BOTDR布里淵譜擬合方法改進(jìn)研究

曹孟輝，陳點(diǎn)，夏輝

（武漢鈞恒科技有限公司，湖北 武漢 430000）

0 引言

由于光纖對(duì)于外界環(huán)境如應(yīng)力/溫度的變化十分敏感，光纖中入射光的相位、頻率、幅度等物理量會(huì)隨著環(huán)境的變化發(fā)生相應(yīng)改變[1]?？梢岳斫鉃楣饫w傳感系統(tǒng)能夠?qū)h(huán)境信息調(diào)制到入射光中再經(jīng)過光纖傳輸，因此在接收端進(jìn)行解調(diào)即可獲得環(huán)境信息[2]。分布式光纖傳感技術(shù)相較傳統(tǒng)電傳感器有以下優(yōu)點(diǎn)：抗電磁干擾能力強(qiáng)；能同時(shí)發(fā)揮傳感器和信道的雙重作用；可以獲得沿光纖分布的待測(cè)量的連續(xù)一維分布；具有較高的空間分辨率和測(cè)量精度[3]。其中，布里淵分布式傳感技術(shù)基于光纖中后向布里淵散射信號(hào)實(shí)現(xiàn)，可同時(shí)感知溫度與應(yīng)變信息。布里淵光時(shí)域反射儀（BOTDR）結(jié)合光時(shí)域反射技術(shù)和光纖自發(fā)布里淵散射。由于布里淵光信號(hào)受到光纖色散和衰減的影響較小，因此在長(zhǎng)距離分布式傳感領(lǐng)域應(yīng)用前景廣闊。近年來，基于BOTDR的傳感技術(shù)取得巨大發(fā)展。在空間分辨率與動(dòng)態(tài)范圍方面，2008年華北電力大學(xué)的李永倩等人在BOTDR中引入了格雷互補(bǔ)序列，使系統(tǒng)的空間分辨率提高到1m，也一定程度上提高了其他性能指標(biāo)[4]；2011年南京大學(xué)梁浩等人將哈達(dá)瑪編碼應(yīng)用于BOTDR系統(tǒng)，在31km的光纖上獲得了50m的空間分辨率，最大動(dòng)態(tài)范圍達(dá)53.5km[5]。

在布里淵譜信號(hào)處理方面，2009年，梁浩等人對(duì)于布里淵散射譜線多峰情況采取分區(qū)間最小二乘非線性擬合[6]；2012年余偉等人證明，利用布里淵增益譜提取布里淵頻移時(shí)，使用L-M算法比小加權(quán)平方算法的收斂速度快，收斂性也更好，并且最終提取精度更高[7]。2013年，加拿大新布倫瑞克大學(xué)的Mohsen Amiri Farahani等人提出一種互相關(guān)卷積的算法，該算法可以從布里淵增益譜提取有用信息。在信號(hào)噪聲較大的情況下，該算法仍具有非常優(yōu)異的實(shí)際應(yīng)用效果[8]。以上研究只考慮了理想布里淵譜曲線在高斯噪聲影響下的信號(hào)處理，忽視了BOTDR系統(tǒng)中相干瑞利噪聲的干擾。本文提出一種改進(jìn)的擬合方法，能夠規(guī)避布里淵譜中低頻瑞利噪聲的影響，大大提高曲線擬合精度。

1 布里淵譜

理論上，布里淵散射光譜為洛倫茲線型，符合如下數(shù)學(xué)表達(dá)式[9]。

其中，G為散射峰值增益系數(shù)，是布里淵頻移，是布里淵散射譜的半高全寬（full width at half maximum,FWHM）。

2 基于高斯牛頓算法布里淵譜擬合

高斯牛頓迭代算法的基本思想是使用泰勒級(jí)數(shù)展開近似替代非線性回歸模型，然后經(jīng)過一定次數(shù)的迭代，根據(jù)誤差不斷校正回歸系數(shù)，使得回歸系數(shù)不斷逼近非線性回歸模型的最優(yōu)回歸系數(shù)，最后使得模型的殘差平方和達(dá)到小于一定數(shù)值。

設(shè)已知一系列離散數(shù)據(jù)記為D={(x1,y1)，(x2,y2)，……(xm,ym)}一共m個(gè)點(diǎn)。設(shè)標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)為f(x1,β1)，β=（β1,β2,β3,…,βn）。在迭代過程中，實(shí)測(cè)信號(hào)與理想函數(shù)曲線之間的平方誤差表示為下式。

