星像函數(shù)和凸像函數(shù)的逆函數(shù)的三階Hankel行列式*

宋 園

(滁州職業(yè)技術(shù)學院基礎(chǔ)部，安徽 滁州 239000)

1 基礎(chǔ)知識

在單位圓盤Δ={z:|z|<1}內(nèi)，泰勒展式為

f(z)=z+a2z2+a3z3+…

(1)

的解析函數(shù)的全體記為T，T中的所有的單葉函數(shù)記為S.Noonan等[1]首次引入函數(shù)f(z)的q階Hankel行列式

其中a1=1,m≥1,q≥1.當m,q取一些特殊值時，

于是H3(1)=a3H2(2)-a4(a4-a2a3)+a5H2(1).

有學者研究了解析函數(shù)類T的三階Hankel行列式[2-5]和單葉函數(shù)的逆函數(shù)的前幾項系數(shù)估計或部分二階Hankel行列式[6-9].筆者擬討論星像函數(shù)和凸像函數(shù)的逆函數(shù)的三階Hankel行列式.

用P表示Δ={z:|z|<1}解析且正實部大于0且具有形式p(z)=1+p1z+p2z2+…的函數(shù)類.

引理3[10]若p(z)∈P，則有|pn|≤2(n≥1).

引理4[11]若p(z)∈P，則存在復數(shù)x,z(|x|<1,|z|<1)，滿足

2 主要結(jié)果

證明因為f(z)∈S*，所以存在p(z)∈P，滿足

(2)

將(1)式代入(2)式，計算比較z和z2的系數(shù)，可得

a2=p1,

(3)

(4)

(5)

(6)

因為

(7)

是f的逆函數(shù)，所以

f-1(f(z))=f(f-1(z))=z.

(8)

由(1)，(7)和(8)式，可得

于是

(9)

由(3)～(6)，(9)式，可得

d2=-p1,

(10)

(11)

(12)

(13)

下面估計|d5|的上界.將引理4中p3和p2的值代入(13)式，整理可得

利用三角不等式及|d4|≤2，不失一般性，設(shè)|p1|=p∈[0,2],|x|=t∈[0,1]，則有

令

下面討論G(p,t)在閉區(qū)域Ω={(p,t):0≤p≤2,0≤t≤1}上的最大值.令

在邊界線p=2上，G(2,t)=43，是一個常數(shù).

證明由(10)，(11)，(12)式，可得

利用引理2，可得

(14)

因為|p1|≤2，所以假設(shè)|p1|=p∈[0,2].令|x|=t∈[0,1]，對(14)式應用三角不等式，可得

和

先求函數(shù)G在閉區(qū)域Ω={(p,t):0≤p≤2,0≤t≤1}上的最大值.令

在邊界p=2上，G(2,t)=4，是一個常數(shù).

下面求函數(shù)F在閉區(qū)域Ω={(p,t):0≤p≤2,0≤t≤1}上的最大值.因為

證明由(10)，(11)式和引理4，可得

(15)

因為|p1|≤2，所以假設(shè)|p1|=p∈[0,2].令|x|=t∈[0,1]，對(15)式應用三角不等式，可得

證明由引理1、定理1、定理2和定理3，利用三角不等式，可得

證明因為f(z)∈K，所以存在p(z)∈P，滿足

(16)

將(1)式代入(16)式，計算比較z和z2是系數(shù)，可得

(17)

由(9)和(17)式，可得

(18)

(19)

(20)

(21)

下面估計|d5|的上界.將引理4中p3和p2的值代入(21)式，整理可得

利用三角不等式和|d4|≤2，不失一般性，設(shè)|p1|=p∈[0,2],|x|=t∈[0,1]，則有

令

下面討論G(p,t)在閉區(qū)域[0,2]×[0,1]上的最大值.令

證明由(18)，(19)和(20)式，可得

(22)

由(22)式和引理4，可得

(23)

因為|p1|≤2，所以假設(shè)|p1|=p∈[0,2].令|x|=t∈[0,1]，對(23)式應用三角不等式，可得

和

先求函數(shù)G在閉區(qū)域Ω={(p,t):0≤p≤2,0≤t≤1}上的最大值.令

在邊界線p=2上，G(2,t)=0.

再求函數(shù)F在閉區(qū)域Ω={(p,t):0≤p≤2,0≤t≤1}上的最大值.對函數(shù)F求t的偏導數(shù)，可得

于是F關(guān)于t在[0,1]上是一個單調(diào)遞增函數(shù)，從而

證明由(18)，(19)式和引理4可得

(24)

因為|p1|≤2，所以假設(shè)|p1|=p∈[0,2].令|x|=t∈[0,1]，對(24)式應用三角不等式，可得

證明由引理2、定理5、定理6和定理7，利用三角不等式，可得