān)于橫場(chǎng)伊辛鏈模型及量子 E8可積模型研究工作的一系列理論及實(shí)驗(yàn)進(jìn)展.在針對(duì)橫場(chǎng)伊辛鏈的研究工作中,理論上發(fā)現(xiàn)格林艾森比率 (熱或磁脹系數(shù)與比熱之比) 在此模型中獨(dú)特的奇異量子臨界行為,并實(shí)質(zhì)性地?cái)U(kuò)展了能涌現(xiàn)橫場(chǎng)伊辛鏈普適類的微觀模型.這些理論進(jìn)展成功地推進(jìn)了一系列合作實(shí)驗(yàn)在準(zhǔn)一維反鐵磁材料BaCo2V2O8及SrCo2V2O8中首次實(shí)現(xiàn)橫場(chǎng)伊辛鏈普適類.在針對(duì)量子 E8可積模型的研究工作中,理論上嚴(yán)格計(jì)算了該系統(tǒng)的低溫局域動(dòng)力學(xué)行為及在零轉(zhuǎn)移動(dòng)量之時(shí)的動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)因子,并在動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)因子的連續(xù)譜區(qū)域得到了級(jí)聯(lián)冪次發(fā)散的奇性譜邊激發(fā).這些理論進(jìn)展在結(jié)合詳細(xì)的量子臨界標(biāo)度行為分析及大規(guī)模iTEBD 數(shù)值計(jì)算之后,成功促成了包括太赫茲譜學(xué)測(cè)量、非彈性中子散射、核磁共振等系列實(shí)驗(yàn),在BaCo2V2O8中首次實(shí)現(xiàn)量子 E8 可積模型.量子 E8可積模型的物理實(shí)現(xiàn)為在真實(shí)材料中研究量子可積系統(tǒng)的物理開拓了新的邊界.這一系列關(guān)于橫場(chǎng)伊辛鏈及量子 E8可積模型的研究進(jìn)展為量子不可積系統(tǒng)的研究帶來了新的契機(jī),并將啟發(fā)凝聚態(tài)系統(tǒng)、冷原子系統(tǒng)、統(tǒng)計(jì)場(chǎng)論和共形場(chǎng)論等相關(guān)方向的研究.

1 引言

量子相變指在零溫下通過調(diào)節(jié)參數(shù),強(qiáng)關(guān)聯(lián)多體系統(tǒng)發(fā)生的相變行為[1].在量子臨界點(diǎn)(quantum critical point,QCP) 附近,強(qiáng)烈的量子漲落往往會(huì)涌現(xiàn)出奇異的量子臨界行為[2-7].對(duì)這些量子臨界行為的深入理解將有助于解答長期懸而未決的物理問題[8-16],包括非常規(guī)高溫超導(dǎo)體、非費(fèi)米液體等[17-19],并有助于在材料中實(shí)現(xiàn)量子自旋液體[20,21],因此吸引著理論和實(shí)驗(yàn)的持續(xù)研究.量子臨界行為能被臨界指數(shù)所刻畫,每一組量子臨界指數(shù)對(duì)應(yīng)于一種普適類,并往往伴隨相應(yīng)的低能有效量子場(chǎng)論[1].即使微觀起源不同,屬于同一普適類的模型在QCP 附近也會(huì)展示出非常一致的物理,如標(biāo)度規(guī)律、關(guān)聯(lián)行為及動(dòng)力學(xué)激發(fā)等[1].因此,對(duì)普適類的深入研究可以使人們同時(shí)理解QCP 附近大量具有該普適類的微觀模型,而這意味著將實(shí)際系統(tǒng)調(diào)節(jié)向QCP 附近是實(shí)現(xiàn)并研究普適類之必要.然而,由于真實(shí)材料內(nèi)在的復(fù)雜性,只有極少數(shù)的QCP 可以被實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn),即使一些形式上并不復(fù)雜的微觀模型,如橫場(chǎng)伊辛鏈模型[22](transverse field Ising chain model,TFIC模型,見方程(1)),實(shí)驗(yàn)上也一直難以找到候選材料實(shí)現(xiàn)并研究其對(duì)應(yīng)的普適類.

在QCP 處對(duì)體系的微擾可能會(huì)進(jìn)一步涌現(xiàn)出豐富的物理,如涌現(xiàn)對(duì)稱性和涌現(xiàn)可積性(涌現(xiàn)對(duì)稱性指量子系統(tǒng)在低能物理中的對(duì)稱性大于完整的哈密頓量的對(duì)稱性.涌現(xiàn)可積性指不可積系統(tǒng)在某些特定的參數(shù)區(qū)間成為可積系統(tǒng),產(chǎn)生了可積性;或可積系統(tǒng)在恰當(dāng)擾動(dòng)下又呈現(xiàn)出新的可積性)[3-6,23-26].自1989 年起Zamolodchikov等[23,24,27-29]發(fā)展了微擾共形場(chǎng)論(perturbed conformal field theory,pCFT).他們通過在不同普適類的臨界點(diǎn)處施加微擾,發(fā)現(xiàn)了一系列能夠由例外李代數(shù)(exceptional Lie algebra)描述的可積模型[24].比如,QCP 處的TFIC 模型在縱向磁場(chǎng)的微擾下會(huì)涌現(xiàn)出量子E8可積模型[23,24,27-31].這類涌現(xiàn)現(xiàn)象同樣具有普適性,一方面不依賴于微觀模型的具體細(xì)節(jié),另一方面拓展了量子可積模型范圍,有利于推動(dòng)實(shí)驗(yàn)在實(shí)際材料中對(duì)可積模型進(jìn)行研究.