目標(biāo)是求解S的最小值對(duì)應(yīng)的β，則S取最小值時(shí)β應(yīng)該滿足S對(duì)β的偏微分為0。

該問題是一個(gè)非線性最小二乘問題，因此沒有顯式解，一般情況下用迭代的方法將擬合函數(shù)的參數(shù)β逐漸向最優(yōu)解逼近，如下所示。

其中K為迭代次數(shù)，△β是迭代矢量。對(duì)于每次迭代f(x,β)，是近似線性的，因此可以在βk處對(duì)f(xi,β)用泰勒級(jí)數(shù)展開。

其中J是雅可比(Jacobian)矩陣，滿足。

此時(shí)殘差表示為。

繼而可以得到。

展開得。

經(jīng)過推導(dǎo)，得到高斯牛頓迭代的最終公式為。

其中雅可比矩陣J的計(jì)算式為。

3 算法優(yōu)化

由于高斯牛頓算法對(duì)初值的選取非常敏感，因此必須要根據(jù)實(shí)際信號(hào)的特點(diǎn)合理選擇初值。在實(shí)際BOTDR信號(hào)中，受到相干瑞利噪聲的影響，布里淵譜低頻段經(jīng)常出現(xiàn)較大的噪聲，因而導(dǎo)致擬合誤差，甚至無法收斂，擬合失敗。

將公式（1）進(jìn)行變形，簡(jiǎn)化洛倫茲線型表達(dá)式為。

其系數(shù)為（Y,x,h,w）。對(duì)于一般的初值確定，Y取某組數(shù)據(jù)的最小值，X取原始數(shù)據(jù)最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x值，h取y坐標(biāo)的最大值減去y的最小值。從離散點(diǎn)左右兩邊找出最接近Y+h/2的點(diǎn)。然后兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)差值的一半即為w。由于受到原始信號(hào)相干瑞利噪聲影響，會(huì)出現(xiàn)初值有誤導(dǎo)致擬合失敗的情況，如下圖1所示。

圖1 相干瑞利噪聲導(dǎo)致的初值問題

本文修改了確定W的方法，修改的確定方法如圖2所示。

圖2 改進(jìn)擬合方法

首先得到3dB帶寬內(nèi)最大信號(hào)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)Xm，然后取輸入點(diǎn)的個(gè)數(shù)N的一半作為窗的大小W。以該橫坐標(biāo)為窗的中心，取W個(gè)點(diǎn)，如果左右兩邊的點(diǎn)數(shù)量都足夠則兩邊各取W/2個(gè)點(diǎn)。如果左邊的點(diǎn)不夠則右邊多取，反之同理。窗的大小根據(jù)實(shí)際情況也可以設(shè)置為固定值。對(duì)于實(shí)測(cè)信號(hào)，峰值點(diǎn)附近的數(shù)據(jù)更加穩(wěn)定，噪聲干擾相對(duì)較少。因此理論上可以認(rèn)為，使用這部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行迭代，更能提高擬合的準(zhǔn)確率。并且高斯牛頓迭代中有大量的矩陣運(yùn)算，算法復(fù)雜度為o(N2)，N為參與擬合的點(diǎn)的總數(shù)。只選取部分點(diǎn)參與迭代運(yùn)算，可以大大提高計(jì)算的速度。

4 仿真結(jié)果與討論

使用Matlab產(chǎn)生已知系數(shù)的洛倫茲曲線，系數(shù)在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生，保證測(cè)試結(jié)果的普適性。然后分別測(cè)試SNR=5，10，20，30dB的情況，每個(gè)信噪比測(cè)試10000次，均方誤差只計(jì)算擬合成功的數(shù)據(jù)組，圖3為仿真測(cè)試的結(jié)果。

圖3 仿真結(jié)果

從圖3（a）可以看出，采用固定窗口大小，擬合效率顯著提高，擬合算法收斂更快。圖3（b）說明對(duì)于不同的SNR，擬合效果也具有比較好的一致性。同時(shí)，從圖3（c）可以看出，由于改進(jìn)了初值設(shè)置方法，曲線擬合的精度也大幅提升，尤其在SNR較小時(shí)，總的均方誤差遠(yuǎn)小于未作改進(jìn)的算法。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)算法的有效性，采集大量真實(shí)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理分析。

從表1可知，改進(jìn)后的算法大大提升了擬合成功率，而且降低了擬合所用時(shí)間，提高了測(cè)量效率。因此，本文提出的擬合方法能夠有效應(yīng)對(duì)BOTDR系統(tǒng)中相干瑞利噪聲的干擾。

表1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)

5 結(jié)語(yǔ)

通過優(yōu)化布里淵散射譜非線性擬合數(shù)據(jù)初值選取方法，結(jié)合高斯牛頓擬合算法，顯著提升了BOTDR系統(tǒng)對(duì)相干瑞利噪聲的容忍度。新算法能夠提高擬合成功率并降低擬合時(shí)間，具有很高的實(shí)用價(jià)值。