單位球上QK(p,q)空間與F(p,q,s)空間的包含關(guān)系

胡 蓉

(四川文理學院 數(shù)學學院，四川 達州 635000)

1 預備知識

定義1[7]F(p,q,s)空間定義為：

的全純函數(shù)空間.

顯然，當K(t)=ts時，QK(p,q)=F(p,q,s).

在下文中假設(shè)K(r)滿足條件

(1)

否則QK(p,q)為只包含常值函數(shù)的平凡空間.[3]

2 主要結(jié)果及證明

定理1 假設(shè)K(1)>0，記K1(r)=inf(K(r),K(1)),則QK(p,q)=QK1(p,q).

由f∈QK1(p,q)可得上式第二部分<∞，而第一部分有

當0

故有

即f∈QK(p,q).得證.

證明：由定理1可知，QK(p,q)空間中核函數(shù)K可用一有界的權(quán)函數(shù)代替，因此不妨假設(shè)K1(r)0)，使得QK(p,q)=QK1(p,q).任取f∈F(p,q,0),

即有f∈QK1(p,q)，從而F(p,q,0)?QK(p,q).

證明：充分性.由定理2只需證K(0)>0時，QK(p,q)?F(p,q,0).由核函數(shù)K和G(z,a)的性質(zhì)可得K(0)≤K(G(z,a))，從而任取f∈QK(p,q)，有

由K(0)>0，有f∈F(p,q,0)，即QK(p,q)?F(p,q,0)，得證.

必要性.如果K(0)=0，根據(jù)引理2，不妨設(shè)K(r)≤1,r∈(0,1)，記K1(r)=K(r)，K2(r)=K(1)，由K的單調(diào)性可得K1(r)≤K2(r)；又有

=∞

由引理2可得QK2(p,q)?QK1(p,q)，從而F(p,q,0)?QK2(p,q)?QK1(p,q)，與已知條件F(p,q,0)=QK(p,q)矛盾，所以K(0)>0.