近年來,吳建達(dá)及其合作者在理論和實(shí)驗(yàn)的共同努力下,在強(qiáng)關(guān)聯(lián)材料BaCo2V2O8(BCVO)和SrCo2V2O8(SCVO) 中首次成功實(shí)現(xiàn)TFIC 模型的普適類[22,32-35],并在BCVO 材料中首次實(shí)現(xiàn)量子E8可積模型[30,36,37].這一系列進(jìn)展不僅是量子可積磁性理論和實(shí)驗(yàn)上的突破[2],也展示了對(duì)量子臨界行為、普適類、涌現(xiàn)對(duì)稱性和涌現(xiàn)可積性研究的重要意義,更開拓了于真實(shí)材料中實(shí)現(xiàn)并研究量子可積模型的重要方向.本文按照歷史的脈絡(luò),從理論和實(shí)驗(yàn)兩個(gè)方面綜述了這一系列的進(jìn)展.全文組織如下:第2節(jié)分別回顧TFIC 模型和橫場(chǎng)海森伯-伊辛鏈的量子臨界行為及其普適類;第3節(jié)介紹證實(shí)BCVO 材料和SCVO 材料中TFIC 模型普適類的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展;第4節(jié)概括量子E8模型的理論背景和進(jìn)展;第5節(jié)敘述量子E8模型在材料中的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn);第6節(jié)為總結(jié)與展望.

2 伊辛普適類

2.1 橫場(chǎng)伊辛鏈

TFIC 模型的哈密頓量為[1,22]

其中J及gJ分別為鐵磁及橫場(chǎng)與自旋間的相互作用強(qiáng)度.=/2,α=x,y,z表示在格點(diǎn)i處的自旋 1/2算符,是泡利矩陣.該模型是一精確可解模型,利用約當(dāng)—魏格納變換 (Jordan-Wigner transformation)和波格留波夫 (Bogoliubov)變換可以對(duì)角化該哈密頓量并求解出其激發(fā)譜[1,22,32]:

1970 年,Pfeuty[22]首次研究了TFIC 模型的量子相變.1984 年,Zamolodchikov 等[3,30,38]證明了當(dāng)g=gc時(shí)TFIC 模型的低能物理可以被中心荷 1/2 的共形場(chǎng)論 (central charge 1/2 conformal field theory,CFTc=1/2)所描述.在標(biāo)度極限下[30],TFIC 模型中的自旋算符及分別對(duì)應(yīng)于CFTc=1/2中自旋密度算符σ(x) 及能量密度算符ε(x).當(dāng)|x|→0 時(shí),其兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)具有標(biāo)度行為[31,38]

σ(x)和ε(x)對(duì)應(yīng)的標(biāo)度維度分別是2Δσ=1/8和2Δε=1[30,31,38],它們刻畫了TFIC 模型的普適類,同時(shí)也刻畫了二維經(jīng)典伊辛模型的普適類[39](以下簡稱該普適類為伊辛普適類).然而,自TFIC模型提出后的近半個(gè)世紀(jì)里,具有伊辛普適類的強(qiáng)關(guān)聯(lián)材料卻一直沒有被確認(rèn)存在,這是因?yàn)橐环矫鎸?shí)驗(yàn)上受限于實(shí)驗(yàn)精度,另一方面缺乏有效的理論指導(dǎo)去分辨并證實(shí)觀測(cè)到的量子臨界行為是否屬于伊辛普適類.比如,方程(3)所提及的標(biāo)度行為是等時(shí)短程關(guān)聯(lián),實(shí)驗(yàn)上不具有可操作性,無法進(jìn)行測(cè)量.2018 年,吳建達(dá)與合作者[32]關(guān)于伊辛普適類格林艾森比率 (Grüneisen ratio)量子臨界標(biāo)度行為的理論突破為實(shí)驗(yàn)提供了一個(gè)可靠的判定標(biāo)準(zhǔn).這里先簡要?dú)w納伊辛普適類在QCP 附近的標(biāo)度規(guī)律,這些標(biāo)度規(guī)律皆可作為判斷伊辛普適類的依據(jù)[1,22,32].首先,QCP 附近系統(tǒng)的磁化Mz滿足Mz≈|g-gc|δ,其中δ=1/8.其次,在QCP 附近考慮自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)

該關(guān)聯(lián)隨格點(diǎn)間距呈指數(shù)衰減,即Cij≈e-|i-j|/ξ,其中ξ被稱為關(guān)聯(lián)長度,滿足標(biāo)度律 1/ξ≈|gc-g|ν,ν=1.此時(shí)系統(tǒng)激發(fā)的能隙滿足標(biāo)度律Δ≈|gc-g|zν,z=1 被稱為動(dòng)力學(xué)臨界指數(shù)[1,32,35].

