廣義極值分布在計算風(fēng)險價值中的應(yīng)用

王 震

（上海郵電設(shè)計咨詢研究院有限公司，上海 200093）

0 引言

在現(xiàn)實世界中，對個別不常發(fā)生的事件通常稱為極值事件。這些極值事件很重要，其中在金融市場，一些黑天鵝事件的發(fā)生對社會經(jīng)濟(jì)產(chǎn)生巨大的影響。對這類事件引起金融市場風(fēng)險，使用風(fēng)險價值（Value at Risk， VaR） 進(jìn)行度量。一般計算VaR方法[1]有風(fēng)險度量制（RiskMetrics）、波動率模型的經(jīng)濟(jì)計量模型、經(jīng)驗分位數(shù)以及極值理論等。該文討論的廣義極值（Generalized Extreme Value， GEV） 分布是基于極值理論的方法，該理論專門研究很少發(fā)生，然而一旦發(fā)生卻產(chǎn)生重大影響的隨機(jī)變量極端變異性的建模及統(tǒng)計分析方法，它提供了一種優(yōu)良穩(wěn)健的漸近模型對分布的尾部進(jìn)行建模[2]。

該文從風(fēng)險價值的概念出發(fā)，說明VaR度量方法的核心問題，討論廣義極值方法及其背后的統(tǒng)計理論和厚尾性質(zhì)，并結(jié)合實例說明GEV估計VaR的過程、結(jié)論，進(jìn)一步驗證GEV具有較好的厚尾性，并通過與波動率模型的經(jīng)濟(jì)計量模型以及經(jīng)驗分位數(shù)方法的比較，說明當(dāng)尾概率較小時，GEV對VaR的估計更合理的。

2 風(fēng)險價值

金融市場風(fēng)險包括信用風(fēng)險和市場風(fēng)險等[3]，VaR主要討論市場風(fēng)險。概率框架下，定義一個持有期為l、尾部概率為p的金融頭寸的VaR如公式（1）所示。

式中：L（l）為金融頭寸中從時刻t到時刻t+1時資產(chǎn)價值量變化時相關(guān)損失函數(shù)（t為時間指標(biāo)）；Fl（x）為L（l）的累計分布函數(shù)（Cumulative Distribution Function， CDF）；VaR為分位數(shù)，Pr是概率函數(shù)的縮寫。

公式（1）表明VaR關(guān)注的是Fl（x）損失的尾部行為。

CDF在實際應(yīng)用中往往是未知的，對VaR的研究主要關(guān)心的是CDF及其分位數(shù)的估計，尤其是CDF的尾部性質(zhì)[4]。因此，F(xiàn)l（x）對的擬合是經(jīng)濟(jì)計量模型的焦點(diǎn)，而不同的方法估計Fl（x）產(chǎn)生了不同VaR的度量方法[5]。除了該文討論的極值方法計算VaR外，還有風(fēng)險度量制、波動率模型的經(jīng)濟(jì)計量模型以及經(jīng)驗分位數(shù)等。

3 計算VaR的極值方法

3.1 極值理論

極值理論研究隨機(jī)變量極端值，即最大值或最小值的分布性質(zhì)[5]。記某資產(chǎn)收益率為rt，n個收益率構(gòu)成序列該序列中最小收益率記為r（1），最大收益率記為r（n）。該文以最大收益率r（n）進(jìn)行理論說明， 最小收益率r（1）的情況，只需采取進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

假設(shè)時間序列{rt}nt=1獨(dú)立或弱相關(guān)，具有同CDF的F（x），設(shè)rt的變化范圍。由概率論可知，設(shè)r（n）的CDF，記為Fn，n（x），如公式（2）所示。

由公式（2）可知，如果F（x）已知，F(xiàn)n，n（x）是可求得的，但實際中，該F（x）往往是未知的，而且最大值分布Fn，n（x）是退化[1]，這樣的CDF是沒有實際價值的。由 Fisher-Tippett極值類型定理[2]推得，存在2個常數(shù)列{αn}（αn＞0）和{βn}，使r（n*）≡（r（n）-βn）/αn分布當(dāng)n→∞收斂到一個非退化分布，其中{αn}是尺度因子序列，{βn}是位置序列。在序列{rt}nt=1獨(dú)立或弱相關(guān)的假設(shè)下，標(biāo)準(zhǔn)化的最大收益率r（n*）的極值分布函數(shù)如公式（3）所示。

