王 震
(上海郵電設(shè)計咨詢研究院有限公司,上海 200093)
在現(xiàn)實世界中,對個別不常發(fā)生的事件通常稱為極值事件。這些極值事件很重要,其中在金融市場,一些黑天鵝事件的發(fā)生對社會經(jīng)濟(jì)產(chǎn)生巨大的影響。對這類事件引起金融市場風(fēng)險,使用風(fēng)險價值(Value at Risk, VaR) 進(jìn)行度量。一般計算VaR方法[1]有風(fēng)險度量制(RiskMetrics)、波動率模型的經(jīng)濟(jì)計量模型、經(jīng)驗分位數(shù)以及極值理論等。該文討論的廣義極值(Generalized Extreme Value, GEV) 分布是基于極值理論的方法,該理論專門研究很少發(fā)生,然而一旦發(fā)生卻產(chǎn)生重大影響的隨機(jī)變量極端變異性的建模及統(tǒng)計分析方法,它提供了一種優(yōu)良穩(wěn)健的漸近模型對分布的尾部進(jìn)行建模[2]。
該文從風(fēng)險價值的概念出發(fā),說明VaR度量方法的核心問題,討論廣義極值方法及其背后的統(tǒng)計理論和厚尾性質(zhì),并結(jié)合實例說明GEV估計VaR的過程、結(jié)論,進(jìn)一步驗證GEV具有較好的厚尾性,并通過與波動率模型的經(jīng)濟(jì)計量模型以及經(jīng)驗分位數(shù)方法的比較,說明當(dāng)尾概率較小時,GEV對VaR的估計更合理的。
金融市場風(fēng)險包括信用風(fēng)險和市場風(fēng)險等[3],VaR主要討論市場風(fēng)險。概率框架下,定義一個持有期為l、尾部概率為p的金融頭寸的VaR如公式(1)所示。
式中:L(l)為金融頭寸中從時刻t到時刻t+1時資產(chǎn)價值量變化時相關(guān)損失函數(shù)(t為時間指標(biāo));Fl(x)為L(l)的累計分布函數(shù)(Cumulative Distribution Function, CDF);VaR為分位數(shù),Pr是概率函數(shù)的縮寫。
公式(1)表明VaR關(guān)注的是Fl(x)損失的尾部行為。
CDF在實際應(yīng)用中往往是未知的,對VaR的研究主要關(guān)心的是CDF及其分位數(shù)的估計,尤其是CDF的尾部性質(zhì)[4]。因此,F(xiàn)l(x)對的擬合是經(jīng)濟(jì)計量模型的焦點(diǎn),而不同的方法估計Fl(x)產(chǎn)生了不同VaR的度量方法[5]。除了該文討論的極值方法計算VaR外,還有風(fēng)險度量制、波動率模型的經(jīng)濟(jì)計量模型以及經(jīng)驗分位數(shù)等。
極值理論研究隨機(jī)變量極端值,即最大值或最小值的分布性質(zhì)[5]。記某資產(chǎn)收益率為rt,n個收益率構(gòu)成序列該序列中最小收益率記為r(1),最大收益率記為r(n)。該文以最大收益率r(n)進(jìn)行理論說明, 最小收益率r(1)的情況,只需采取進(jìn)行轉(zhuǎn)換。
假設(shè)時間序列{rt}nt=1獨(dú)立或弱相關(guān),具有同CDF的F(x),設(shè)rt的變化范圍。由概率論可知,設(shè)r(n)的CDF,記為Fn,n(x),如公式(2)所示。
由公式(2)可知,如果F(x)已知,F(xiàn)n,n(x)是可求得的,但實際中,該F(x)往往是未知的,而且最大值分布Fn,n(x)是退化[1],這樣的CDF是沒有實際價值的。由 Fisher-Tippett極值類型定理[2]推得,存在2個常數(shù)列{αn}(αn>0)和{βn},使r(n*)≡(r(n)-βn)/αn分布當(dāng)n→∞收斂到一個非退化分布,其中{αn}是尺度因子序列,{βn}是位置序列。在序列{rt}nt=1獨(dú)立或弱相關(guān)的假設(shè)下,標(biāo)準(zhǔn)化的最大收益率r(n*)的極值分布函數(shù)如公式(3)所示。