由于臨界指數(shù)也可以直接用于分析熱力學(xué)量臨界行為,因此在實(shí)驗(yàn)方面,可以通過測(cè)量相應(yīng)熱力學(xué)量的量子臨界行為考察相關(guān)材料的普適類性質(zhì).比如考慮和磁熱效應(yīng)相關(guān)的熱力學(xué)量格林艾森比率:

其中H是可控外場(chǎng);cH,αH,M和S分別為摩爾比熱、磁膨脹系數(shù)、每摩爾磁化強(qiáng)度和熵.在TFIC模型中,相關(guān)物理量均可被解析地求解出來[32].零溫極限下,格林艾森比率在橫場(chǎng)趨于TFIC 模型的QCP 時(shí)趨于發(fā)散而在量子臨界區(qū)內(nèi),趨于QCP 時(shí),格林艾森比率則趨于常數(shù)[32].此奇異的量子臨界行為一方面表明了TFIC 模型的QCP 是本性奇點(diǎn),另一方面則可作為TFIC 模型中伊辛普適類的獨(dú)特特征,為實(shí)驗(yàn)探測(cè)伊辛普適類提供有效的理論指導(dǎo).值得一提的是,格林艾森比率的發(fā)散行為意味著熵極大值會(huì)出現(xiàn)在QCP 附近[40],這在相關(guān)材料的量子臨界測(cè)量中得到確認(rèn),如Sr3Ru2O7和CeCu6-xAux等[41,42].于是,基于上述理論,在實(shí)驗(yàn)中可以通過測(cè)量相關(guān)材料格林艾森比率的量子臨界行為,判斷該材料的普適類是否是伊辛普適類.

2.2 橫場(chǎng)海森伯-伊辛鏈

接下來總結(jié)橫場(chǎng)海森伯 -伊辛鏈在外加橫場(chǎng)之下的可能量子相變及其普適類特征,首先考察外加均勻橫場(chǎng)之下的海森伯-伊辛鏈:

這里Hx是自旋和橫場(chǎng)的耦合系數(shù).ε通常取0—1之間,當(dāng)ε=0,1 時(shí)該模型分別對(duì)應(yīng)TFIC和橫場(chǎng)海森伯鏈,于是稱該模型為橫場(chǎng)海森伯-伊辛鏈[43,44].此前已經(jīng)證明了該模型在加橫場(chǎng)后會(huì)存在伊辛普適類[44].2019 年,吳建達(dá)及合作者[35]利用大規(guī)模infinite time-evolving block decimation (iTEBD)數(shù)值計(jì)算證明了引入垂直于所加均勻橫場(chǎng)的交錯(cuò)橫場(chǎng)后,該模型在量子相變點(diǎn)處依舊展示了伊辛普適類.考慮一般的帶有交錯(cuò)橫場(chǎng)的海森伯-伊辛鏈哈密頓量

圖1 TFIC 模型相圖.g 為橫場(chǎng)參數(shù),gc=1 為QCP.在相變點(diǎn)左側(cè),青藍(lán)色實(shí)線代表零溫下的鐵磁相;在相變點(diǎn)右側(cè),黃色實(shí)線代表零溫下的順磁相.相圖中的兩斜虛線為低溫下各個(gè)不同無序區(qū)域的過渡邊界,而上方虛線則是量子臨界區(qū)域到經(jīng)典區(qū)域的過渡邊界Fig.1.A phase diagram of TFIC,where g labels transverse field,and gc=1 is the QCP.The cyan solid line represents for ferromagnetic phase at zero temperature on the left of the critical point,while on the right the yellow solid line stands for a paramagnetic phase at zero temperature.The two tilted dotted lines illustrate the crossovers of different disorder phases in low temperature region,while the dotted line above shows a crossover from quantum critical region to classical region.

利用iTEBD 數(shù)值方法,在gx-gy-ε三維參數(shù)空間內(nèi)可以精確計(jì)算該有效模型中展現(xiàn)伊辛普適類物理的QCPs,所有的QCPs 組成了gx-gy-ε參數(shù)空間內(nèi)一量子臨界曲面,如圖2[35]所示.

圖2 由iTEBD 計(jì)算得出的針對(duì)模型方程(7)的量子臨界曲面 (圖片經(jīng)文獻(xiàn)[35]允許轉(zhuǎn)載,版權(quán)歸2019 IOP Publishing Ltd 所有)Fig.2.Quantum critical surface calculated by iTEBD algorithm for Eq.(7).(Reprinted with permission from Ref.[35].Copyright 2019 IOP Publishing Ltd.).

該理論工作進(jìn)一步考察了帶有交錯(cuò)橫場(chǎng)的海森伯-伊辛鏈存在沿z方向的4 周期磁場(chǎng)微擾項(xiàng)的情形,發(fā)現(xiàn)這一微擾項(xiàng)僅輕微移動(dòng)QCP 的位置而不改變相應(yīng)的伊辛普適類.計(jì)算結(jié)果見圖3[35].

