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    三階半線性中立型微分方程的振動性*

    2021-12-16 08:09:36賈對紅
    關(guān)鍵詞:趨向于長治三階

    賈對紅

    (長治學(xué)院數(shù)學(xué)系,山西 長治 046000)

    近年來,許多學(xué)者對三階微分方程的振動性進行了研究,取得了許多成果[1-6].筆者擬在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上,利用Riccati變換和Philos型積分技巧研究一類三階半線性中立型分布時滯微分方程

    (1)

    1 預(yù)備知識

    函數(shù)x(t)稱為方程(1)的一個解,如果函數(shù)z(t)和r(t)|z″(t)|α-1z″(t)連續(xù)可微,且在[t0,+∞)上x(t)滿足方程(1).方程(1)的一個非平凡解稱為振動的,如果它有任意大的零點;否則,稱它為非振動的.若方程(1)的一切解都是振動的,則稱方程(1)是振動的.

    假設(shè)下列條件成立:

    引理1[8]若x(t)是方程(1)的最終正解,則存在t1>t0,當(dāng)t>t1時,有:

    (ⅰ)z(t)>0,z′(t)<0,z″(t)>0;

    (ⅱ)z(t)>0,z′(t)>0,z″(t)>0.

    引理3設(shè)x(t)是方程(1)的最終正解,且z(t)滿足引理1(ⅰ),若

    (2)

    (3)

    (4)

    于是

    2 主要結(jié)果及其證明

    設(shè)D={(t,s):t0≤s≤t<+∞},D0={(t,s):t0≤s

    (1)H(t,s)>0,(t,s)∈D0,H(t,t)=0,t≥t0;

    定理1假設(shè)(H1)~(H6)和(2)式成立,且存在ρ∈C1([t0,+∞),R+)和?(t,s)∈D0,滿足

    (5)

    其中

    則方程(1)的解x(t)或者是振動的,或者當(dāng)t→+∞時趨向于0.

    證明設(shè)方程(1)有非振動解,則x(t)為最終正解或最終負(fù)解.不妨設(shè)x(t)為最終正解(最終負(fù)解的證明類似),且x(τ(t,μ))>0,x(g(t,ξ))>0,t≥t1≥t0.

    若z(t)滿足引理1(ⅱ),即z(t)>0,z′(t)>0,z″(t)>0,z(t)是單調(diào)遞增函數(shù),則有

    (6)

    由(H5),(H6)和(6)式,可得

    可以看出,r(t)(z″(t))α是單調(diào)遞減函數(shù),且t>s時,r(t)(z″(t))α

    (7)

    (8)

    (8)式兩邊同時對s從t0到t積分,可得

    (9)

    因此對于?t≥s≥t1,由(8),(9)式有

    (10)

    (11)

    由引理2可得

    (12)

    (13)

    對(13)式兩邊同時從t1到t積分,可得

    當(dāng)t→+∞時,由(5)式可知w(t)→-∞,這與w(t)>0矛盾.證畢.

    定理2若存在函數(shù)ρ∈C1([t0,+∞),R+)使得(2)式成立,且滿足

    (14)

    則方程(1)的解x(t)或者是振動的,或者當(dāng)t趨于+∞時趨向于0.

    證明設(shè)方程(1)有非振動解,則x(t)為最終正解或最終負(fù)解.不妨設(shè)x(t)為最終正解(最終負(fù)解的證明類似)且x(τ(t,μ))>0,x(g(t,ξ))>0,t≥t1≥t0.

    若z(t)滿足引理1(ⅱ),則令

    (15)

    對(15)式從t0到t積分,可得

    當(dāng)t→+∞時,由(14)式可知u(t)→-∞,這與u(t)>0矛盾.證畢.

    定理3假設(shè)(H1)~(H6)和(2)式成立,若存在ρ∈C1([t0,+∞),R+)和?(t,s)∈D0,滿足

    (16)

    則方程(1)的解或者是振動的,或者當(dāng)t趨于正無窮時趨向于0.

    證明設(shè)方程(1)有非振動解,則x(t)為最終正解或最終負(fù)解.不妨設(shè)x(t)為最終正解(最終負(fù)解的證明類似)且x(τ(t,μ))>0,x(g(t,ξ))>0,t≥t1≥t0.

    若z(t)滿足引理1(ⅱ),則由定理1的證明可知(11)式成立,即

    (17)

    (18)

    整理得到

    (19)

    于是

    (20)

    聯(lián)立(19),(20)式,可得

    對于?t≥t1>t0,有

    這與(16)式矛盾.證畢.

    定理4假設(shè)(H1)~(H6)和(2)式成立,ρ∈C1([t0,+∞),R+),φ∈C([t0,+∞),R),H∈X,對于?T≥t0,有

    (21)

    (22)

    (23)

    φ+(s)=max{φ(s),0},

    則方程(1)的解或者是振動的,或者當(dāng)t趨于正無窮時趨于0.

    證明若z(t)滿足引理1(ⅰ),則由引理3即證.

    若z(t)滿足引理1(ⅱ),則由(22)式可知對于?t1>t0,有

    即對于?t1>t0,有

    φ(t1)≤w(t1).

    (24)

    由(19)式可得

    (25)

    由(21)式可知,存在ε>0,使得

    (26)

    由N的任意性,有

    這與(25)式矛盾,因此

    由(24)式可得

    這與(23)式矛盾.證畢.

    3 應(yīng)用舉例

    考慮方程

    該方程的解或振動或趨于0.

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