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    方差的計算與應用

    2021-12-12 01:24:19陳洪兵
    初中生學習指導·提升版 2021年12期
    關鍵詞:乙種圓心角折線

    陳洪兵

    方差是指一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方的平均數(shù),方差的計算公式是s2 = [1n][(x1 - [x])2 + (x2 - [x])2 + … + (xn - [x])2]. 方差是反映一組數(shù)據(jù)波動大小的統(tǒng)計量,其應用極其廣泛. 現(xiàn)以2021年中考題為例來說明.

    例1(2021·北京)甲、乙兩組數(shù)據(jù)如表1所示,它們的方差分別為[s2甲],[s2乙],則[s2甲] (填“>”“<”或“=”)[s2乙].

    解析:∵x甲 = [15] × (11 + 12 + 13 + 14 + 15) = 13,x乙 = [15] × (12 + 12 + 13 + 14 + 14) = 13,

    [s2甲] = [15] × [(11 - 13)2 + (12 - 13)2 + (13 - 13)2 + (14 - 13)2 + (15 - 13)2] = 2,

    [s2乙] = [15] × [(12 - 13)2 + (12 - 13)2 + (13 - 13)2 + (14 - 13)2 + (14 - 13)2] = 0.8,

    ∴[s2甲] > [s2乙]. 故應填>.

    反思:甲組數(shù)據(jù)是五個連續(xù)整數(shù),五個連續(xù)整數(shù)的方差一定是2. 將各數(shù)據(jù)減去10,分別得到1,2,3,4,5和2,2,3,4,4,計算這兩組數(shù)據(jù)的方差更簡便些.若有兩組數(shù)據(jù),可設其平均數(shù)分別為[x1],[x2],方差分別為[s21],[s22],當?shù)诙M每個數(shù)據(jù)是第一組每個數(shù)據(jù)的n倍再增加m時,則有[x2] = n[x1] + m,[s22] = n2[s21]. 利用這個結論可簡化平均數(shù)和方差的計算.

    例2(2021·山東·菏澤)在2021年初中畢業(yè)體育測試中,某校隨機抽取10名男生引體向上的成績,整理制成表2,關于這組數(shù)據(jù)的結論不正確的是( ).

    A.中位數(shù)是10.5 B.平均數(shù)是10.3 C.眾數(shù)是10 D.方差是0.81

    解析:這里的數(shù)據(jù)是用表格以頻數(shù)的形式呈現(xiàn)的,弄清表格中的信息,由其轉(zhuǎn)化出10名男生引體向上的成績分別是12,11,11,11,10,10,10,10,9,9.

    這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是10,平均數(shù)是10.3 ,眾數(shù)是10,方差是0.81. 故選A.

    反思:當數(shù)據(jù)用表格以頻數(shù)的形式呈現(xiàn)時,可以將其轉(zhuǎn)化為原數(shù)據(jù),也可直接由表格求平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和方差.

    例3(2021·四川·樂山)圖1是根據(jù)甲、乙兩人5次射擊的成績(環(huán)數(shù))制作的折線統(tǒng)計圖,你認為誰的成績較為穩(wěn)定? (填“甲”或“乙”)

    解析:先分別求出甲、乙的平均數(shù),再求出甲、乙的方差,由方差越小的成績越穩(wěn)定作出判斷即可.

    [x甲] = [15] × (7 + 6 + 9 + 6 + 7) = 7(環(huán)),

    [x乙] = [15] × (5 + 9 + 6 + 7 + 8) = 7(環(huán)),

    [s2甲] = [15] × [(7 - 7)2 + (6 - 7)2 + (9 - 7)2 + (6 - 7)2 + (7 - 7)2] = 1.2,

    [s2乙] = [15] × [(5 - 7)2 + (9 - 7)2 + (6 - 7)2 + (7 - 7)2 + (8 - 7)2] = 2.

    ∵1.2 < 2,∴甲的成績較為穩(wěn)定. 故應填甲.

    反思:這里的數(shù)據(jù)是以折線統(tǒng)計圖的形式呈現(xiàn)的,可以從折線統(tǒng)計圖中轉(zhuǎn)化出兩組數(shù)據(jù),再計算方差,然后根據(jù)方差越小的數(shù)據(jù)越穩(wěn)定作出判斷;也可以直接從折線統(tǒng)計圖中各數(shù)據(jù)的離散程度對其穩(wěn)定性直接作出判斷,由圖1可一目了然地看到甲的成績較為穩(wěn)定. 顯然,利用數(shù)形結合,借助圖形直觀,可輕松解決某些生活中的數(shù)學問題.

    例4(2021·江蘇·泰州)近五年,我省家電業(yè)的發(fā)展發(fā)生了新變化. 以甲、乙、丙三種家電為例,將這三種家電2016~2020年的產(chǎn)量(單位:萬臺)繪制成如圖2所示的折線統(tǒng)計圖,圖中只標注了甲種家電產(chǎn)量的數(shù)據(jù). 觀察統(tǒng)計圖回答下列問題:(1)這五年甲種家電產(chǎn)量的中位數(shù)為 萬臺;(2)若將這五年家電產(chǎn)量按年份繪制成五個扇形統(tǒng)計圖,每個統(tǒng)計圖只反映該年這三種家電產(chǎn)量占比,其中有一個扇形統(tǒng)計圖的某種家電產(chǎn)量占比對應的圓心角大于180°,這個扇形統(tǒng)計圖對應的年份是 年;(3)小明認為:某種家電產(chǎn)量的方差越小,說明該家電發(fā)展趨勢越好. 你同意他的觀點嗎?請結合圖中乙、丙兩種家電產(chǎn)量變化情況說明理由.

    解析:(1)甲種家電產(chǎn)量數(shù)據(jù)從小到大排列為466,921,935,1035,1046,中間的數(shù)據(jù)935即為中位數(shù). (2)根據(jù)扇形統(tǒng)計圖的圓心角公式確定對應年份,觀察統(tǒng)計圖可知2020年甲種家電產(chǎn)量和丙種家電產(chǎn)量之和小于乙種家電產(chǎn)量,所以根據(jù)扇形統(tǒng)計圖的圓心角公式可知,2020年乙種家電產(chǎn)量占比對應的圓心角大于180°. (3)不同意.理由如下:丙種家電產(chǎn)量數(shù)據(jù)方差較小,產(chǎn)量從2018年起在逐年降低;乙種家電產(chǎn)量數(shù)據(jù)方差較大,產(chǎn)量在逐年提高. 因此不能說家電產(chǎn)量數(shù)據(jù)的方差越小,該家電發(fā)展趨勢越好.

    反思:第3問是判斷說理題.先作判斷,再說明做出這種判斷的理由.在運用方差說理時,必須注意:(1)方差是用來比較數(shù)據(jù)波動大小的,只有在數(shù)據(jù)平均數(shù)相等或較接近時才能用,否則一般不用方差來比較數(shù)據(jù)的波動大小;(2)一般而言,一組數(shù)據(jù)的方差越小,這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定,因此有同學就認為在實際生活中方差越小越好,這種觀點是錯誤的.本題中乙種家電產(chǎn)量數(shù)據(jù)方差較大,但產(chǎn)量在逐年提高,說明乙種家電發(fā)展趨勢好.

    (作者單位:江蘇省泰州市姜堰區(qū)實驗初級中學)

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