圖3 (a)交錯(cuò)磁化 Mz(g)的計(jì)算結(jié)果.藍(lán)線和紅線分別代表了帶有和不帶有4 周期項(xiàng)的數(shù)據(jù).這兩條曲線可以分別用Mz=0.524(gc1-g)0.126和Mz=0.530(gc2-g)0.128來擬合,其中 gc1=0.1454,gc2=0.1456,在誤差精度范圍內(nèi)均可得到臨界指數(shù)為 1/8的結(jié)論.內(nèi)嵌圖是利用對(duì)數(shù)坐標(biāo)軸畫出的 Mz的標(biāo)度行為.(b)半對(duì)數(shù)坐標(biāo)軸下糾纏熵 SEE(l)和鏈長 l 的關(guān)系,兩種情況都符合伊辛普適類的 1/2中心荷.(c)當(dāng) g=0.1448時(shí),自旋兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)和距離 i-j間的函數(shù)關(guān)系.內(nèi)嵌圖展示了 ln C(i-j) 在長程時(shí)與 i-j成正比.(d)關(guān)聯(lián)長度的倒數(shù)和g的函數(shù)關(guān)系,兩種情況都符合伊辛普適類中關(guān)聯(lián)長度指數(shù) ν=1 的結(jié)論(圖片經(jīng)文獻(xiàn)[35]允許轉(zhuǎn)載,版權(quán)歸2019 IOP Publishing Ltd 所有)Fig.3.(a) iTEBD results for staggered magnetization Mz(g).The blue line and red line represent iTEBD data with and without the four periodic term,respectively.The two curves can be fitted with Mz=0.524(gc1-g)0.126and Mz=0.530(gc2-g)0.128,where gc1=0.1454,gc2=0.1456,and critical exponent δ=1/8 is obtained within error bar for both cases.Inset shows scaling behavior of Mzin log-logplot.(b) Entanglement entropy SEE(l)versus length lin a semi-log plot,both fall into central charge c=1/2of TFIC universality.(c) Spin-spin correlation function versus distance i-jat g=0.1448.Inset shows ln C(i-j)being proportional to i-jin long range region.(d) The inverse of correlation length in terms of g,both agree with correlation length exponent ν=1.(Reprinted with permission from Ref.[35].Cop yright 2019 IOP Publishing Ltd.).

綜上所述,該工作利用iTEBD 數(shù)值算法證明了在帶有交錯(cuò)橫場(chǎng)的海森伯-伊辛鏈中通過合理調(diào)整所加磁場(chǎng),可以到達(dá)伊辛普適類的量子臨界區(qū),從而實(shí)現(xiàn)伊辛普適類的物理.而由于BCVO和SCVO 材料均可被海森伯-伊辛鏈所描述[33-37],理論上預(yù)期這兩種材料在橫場(chǎng)調(diào)節(jié)之下可以實(shí)現(xiàn)伊辛普適類.第3節(jié)中將敘述在BCVO和SCVO材料中實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)伊辛普適類的一系列工作.實(shí)驗(yàn)測(cè)量所得到的BCVO 材料中格林艾森比率的量子臨界行為完美符合了伊辛普適類中該物理量量子臨界行為的理論結(jié)果,從而為BCVO 在外加強(qiáng)橫場(chǎng)之下涌現(xiàn)伊辛普適類提供了堅(jiān)實(shí)的判定依據(jù)[33].而利用核磁共振(NMR)實(shí)驗(yàn)輔以數(shù)值算法,通過對(duì)SCVO 材料及其有效模型進(jìn)行研究,我們證實(shí)了SCVO 材料在弱橫場(chǎng)下展現(xiàn)了伊辛普適類[34].

3 BCVO和SCVO 材料中的伊辛普適類

利用上述伊辛普適類的相關(guān)理論,吳建達(dá)及合作者[32-37]對(duì)BCVO和SCVO 材料展開測(cè)量并證實(shí)了這兩類準(zhǔn)一維材料在外加橫場(chǎng)之下能夠?qū)崿F(xiàn)伊辛普適類.BCVO和SCVO 是能被海森伯-伊辛鏈有效描述的準(zhǔn)一維反鐵磁材料,在外加磁場(chǎng)下一般性的有效哈密頓量為[43]

其中μB是玻爾磁子,H0為外加磁場(chǎng),代表g張量:

考慮加橫向磁場(chǎng)H0=H0ex,由于g張量的非對(duì)角元,此時(shí)在Y軸和Z軸會(huì)誘導(dǎo)出垂直于該磁場(chǎng)的有效磁場(chǎng),因此有[45]

其中

而ξ軸、ψ軸和ζ軸代表將實(shí)驗(yàn)室的XYZ坐標(biāo)軸繞Y軸轉(zhuǎn)θ角,繞Z軸轉(zhuǎn)?角后得到的材料中的局域坐標(biāo)軸.CoO6的晶格結(jié)構(gòu)、螺旋鏈結(jié)構(gòu)及坐標(biāo)軸間的關(guān)系如圖4所示.

圖4 (a) CoO6八面體的結(jié)構(gòu);(b) CoO6四周期螺旋鏈的單元結(jié)構(gòu)及局域坐標(biāo)系ξψζ;(c)局域坐標(biāo)系ξψζ 與實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系XYZ 的關(guān)系Fig.4.(a) Structure of CoO6octahedron;(b) a unit structure of CoO6four-period screw chain and the local coordinate ξψζ ;(c) relation between the local coordinate ξψζ and the lab coordinate XYZ.

對(duì)于外加磁場(chǎng)沿[110]和[100]兩種情況,?1分別取 0°和45°.以BCVO 為例,若對(duì)該材料施加沿[110]的磁場(chǎng),則gxy=gxz=0,可以避免誘導(dǎo)出有效交錯(cuò)橫場(chǎng).在低溫下對(duì)該材料進(jìn)行磁熱效應(yīng)測(cè)量,可以得到隨溫度和橫場(chǎng)變化的格林艾森比率數(shù)據(jù).對(duì)該數(shù)據(jù)的標(biāo)度行為分析完全符合理論上對(duì)TFIC 模型格林艾森比率量子臨界行為的預(yù)期,從而確認(rèn)該材料QCP 在=40 T 附近,并在該點(diǎn)附近涌現(xiàn)出伊辛普適類(圖5)[33].