式中:ξ為形狀參數(shù),exp是以e為底的指數(shù)函數(shù)。
ξ控制極值分布的尾部行為,根據(jù)ξ不同,公式(3)這種一般形式的廣義極值分布可分為3種類型的極限分布[1],當(dāng)ξ=0, 為Gumbel族分布;當(dāng)ξ>0,為Fréchet族分布;當(dāng)ξ<0,為Weibull族分布。
由式(3)及rn標(biāo)準(zhǔn)化公式知,GEV包括3個參數(shù):形狀參數(shù)ξ、尺度參數(shù)αn、位置參數(shù)βn,該文采用MLE方法[1]進(jìn)行參數(shù)估計。對給定的觀察樣本,一般無法直接估計參數(shù)。因此將由T個收益率構(gòu)成序列分成g個互不相交的子樣,每個子樣有n個觀測值,即
將子區(qū)間內(nèi)觀測到的最大收益率記為rn,i,0≤i≤g,i表示第i個子區(qū)間,n表示子樣大小,最后用子樣最大值集合{rn,i}來估計極值分布未知參數(shù)。
設(shè)子區(qū)間最大值{rn,i}服從GEV,滿足xi=(rn,i-βn)/αn的概率密度函數(shù)由式(3)求導(dǎo)后給出,可得rn,i的概率密度函數(shù)f(rn,i),如公式(4)所示。
式(4)中的形狀參數(shù)βn有下標(biāo)n表示它的估計依賴于n的大小。在rt獨(dú)立性假定下,得到子區(qū)間最大似然函數(shù)如公式(5)所示。
基于公式(5),利用非線性估計程序得到3個參數(shù)估計。MLE方法估計出參數(shù)后,代入式(4)構(gòu)建擬合GEV概率密度函數(shù)。為確定所擬合的模型的正確性,進(jìn)行殘差檢驗,定義殘差如公式(6)所示。
在公式(6)中,代入所求的估計的形狀參數(shù)、尺度參數(shù)、位置參數(shù),求出各個rn,i的殘差值wi,作殘差序列圖,并作{wi}對指數(shù)分布Q-Q檢驗圖。如果GEV模型擬合正確的話,首先殘差序列圖中的散點(diǎn)不會有特定規(guī)律或趨勢,其次{wi}對應(yīng)指數(shù)分布Q-Q檢驗圖中,散點(diǎn)應(yīng)該落在45°參考直線上。通過以上檢驗,說明該GEV模型設(shè)定沒有錯誤,參數(shù)擬合效果較好。
將MLE方式估計的參數(shù)代入式(3),并再考慮式(1),得到一個空頭頭寸的潛在損失超過一定限制的可能性p*如公式(7)所示。
解得分位數(shù)如公式(8)所示。
式(8)的分位數(shù)是子樣本最大值在極值理論基礎(chǔ)上計算的VaR。進(jìn)一步確定子區(qū)間最大值與觀測值收益率序列rt的關(guān)系。由于假設(shè)時間序列是序列獨(dú)立或者弱相關(guān),由式(2)得公式(9)。
式(9)表明,概率之間的這種關(guān)系可得到原始的資產(chǎn)收益率序列的VaR,即對一個特定的很小的上尾概率p,且1-p=Pr(rt≤rn*),持有一個對數(shù)收益率為rt的資產(chǎn),其空頭頭寸的VaR如公式(10)所示。
式中:n為子區(qū)間的長度。
綜上,對GEV計算VaR的問題,先通過尺度參數(shù)αn和位置參數(shù)βn規(guī)范化隨機(jī)變量的極值以避免極值分布退化,建立GEV分布函數(shù)。進(jìn)一步,將整個序列等分成g個子區(qū)間,由各區(qū)間的極值觀測值,作GEV模型的MLE參數(shù)估計,求得所擬合的GEV模型參數(shù)后,可通過式(10)求得一個特定概率p的VaR。