式中：ξ為形狀參數(shù)，exp是以e為底的指數(shù)函數(shù)。

ξ控制極值分布的尾部行為，根據(jù)ξ不同，公式（3）這種一般形式的廣義極值分布可分為3種類型的極限分布[1]，當(dāng)ξ=0， 為Gumbel族分布；當(dāng)ξ＞0，為Fréchet族分布；當(dāng)ξ＜0，為Weibull族分布。

3.2 GEV的參數(shù)估計

由式（3）及rn標(biāo)準(zhǔn)化公式知，GEV包括3個參數(shù)：形狀參數(shù)ξ、尺度參數(shù)αn、位置參數(shù)βn，該文采用MLE方法[1]進(jìn)行參數(shù)估計。對給定的觀察樣本，一般無法直接估計參數(shù)。因此將由T個收益率構(gòu)成序列分成g個互不相交的子樣，每個子樣有n個觀測值，即

將子區(qū)間內(nèi)觀測到的最大收益率記為rn，i，0≤i≤g，i表示第i個子區(qū)間，n表示子樣大小，最后用子樣最大值集合{rn，i}來估計極值分布未知參數(shù)。

設(shè)子區(qū)間最大值{rn，i}服從GEV，滿足xi=（rn，i-βn）/αn的概率密度函數(shù)由式（3）求導(dǎo)后給出，可得rn，i的概率密度函數(shù)f（rn，i），如公式（4）所示。

式（4）中的形狀參數(shù)βn有下標(biāo)n表示它的估計依賴于n的大小。在rt獨(dú)立性假定下，得到子區(qū)間最大似然函數(shù)如公式（5）所示。

基于公式（5），利用非線性估計程序得到3個參數(shù)估計。MLE方法估計出參數(shù)后，代入式（4）構(gòu)建擬合GEV概率密度函數(shù)。為確定所擬合的模型的正確性，進(jìn)行殘差檢驗，定義殘差如公式（6）所示。

在公式（6）中，代入所求的估計的形狀參數(shù)、尺度參數(shù)、位置參數(shù)，求出各個rn，i的殘差值wi，作殘差序列圖，并作{wi}對指數(shù)分布Q-Q檢驗圖。如果GEV模型擬合正確的話，首先殘差序列圖中的散點(diǎn)不會有特定規(guī)律或趨勢，其次{wi}對應(yīng)指數(shù)分布Q-Q檢驗圖中，散點(diǎn)應(yīng)該落在45°參考直線上。通過以上檢驗，說明該GEV模型設(shè)定沒有錯誤，參數(shù)擬合效果較好。

3.3 GEV計算VaR

將MLE方式估計的參數(shù)代入式（3），并再考慮式（1），得到一個空頭頭寸的潛在損失超過一定限制的可能性p*如公式（7）所示。

解得分位數(shù)如公式（8）所示。

式（8）的分位數(shù)是子樣本最大值在極值理論基礎(chǔ)上計算的VaR。進(jìn)一步確定子區(qū)間最大值與觀測值收益率序列rt的關(guān)系。由于假設(shè)時間序列是序列獨(dú)立或者弱相關(guān)，由式（2）得公式（9）。

式（9）表明，概率之間的這種關(guān)系可得到原始的資產(chǎn)收益率序列的VaR，即對一個特定的很小的上尾概率p，且1-p=Pr（rt≤rn*），持有一個對數(shù)收益率為rt的資產(chǎn)，其空頭頭寸的VaR如公式（10）所示。

式中：n為子區(qū)間的長度。

綜上，對GEV計算VaR的問題，先通過尺度參數(shù)αn和位置參數(shù)βn規(guī)范化隨機(jī)變量的極值以避免極值分布退化，建立GEV分布函數(shù)。進(jìn)一步，將整個序列等分成g個子區(qū)間，由各區(qū)間的極值觀測值，作GEV模型的MLE參數(shù)估計，求得所擬合的GEV模型參數(shù)后，可通過式（10）求得一個特定概率p的VaR。