圖5 (a) BCVO 材料在加[110]方向磁場(chǎng)后的相圖,利用從不同起始溫度出發(fā)的絕熱磁熱測(cè)量得出.紅色區(qū)域內(nèi)直到 20 T 處標(biāo)記了一有限溫的三維序.一維QCP 出現(xiàn)在 =40 T 附近,上方黃色區(qū)域?yàn)榱孔优R界區(qū).(b),(c)以磁場(chǎng)和溫度作為自變量的格林艾森比率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).在圖(b)中,大于QCP 時(shí)不同溫度的數(shù)據(jù)展現(xiàn)了 ΓB≈(B-)-1 的發(fā)散行為.相對(duì)應(yīng)地,當(dāng)場(chǎng)強(qiáng)在臨界場(chǎng)強(qiáng)附近時(shí),低溫下格林艾森比率 ΓB(T) 趨于收斂(圖片經(jīng)文獻(xiàn)[33]允許轉(zhuǎn)載,版權(quán)歸2018 American Physical Society 所有)Fig.5.(a) Phase diagram of BCVO material with a transverse field along [110],obtained from adiabatic magnetocaloric-effect measurements starting from different temperatures.Red area labels a finite-temperature three dimensional (3D) order until 20 T.The one dimensional (1D) QCP appears around =40 T,while the yellow area above labels quantum critical region.(b),(c) Experimental data of Grüneisen ratio in terms of magnetic field and temperature.In panel (b) data of different temperature above the QCP shows divergent behavior of ΓB≈(B-)-1.Correspondingly,with the field being around the critical field,Grüneisen ratio converges in low temperature.(Reprinted with permission from Ref.[33].Copyright 2018 American Physical Society).

然而,40 T 左右的量子臨界磁場(chǎng)過于昂貴,難以從此出發(fā)繼續(xù)深入研究與伊辛普適類相關(guān)的物理.此后不久,吳建達(dá)及合作者[34-37]在對(duì)SCVO和BCVO 的進(jìn)一步研究中發(fā)現(xiàn),沿[100](或[010])方向施加一橫向磁場(chǎng)所誘導(dǎo)出的沿[010](或[100])的有效交錯(cuò)橫場(chǎng)能極大降低達(dá)到QCP 所需要的磁場(chǎng)強(qiáng)度,相關(guān)的數(shù)值分析已在2.2節(jié)中提及(圖2)[35].這里介紹吳建達(dá)及合作者對(duì)施加沿[100]方向磁場(chǎng)的SCVO 材料的伊辛普適類QCP 的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展.此時(shí),該材料的有效哈密頓量為[34]

其中J≈7.5meV,各向異性因子ε=0.47.gx≈2.79為旋磁比率,誘導(dǎo)出的有效交錯(cuò)橫場(chǎng)Hy≈0.4H,四周期場(chǎng)Hz≈0.14H.利用NMR 實(shí)驗(yàn)可以測(cè)量此時(shí)的QCP 及其普適類,測(cè)量結(jié)果見圖6[34].在SCVO 中,沿[100]方向調(diào)節(jié)磁場(chǎng)會(huì)涌現(xiàn)出兩個(gè)QCPs,記為Hc1和Hc2.其中,Hc1≈7.03 T 代表三維序的終點(diǎn),而Hc2≈7.7 T 對(duì)應(yīng)伊辛普適類的量子臨界點(diǎn)[34].

圖6 外加[100]方向磁場(chǎng)的SCVO 材料相圖.圖中AFM,QCR和QD 分別代表反鐵磁相、量子臨界區(qū)和量子無序區(qū).兩個(gè)QCPs分別為 Hc1≈7.03 T和Hc2≈7.7 T.藍(lán)色線可以被曲線 ～|Hc2-H| 所擬合,揭示了該QCP 對(duì)應(yīng)伊辛普適類.內(nèi)嵌圖是兩QCPs 附近擬合曲線的放大 (圖片經(jīng)文獻(xiàn)[34]允許轉(zhuǎn)載,版權(quán)歸2019 American Physical Society 所有)Fig.6.Phase diagram of SCVO with transverse field along[100].The AFM,QCR and QD in the figure corresponds to anti-ferromagnetic phase,quantum critical region and quantum disordered region,respectively.The two QCPs are Hc1≈7.03 T and Hc2≈7.7 T.The blue line can be fitted with ～|Hc2-H|,implying the Ising universality of the 1D QCP.Inset is an enlarged figure of the fitting curves near two QCPs.(Reprinted with permission from Ref.[34].Copyright 2019 American Physical Society).

這篇工作表明,對(duì)于能被海森伯-伊辛鏈有效描述的磁性材料而言,若外加橫向磁場(chǎng)時(shí)能誘導(dǎo)出新的平面內(nèi)交錯(cuò)磁場(chǎng),這些誘導(dǎo)場(chǎng)能夠有效壓制達(dá)到臨界磁場(chǎng)所需要的的場(chǎng)強(qiáng)大小,從而在一個(gè)較小的磁場(chǎng)環(huán)境下實(shí)現(xiàn)伊辛普適類.