該文選取上海某銀行連續(xù)每日收盤價價格作為數(shù)據(jù),共2694個交易日收盤價為實證分析的原始樣本,設(shè)Pt(t= 1,2,…,2694)是股票在第t個交易日的價格。對長期持有股票主要考慮損失大小,因此研究最小收益問題,分別采用GEV、計量經(jīng)濟(jì)方法和分位數(shù)估計3種方法進(jìn)行VaR估計。所有數(shù)據(jù)來源于網(wǎng)易財經(jīng),使用R語言對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。
為使數(shù)據(jù)在統(tǒng)計上更容易進(jìn)行處理[1],該文采用股票日對數(shù)收益率,記為rt。rt= ln (Pt+1) - ln (Pt),t= 1,2,…,2693,經(jīng)計算,該股票日收益率簡單的統(tǒng)計描述,見表1。
表1可知該股票日對數(shù)收益率均值接近于0;樣本標(biāo)準(zhǔn)差不大;日對數(shù)收益率的具有較高的超額峰度與偏度問題。進(jìn)一步對數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)性相關(guān)檢驗。首先構(gòu)建Jarque-Bera (JB)檢驗統(tǒng)計量[1],計算日對數(shù)收益率數(shù)據(jù),結(jié)果JB49332,P值<0.0001,拒絕原假設(shè),即日對數(shù)收益率不服從正態(tài)分布。圖1(a) 中,實線是該股票日對數(shù)收益率的經(jīng)驗密度函數(shù),虛線是該樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差決定的正態(tài)概率密度函數(shù),兩者相比,經(jīng)驗密度函數(shù)在均值附近有更高的峰、尾部更厚。圖1(b) 中45°直線是參考線,本例來看,散點(diǎn)與參考線偏離程度較大,兩端彎曲程度比較明顯,說明該樣本不服從正態(tài)分布,具有厚尾。
圖1 上海某銀行股票樣本的日對數(shù)收益率的圖像
表1 上海某銀行股票樣本日對數(shù)收益率簡單統(tǒng)計描述
圖2所示是該股票日對數(shù)收益率樣本自相關(guān)函數(shù)(Autocorrelation Function, ACF),該圖表明日對數(shù)收益率序列相關(guān)性很小,樣本ACF值基本都在兩個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi),說明在5%水平下他們與0沒有顯著差別。進(jìn)一步,該日對數(shù)收益率Ljung-Box統(tǒng)計量為[1],P值分別為0.704和0.09,這說明該股票對數(shù)收益率沒有顯著的序列相關(guān)性。
圖2 上海某銀行的日對數(shù)收益率樣本自相關(guān)函數(shù)圖
以上檢驗分析指出,本例日對數(shù)收益率的樣本并不服從正態(tài)分布,其分布呈現(xiàn)“尖峰厚尾”且數(shù)據(jù)不具有顯著的序列相關(guān)性,因此該數(shù)據(jù)應(yīng)用GEV計算VaR是合理的。
根據(jù)式(3)的形式,建立GEV模型。利用MLE法估計GEV模型的參數(shù),對不同的子樣區(qū)間,取值不同的n得下表2。
由表2的計算結(jié)果,當(dāng)10≤n≤63,形狀參數(shù)ξn的估計是穩(wěn)定的,近似等于0.4,但當(dāng)n為126時(n為每個子樣觀測值的個數(shù)),由于子區(qū)間被分割為僅22個互不相交的子樣,其結(jié)果具有高度可變性,估計值不穩(wěn)定。由形狀參數(shù)可知,該股票日對數(shù)收益率的分布屬于Fréchet族。