4 實證研究

該文選取上海某銀行連續(xù)每日收盤價價格作為數(shù)據(jù)，共2694個交易日收盤價為實證分析的原始樣本，設(shè)Pt（t= 1，2，…，2694）是股票在第t個交易日的價格。對長期持有股票主要考慮損失大小，因此研究最小收益問題，分別采用GEV、計量經(jīng)濟(jì)方法和分位數(shù)估計3種方法進(jìn)行VaR估計。所有數(shù)據(jù)來源于網(wǎng)易財經(jīng)，使用R語言對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

4.1 數(shù)據(jù)的基本統(tǒng)計分析

為使數(shù)據(jù)在統(tǒng)計上更容易進(jìn)行處理[1]，該文采用股票日對數(shù)收益率，記為rt。rt= ln （Pt+1） - ln （Pt），t= 1，2，…，2693，經(jīng)計算，該股票日收益率簡單的統(tǒng)計描述，見表1。

表1可知該股票日對數(shù)收益率均值接近于0；樣本標(biāo)準(zhǔn)差不大；日對數(shù)收益率的具有較高的超額峰度與偏度問題。進(jìn)一步對數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)性相關(guān)檢驗。首先構(gòu)建Jarque-Bera （JB）檢驗統(tǒng)計量[1]，計算日對數(shù)收益率數(shù)據(jù)，結(jié)果JB49332，P值＜0.0001，拒絕原假設(shè)，即日對數(shù)收益率不服從正態(tài)分布。圖1（a） 中，實線是該股票日對數(shù)收益率的經(jīng)驗密度函數(shù)，虛線是該樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差決定的正態(tài)概率密度函數(shù)，兩者相比，經(jīng)驗密度函數(shù)在均值附近有更高的峰、尾部更厚。圖1（b） 中45°直線是參考線，本例來看，散點(diǎn)與參考線偏離程度較大，兩端彎曲程度比較明顯，說明該樣本不服從正態(tài)分布，具有厚尾。

圖1 上海某銀行股票樣本的日對數(shù)收益率的圖像

表1 上海某銀行股票樣本日對數(shù)收益率簡單統(tǒng)計描述

圖2所示是該股票日對數(shù)收益率樣本自相關(guān)函數(shù)（Autocorrelation Function， ACF），該圖表明日對數(shù)收益率序列相關(guān)性很小，樣本ACF值基本都在兩個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，說明在5%水平下他們與0沒有顯著差別。進(jìn)一步，該日對數(shù)收益率Ljung-Box統(tǒng)計量為[1]，P值分別為0.704和0.09，這說明該股票對數(shù)收益率沒有顯著的序列相關(guān)性。

圖2 上海某銀行的日對數(shù)收益率樣本自相關(guān)函數(shù)圖

以上檢驗分析指出，本例日對數(shù)收益率的樣本并不服從正態(tài)分布，其分布呈現(xiàn)“尖峰厚尾”且數(shù)據(jù)不具有顯著的序列相關(guān)性，因此該數(shù)據(jù)應(yīng)用GEV計算VaR是合理的。

4.2 擬合GEV分布函數(shù)

根據(jù)式（3）的形式，建立GEV模型。利用MLE法估計GEV模型的參數(shù)，對不同的子樣區(qū)間，取值不同的n得下表2。

由表2的計算結(jié)果，當(dāng)10≤n≤63，形狀參數(shù)ξn的估計是穩(wěn)定的，近似等于0.4，但當(dāng)n為126時（n為每個子樣觀測值的個數(shù)），由于子區(qū)間被分割為僅22個互不相交的子樣，其結(jié)果具有高度可變性，估計值不穩(wěn)定。由形狀參數(shù)可知，該股票日對數(shù)收益率的分布屬于Fréchet族。