本節(jié)總結(jié)了在BCVO和SCVO 中實(shí)現(xiàn)伊辛普適類的實(shí)驗(yàn)工作[33,34].在實(shí)現(xiàn)伊辛普適類之后,筆者及合作者結(jié)合理論工作進(jìn)展[30,46],推動(dòng)了量子E8可積模型(以下簡稱E8模型)的物理實(shí)現(xiàn).下文將首先介紹與該模型相關(guān)的理論背景及研究進(jìn)展[30,46-50],再詳細(xì)描述理論及實(shí)驗(yàn)共同合作促成的該奇異模型在BCVO 材料中的實(shí)現(xiàn).

4 量子E8可積模型

1990 年前后,Zamolodchikov[23]和Fateev 等[24]證明了對(duì)應(yīng)于某一特定中心荷的CFT,若它被一相關(guān)元場(chǎng)所微擾,該CFT 對(duì)應(yīng)的哈密頓量會(huì)成為能夠被例外李代數(shù)所描述的可積模型[16,27-31].特別地,對(duì)于中心荷c=1-6/[p(p+1)]的CFT 哈密頓量Hp,其被相關(guān)元場(chǎng)Φp微擾的哈密頓量為

當(dāng)p=6,4,3時(shí),該微擾哈密頓量可以分別被E6,E7,E8例外李代數(shù)所描述,對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)分別包含有6,7,8種準(zhǔn)粒子激發(fā)[24,51-57].在QCP處,TFIC模型是中心荷c=1/2 的CFT[3],在標(biāo)度極限下,自旋密度算符為相關(guān)元場(chǎng)[30,31],在其微擾下的哈密頓量

成為一個(gè)激發(fā)譜能夠被E8例外李代數(shù)所描述的量子可積模型[16,27-38],其對(duì)應(yīng)的格點(diǎn)模型為被一縱向磁場(chǎng)所微擾的QCP 處(g=gc=1)的TFIC 模型[30,36,37]:

E8模型包含有8 種不同的準(zhǔn)粒子激發(fā).其中最輕的準(zhǔn)粒子質(zhì)量m1=Ch8/15,C=4.4049···[58].而次輕準(zhǔn)粒子質(zhì)量m2與m1滿足黃金分割,即m2=2 cos(π/5)m1≈1.618m1.其他準(zhǔn)粒子的質(zhì)量都可以通 過m1及m2精確地得到.E8模型相圖如圖7所示.該相圖給出了E8準(zhǔn)粒子激發(fā)與伊辛普適類的聯(lián)系:在TFIC 模型的伊辛普適類處,QCP 附近的物理可以用中心荷 1/2 的共形場(chǎng)論描述.此時(shí)縱向磁場(chǎng)的微擾提供了一個(gè)微弱的禁閉效應(yīng),引起一系列完美共振的介子態(tài),從而產(chǎn)生8 種E8模型的準(zhǔn)粒子激發(fā)[59,60].因此縱向磁場(chǎng)較小的區(qū)間正是可以涌現(xiàn)出量子E8模型的區(qū)間,如圖7中藍(lán)色區(qū)域所示.而這些準(zhǔn)粒子間的精確質(zhì)量關(guān)系亦見于圖7.

圖7 E8模型相圖.圖中藍(lán)色實(shí)線代表了 E8模型涌現(xiàn)的區(qū)域,其中 g和hz分別對(duì)應(yīng)于橫場(chǎng)參數(shù) g和方程(17)中的hz.其余E8準(zhǔn)粒子的質(zhì)量和m1和m2的關(guān)系列于右上,其中 m1為最輕準(zhǔn)粒子的質(zhì)量Fig.7.A phase diagram of E8 model.The blue solid line in the figure implies region of E8 model emerging,whereg and hzcorrespond to transverse parameter gand hz in Eq.(17) respectively.Relations of other E8 particles'masses to m1 and m2 are listed in the top right-hand corner,where m1 is mass of the lightest particle.

關(guān)于FF 的一般性討論可參考文獻(xiàn)[30,31,61-64].而對(duì)于E8模型FF 的求解則可見于文獻(xiàn)[30,47],這里不再贅述.

在方程(20)中,通過引入不同粒子數(shù)態(tài),依粒子數(shù)的不同,總體的貢獻(xiàn)可分解為不同的通道,即單粒子通道、兩粒子通道、三粒子通道和四粒子通道[30].由于質(zhì)量最大的E8粒子的質(zhì)量約在 4.8m1左右,而計(jì)算表明隨著能量增加譜權(quán)重急劇衰減,因此選取DSF直至ω=5m1.以Dyy(ω)為例,其DSF 譜如圖8所示.這一解析計(jì)算的結(jié)果展示了豐富的物理:首先,對(duì)于單粒子通道,所有的譜均為共振峰,位置分別對(duì)應(yīng)了E8模型中8 種準(zhǔn)粒子的質(zhì)量.隨著能量的增大共振峰的強(qiáng)度不斷衰減.這是由于在粒子質(zhì)量增大的同時(shí),單粒子形式因子的絕對(duì)數(shù)值也在不斷減小,而單粒子通道的譜權(quán)重的峰值正比于|F|2/m,因此質(zhì)量越大的單粒子對(duì)應(yīng)的峰值越小.其次,對(duì)于兩粒子通道,含不同類型粒子a和b的通道譜存在譜邊發(fā)散行為,位于這兩粒子的質(zhì)量之和邊界ω0=ma+mb處.這是由兩粒子態(tài)密度的發(fā)散行為所導(dǎo)致的,即范·霍夫奇性 (Van Hove’s singularity)[30].兩相同類型的粒子組合卻不存在這種發(fā)散行為,這是由于它們的FF 特殊結(jié)構(gòu)恰好能夠消除由態(tài)密度導(dǎo)致的發(fā)散.最后,三粒子和四粒子通道的譜貢獻(xiàn)不存在上述的發(fā)散行為,且二者行為相似,貢獻(xiàn)都比較小.這是由于隨著引入粒子數(shù)的增多,FF的絕對(duì)大小在不斷衰減,同時(shí)由于相空間的增大,奇性行為被消去.從圖8的解析數(shù)據(jù)可以預(yù)期,隨著能量的不斷升高,高能區(qū)的DSF 譜會(huì)不斷衰減,其行為相對(duì)來說較為平凡.將解析計(jì)算得出的DSF譜線以實(shí)驗(yàn)測(cè)量的能量分辨率作展寬后[30],便可以與實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比以驗(yàn)證具體材料中是否實(shí)現(xiàn)E8模型.