表2 上海某銀行股票樣本的最小日對數(shù)收益率極值分布的最大似然估計
子周期長度選取21個交易日,由式(3)建立極值分布函數(shù),并采用式(6)的定義,計算擬合GEV分布的殘差,即負(fù)的日對數(shù)收益率擬合GEV分布時殘差。作該殘差圖(圖3),左圖為殘差序列圖,右圖為對指數(shù)分布的Q-Q圖,其中,殘差序列圖沒有顯示出模型誤設(shè)的問題,同時,對指數(shù)分布的Q-Q圖基本在理論指數(shù)分位數(shù)的直線上,因此認(rèn)為GEV分布擬合是合理的。
圖3 上海某銀行股票樣本的負(fù)的日對數(shù)收益率擬合GEV分布時的殘差圖
將4.2節(jié)的參數(shù)估計結(jié)果代入式(10),計算不同置信水平下的該VaR值,見表3。
由表3表示,GEV中VaR的值對子區(qū)間長度n的選取較敏感且不同置信水平下的結(jié)果差異很大,應(yīng)考慮選擇對應(yīng)GEV分布擬合較好的子區(qū)間長度。
表3 用廣義極值分布(GEV)計算VaR結(jié)果
為進(jìn)一步分析,選取子區(qū)間長度n=21的結(jié)果下,假設(shè)持有一個1000萬人民幣的多頭頭寸,考慮運(yùn)用GEV、計量經(jīng)濟(jì)方法和分位數(shù)估計3種方法計算樣本數(shù)據(jù)的VaR,求得在下一個交易日中的損失。VaR概率分別取為5%、1%、0.1%,即損失將以概率95%、99%、99.9%低于或等于VaR,各種方式計算的結(jié)果如表4。
表4看出,不同的方法結(jié)果有區(qū)別。首先,高斯AR(2)-GARCH(1,1) 模型在各VaR概率下均低估了損失,這主要是因為上海某銀行股票日對數(shù)收益率的分布具有厚尾性,所以基于正態(tài)分布假設(shè)的計算VaR不是很合理。然后,對經(jīng)驗分位數(shù)估計VaR時,5%和1%的經(jīng)驗分位數(shù)的估計結(jié)果可以當(dāng)作真實VaR的一個保守估計(下界),但當(dāng)尾部概率很?。ɡ?.01%) 時,經(jīng)驗分位數(shù)是真實分位數(shù)的一個不太合理的估計[1]。再比較自由度為3的標(biāo)準(zhǔn)化學(xué)生t-分布AR(2)-GARCH(1,1) 模型計算結(jié)果,對VaR概率5%估計較為合理,但概率較小時,會出現(xiàn)低估損失的問題。最后,在GEV計算VaR值時,當(dāng)尾部概率較大時(例如5%),GEV方法出現(xiàn)低估的情況,但隨著尾部概率的減小,特別是到0.01%時,估計結(jié)果都大大高于正態(tài)分布假定下的VaR,這主要是因為,當(dāng)VaR概率較小時,GEV分布的厚尾性發(fā)揮作用,估計結(jié)果更合理。
表4 各方法計算持有1千萬人民幣的多頭頭寸時下一個交易日各概率VaR結(jié)果 (單位:元)
由于極值事件在社會經(jīng)濟(jì)中有很重要的影響,風(fēng)險價值(VaR)評估受到越來越多的關(guān)注。在金融市場風(fēng)險管理中,VaR確定的關(guān)鍵在于其損失函數(shù)累積分布函數(shù)的確定?;跇O值理論的廣義極值(GEV)分布方法,通過構(gòu)建非退化的最大或最小值統(tǒng)計量,建立綜合模型研究極值分布情況,再通過轉(zhuǎn)換得到一定p值的分位數(shù),那就是所求VaR。
在實例分析時,實際收益率呈現(xiàn)“尖峰厚尾”,所以運(yùn)用基于正態(tài)分布的模型在估計VaR存在不合理性。相比之下,GEV方法能很好刻畫出極值數(shù)據(jù)分布的厚尾性,特別是Fréchet族分布形式。另外,當(dāng)VaR尾概率p減小時,GEV方法能更好發(fā)揮出厚尾作用,所得VaR估計更精準(zhǔn)合理。