表2 上海某銀行股票樣本的最小日對數(shù)收益率極值分布的最大似然估計

子周期長度選取21個交易日，由式（3）建立極值分布函數(shù)，并采用式（6）的定義，計算擬合GEV分布的殘差，即負(fù)的日對數(shù)收益率擬合GEV分布時殘差。作該殘差圖（圖3），左圖為殘差序列圖，右圖為對指數(shù)分布的Q-Q圖，其中，殘差序列圖沒有顯示出模型誤設(shè)的問題，同時，對指數(shù)分布的Q-Q圖基本在理論指數(shù)分位數(shù)的直線上，因此認(rèn)為GEV分布擬合是合理的。

圖3 上海某銀行股票樣本的負(fù)的日對數(shù)收益率擬合GEV分布時的殘差圖

4.3 計算VaR

將4.2節(jié)的參數(shù)估計結(jié)果代入式（10），計算不同置信水平下的該VaR值，見表3。

由表3表示，GEV中VaR的值對子區(qū)間長度n的選取較敏感且不同置信水平下的結(jié)果差異很大，應(yīng)考慮選擇對應(yīng)GEV分布擬合較好的子區(qū)間長度。

表3 用廣義極值分布（GEV）計算VaR結(jié)果

為進(jìn)一步分析，選取子區(qū)間長度n=21的結(jié)果下，假設(shè)持有一個1000萬人民幣的多頭頭寸，考慮運(yùn)用GEV、計量經(jīng)濟(jì)方法和分位數(shù)估計3種方法計算樣本數(shù)據(jù)的VaR，求得在下一個交易日中的損失。VaR概率分別取為5%、1%、0.1%，即損失將以概率95%、99%、99.9%低于或等于VaR，各種方式計算的結(jié)果如表4。

表4看出，不同的方法結(jié)果有區(qū)別。首先，高斯AR（2）-GARCH（1，1） 模型在各VaR概率下均低估了損失，這主要是因為上海某銀行股票日對數(shù)收益率的分布具有厚尾性，所以基于正態(tài)分布假設(shè)的計算VaR不是很合理。然后，對經(jīng)驗分位數(shù)估計VaR時，5%和1%的經(jīng)驗分位數(shù)的估計結(jié)果可以當(dāng)作真實VaR的一個保守估計（下界），但當(dāng)尾部概率很?。ɡ?.01%） 時，經(jīng)驗分位數(shù)是真實分位數(shù)的一個不太合理的估計[1]。再比較自由度為3的標(biāo)準(zhǔn)化學(xué)生t-分布AR（2）-GARCH（1，1） 模型計算結(jié)果，對VaR概率5%估計較為合理，但概率較小時，會出現(xiàn)低估損失的問題。最后，在GEV計算VaR值時，當(dāng)尾部概率較大時（例如5%），GEV方法出現(xiàn)低估的情況，但隨著尾部概率的減小，特別是到0.01%時，估計結(jié)果都大大高于正態(tài)分布假定下的VaR，這主要是因為，當(dāng)VaR概率較小時，GEV分布的厚尾性發(fā)揮作用，估計結(jié)果更合理。

表4 各方法計算持有1千萬人民幣的多頭頭寸時下一個交易日各概率VaR結(jié)果 （單位：元）

5 結(jié)語

由于極值事件在社會經(jīng)濟(jì)中有很重要的影響，風(fēng)險價值（VaR）評估受到越來越多的關(guān)注。在金融市場風(fēng)險管理中，VaR確定的關(guān)鍵在于其損失函數(shù)累積分布函數(shù)的確定?；跇O值理論的廣義極值（GEV）分布方法，通過構(gòu)建非退化的最大或最小值統(tǒng)計量，建立綜合模型研究極值分布情況，再通過轉(zhuǎn)換得到一定p值的分位數(shù)，那就是所求VaR。

在實例分析時，實際收益率呈現(xiàn)“尖峰厚尾”，所以運(yùn)用基于正態(tài)分布的模型在估計VaR存在不合理性。相比之下，GEV方法能很好刻畫出極值數(shù)據(jù)分布的厚尾性，特別是Fréchet族分布形式。另外，當(dāng)VaR尾概率p減小時，GEV方法能更好發(fā)揮出厚尾作用，所得VaR估計更精準(zhǔn)合理。