圖8 Dyy(ω)的解析計(jì)算結(jié)果 (a)單粒子通道的譜權(quán)重貢獻(xiàn),8 個(gè)峰的位置依次對(duì)應(yīng) E8模型8 種粒子的質(zhì)量,其中 m1=1 ;(b)—(d)二粒子、三粒子和四粒子通道的譜權(quán)重貢獻(xiàn),圖中分別標(biāo)出了譜線和峰的具體貢獻(xiàn)來源(圖片經(jīng)文獻(xiàn)[30]允許轉(zhuǎn)載,版權(quán)歸2021 American Physical Society 所有)Fig.8.(a) Spectrum contribution from single particle channel,the eight delta peaks one-by-one correspond to the masses of the eight particles in the quantum E8 model with m1=1 ;(b)—(d) contributions from two,three and four particle channels.The detailed contributions of different peaks and curves are highlighted in the sub-figures.(Reprinted with permission from Ref.[30].Copyright 2021 American Physical Society).

5 BCVO 材料中的E8激發(fā)

2010 年,牛津大學(xué)的Coldea 實(shí)驗(yàn)組[65]利用非彈性中子散射技術(shù)(inelastic neutron scattering,INS)對(duì)準(zhǔn)一維磁性材料CoNb2O6展開了自旋動(dòng)力學(xué)譜的測(cè)量.其測(cè)量結(jié)果提供了量子E8模型可在材料中實(shí)現(xiàn)的初步實(shí)驗(yàn)證據(jù),這體現(xiàn)在質(zhì)量最輕的兩個(gè)粒子質(zhì)量比滿足黃金分割.然而,受限于實(shí)驗(yàn)分辨率,其測(cè)量結(jié)果未能得到較為精確的連續(xù)譜,無法就連續(xù)譜區(qū)域的相關(guān)的E8物理做出有效的比對(duì),從而未能就該材料是否能完整實(shí)現(xiàn)量子E8模型給出確定性的回答.之后,2020 年對(duì)該材料的太赫茲 (THz) 譜測(cè)量[66]得到了詳細(xì)且精確的連續(xù)譜,實(shí)驗(yàn)所展示的連續(xù)譜區(qū)域特征和解析上得到的E8譜存有明顯的偏差,因此該材料是否能實(shí)現(xiàn)量子E8模型有待進(jìn)一步深入仔細(xì)的研究[67,68].接下來聚焦于 BCVO 材料中實(shí)現(xiàn)量子E8模型的工作.

前文所述的E8模型對(duì)應(yīng)的格點(diǎn)模型為鐵磁相互作用,而若想在反鐵磁相互作用下實(shí)現(xiàn)E8模型,需要將方程(17)中的縱場(chǎng)轉(zhuǎn)為交錯(cuò)縱場(chǎng),這在凝聚態(tài)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)中幾乎不可能通過外加手段實(shí)現(xiàn),因此只能另辟蹊徑.考慮沿[010]方向的外加磁場(chǎng),材料的有效哈密頓量為[34-37]

圖9 (a) BCVO 的晶格結(jié)構(gòu).(b) 加沿[010]方向磁場(chǎng)后BCVO 的相圖,QCP 為 ,隱藏在三維序中,其一維量子臨界行為可在三維序外測(cè)得.棕色圓圈代表由NMR 實(shí)驗(yàn)測(cè)出的尼爾(Néel)溫度 TN.=(10.4±0.1)T,=(4.7±0.3)T.E8模型在藍(lán)色緞帶區(qū)涌現(xiàn).(c) 8 種 E8粒子的質(zhì)量以 m1為單位沿能量軸分布(圖片經(jīng)文獻(xiàn)[37]允許轉(zhuǎn)載,版權(quán)歸2021 American Physical Society 所有)Fig.9.(a) Crystal structure of BCVO.(b) Phase diagram of BCVO with a transverse field along [010]direction.QCP is at ,hidden in the 3D order.Its quantum criticality can be measured outside the 3D ordering phase.Brown circles represent for Néel temperature TN measured by NMR experiments.=(10.4±0.1)T, =(4.7±0.3)T.E8 model emerges in the blue ribbon area.(c) Masses of eight E8 particles along energy axis in unit of m1.(Reprinted with permission from Ref.[37].Copyright 2021 American Physical Society).

圖10 三維反鐵磁序外NMR 實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果 (a) 在不同橫場(chǎng)下測(cè)得自旋-晶格弛豫率 1/T1關(guān)于溫度的函數(shù).下箭頭標(biāo)記出決定TN的 1/T1的峰.(b)擬合 1/T1得到能隙,溫度區(qū)間為6—12 K.具體細(xì)節(jié)見文獻(xiàn)[37].QCP 位于 (4.7±0.3) T.內(nèi)嵌圖是對(duì)數(shù)坐標(biāo)下放大的低溫區(qū)數(shù)據(jù).灰色直線區(qū)域內(nèi)的量子臨界行為可以擬合為 1/T1～T-0.75 (圖片經(jīng)文獻(xiàn)[37]允許轉(zhuǎn)載,版權(quán)歸2021 American Physical Society 所有)Fig.10.NMR experiment result outside the 3D anti-ferromagnetic ordering phase.(a) Spin-lattice relaxation rate 1/T1 with different transverse fields as a function of temperature.The down arrows label 1/T1 peaks that determining TN.(b) Energy gap by fitting 1/T1,with temperature being from 6 K to 12 K.The details can be found in Ref.[37].QCP is at (4.7±0.3) T.Inset:a log-logplot of enlarged data in low-temperature region.The quantum critical behavior around the gray line area can be fitted by 1/T1～T-0.75.(Reprinted with permission from Ref.[37].Copyright 2021 American Physical Society).

圖11 (a) Q=(002)QCP 處INS 測(cè)量數(shù)據(jù),場(chǎng)強(qiáng) H=4.7T,溫度 0.4 K.藍(lán)色方塊及誤差棒為實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù),黑線是高斯函數(shù)的擬合.紅色豎線對(duì)應(yīng)于8 種 E8模型的粒子.其他的峰來自于多粒子通道的連續(xù)譜貢獻(xiàn)以及布里淵區(qū)折疊效應(yīng)(標(biāo)記于 F1和F2處).(b) 解析計(jì)算的 Dxx(ω),數(shù)據(jù)經(jīng)過 0.08m1洛倫茲展寬.m1=1.2 meV.紅色線和黑色線分別代表單粒子激發(fā)貢獻(xiàn)及引入多粒子激發(fā)貢獻(xiàn)的總和.(c) iTEBD 數(shù)值計(jì)算有效模型在轉(zhuǎn)移動(dòng)量 q=0 處的激發(fā)譜,其中藍(lán)線和黑線代表不包含及包含折疊效應(yīng)的數(shù)據(jù).(d)—(g) 單粒子到四粒子激發(fā)通道的貢獻(xiàn),ijkl代表激發(fā)來自于 mimjmkml 通道(圖片經(jīng)文獻(xiàn)[37]允許轉(zhuǎn)載,版權(quán)歸2021 American Physical Society 所有)Fig.11.(a) INS data obtained from Q=(002)at QCP with H=4.7T,temperature 0.4 K.The blue diamonds with error bars are experimental data,the black curve is fitted with Gaussian functions.The red vertical lines correspond to eight particles ofE8model.Other peaks are contributed from multi-particle channels and zone-folding effect (labelled at F1 and F2).(b) Analytical result of Dxx(ω)with a 0.08m1 Lorentzian boradening.m1=1.2 meV.Red curve and black curve are single particle spectrum and total spectrum including multi-particle excitations respectively.(c) Effective model spectrum of iTEBD calculation at q=0,where blue curve and black curve are results of without and with zone-folding effect.(d)—(g) single particle-four particle excited channels' contributions,where ijklrepresents for mimjmkml channel.(Reprinted with permission from Ref.[37].Copyright 2021 American Physical Society).

6 結(jié)論

本文綜述了在BCVO和SCVO 材料中首次發(fā)現(xiàn)伊辛普適類并在BCVO 材料中首次實(shí)現(xiàn)E8模型激發(fā)的研究進(jìn)展.敘述了便于判斷伊辛普適類的格林艾森比率的奇異量子臨界行為.隨后介紹了橫場(chǎng)海森伯-伊辛鏈并敘述了數(shù)值驗(yàn)證其具有伊辛普適類的理論進(jìn)展.通過將數(shù)值方法和實(shí)驗(yàn)相結(jié)合,確認(rèn)了BCVO和SCVO 材料在外加橫場(chǎng)之下會(huì)涌現(xiàn)出伊辛普適類.在此基礎(chǔ)上,介紹了E8模型主要的理論進(jìn)展及在理論與實(shí)驗(yàn)的共同推動(dòng)下于BCVO 材料中實(shí)現(xiàn)E8模型的一系列工作.

這些研究進(jìn)展充分展示了普適類的強(qiáng)大力量,其所蘊(yùn)含的迷人的物理現(xiàn)象持續(xù)吸引著人們對(duì)量子臨界物理及相關(guān)普適類物理的進(jìn)一步的探索[2].我們期待未來通過更多的凝聚態(tài)理論和實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家的合作,能在實(shí)際材料中實(shí)現(xiàn)更多非平凡的普適類,并能通過深入研究這些奇異系統(tǒng)中的非平凡物理激發(fā),最終實(shí)現(xiàn)物理操縱這些奇異的激發(fā)并期望能夠服務(wù)于新穎量子器件的設(shè)計(jì)與開發(fā).