組間零相關(guān)區(qū)周期互補(bǔ)序列集的構(gòu)造

白子祎，劉 凱,*

(1.燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北 秦皇島066004；2.燕山大學(xué)河北省信息傳輸與信號處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島066004)

0 引言

隨著準(zhǔn)同步碼分多址(quasi-synchronous code division multiple access，QS-CDMA)在衛(wèi)星通信中的商用，學(xué)者們提出零相關(guān)區(qū)(zero correlation zone，ZCZ)序列集的概念[1-5]。為了得到更多滿足具有良好系統(tǒng)性能的序列，學(xué)者們將ZCZ的概念和互補(bǔ)集兩者結(jié)合，提出并構(gòu)造了ZCZ互補(bǔ)序列集[6-8]。5G技術(shù)將蜂窩通信細(xì)化為大量的區(qū)組通信，因此具有組間良好相關(guān)性的序列設(shè)計受到了學(xué)者們的關(guān)注。目前組間互補(bǔ)(inter-group complementary，IGC)序列集的概念是組內(nèi)具有ZCZ相關(guān)特性和組間具有理想的互相關(guān)特性?，F(xiàn)有的IGC序列集構(gòu)造方法并不多，文獻(xiàn)[9]首次基于完備互補(bǔ)碼和正交碼構(gòu)造了非周期IGC序列集，并應(yīng)用到CDMA系統(tǒng)，相對于傳統(tǒng)地址碼具有更低的誤碼率，但ZCZ的長度固定于原始完備互補(bǔ)碼的子序列長度，這限制了IGC序列集的數(shù)量。文獻(xiàn)[10]利用周期互補(bǔ)序列集(periodic complementary sequence set，PCSS)和移位交織提出了改進(jìn)的周期IGC序列集的構(gòu)造方法，利于靈活選擇ZCZ的長度，但是完備互補(bǔ)碼數(shù)量的限制阻礙了IGC序列的應(yīng)用。文獻(xiàn)[11]基于零相關(guān)區(qū)周期互補(bǔ)序列集(zero correlation zone periodic complementary sequence set，Z-PCSS)和最佳周期互相關(guān)(perfect periodic cross-correlation，PPCC)序列集構(gòu)造了周期IGC序列集，其ZCZ的長度靈活可變，但I(xiàn)GC序列集的組數(shù)取決于PPCC序列集中子序列的數(shù)量，文獻(xiàn)[12]利用PCSS和正交矩陣也構(gòu)造了周期IGC序列集，但其組數(shù)受限于互補(bǔ)序列集中子序列的數(shù)量。文獻(xiàn)[13]基于正交矩陣構(gòu)造了非周期IGC序列集，通過減少ZCZ的長度，增加IGC序列集的組數(shù)。目前文獻(xiàn)中針對組間特性的擴(kuò)頻碼設(shè)計方法并不多，數(shù)量也較少，因此研究更多的具有組間特性的序列具有實(shí)際意義。

本文提出了組間零相關(guān)區(qū)互補(bǔ)(intergroup zero correlation zone complementary，IGZC)序列集的定義，該序列集的組內(nèi)和組間都具有ZCZ的性質(zhì)，其中組內(nèi)ZCZ的長度為Z1，組間ZCZ的長度為Z2。當(dāng)Z1≠Z2且Z2=L時，IGZC就成為IGC，因此，IGC是IGZC的組間ZCZ長為L的情況。文中利用ZCZ序列集和整數(shù)集構(gòu)造了一類Z1=Z2的IGZC，其中ZCZ長度，集合的組數(shù)可以靈活選擇。當(dāng)Z1=Z2=Z=L時，即為組內(nèi)和組間都具有理想的相關(guān)特性的互補(bǔ)序列集合，是周期IGZC序列集的一種特殊情況。對IGZC構(gòu)造方法的探索可為多小區(qū)不同時延信道模型提供更多的地址碼選擇，對消除多小區(qū)用戶之間的信息干擾具有一定意義。

1 基本定義

定義1兩個長度為L的復(fù)數(shù)序列a和b，分別表示為a=(a(t)|0≤t

(1)

其中，b*(t)為b(t)的復(fù)共軛。當(dāng)a=b時，上述定義為周期自相關(guān)函數(shù)，可寫為Ra(τ)。

定義2設(shè)U={uk|0≤k

(2)

引理1[14]對于任意一個參數(shù)為ZCZ(L,K,Z)的ZCZ周期序列集，滿足以下理論界

K≤?L/Z」，

(3)

其中，?L/Z」表示小于或等于L/Z的最大的整數(shù)。當(dāng)K=?L/Z」時，稱序列集U為最佳的，當(dāng)K=?L/Z」-1時，稱序列集U為幾乎最佳的。

M≤N?L/Z」，

(5)

其中，?L/Z」表示小于或等于L/Z的最大整數(shù)。當(dāng)M=N?L/Z」時，稱序列集cg為最佳的，當(dāng)M=N?L/Z」-1時，稱序列集cg為幾乎最佳的。

GM≤N?L/Z」，

(7)

其中?L/Z」表示小于或等于L/Z的最大的整數(shù)。當(dāng)GM=N?L/Z」時，稱U為最佳IGZC序列集，當(dāng)GM=N?L/Z」-1時，稱U為幾乎最佳IGZC序列集。

定義5[15]對于任意的長度為L的復(fù)值序列a，可以定義以下映射作為a的線性相位變換，即

(8)

引理4[15]對于兩個長度為L的復(fù)值序列a和b，如果q|L，其中q為模值，有

2 組間零相關(guān)區(qū)互補(bǔ)序列集的構(gòu)造

本文利用以下三個步驟構(gòu)造IGZC序列集。

步驟1選取基序列集。任意選取一個ZCZ周期序列集，參數(shù)為ZCZ(L,K,Z)，即U={uk|0≤k

步驟2將基序列集分為多個子序列集。選取用戶數(shù)M，0

(10)

(11)

其中，0≤m

(12)

需分四種情況分析：

由以上分析可得

(13)

推論1當(dāng)K為大于1的整數(shù)，且M=1時，C={cg|0≤g

證明與定理1的證明同理，這里不再贅述。

例1設(shè)q=4，M=2，選取一個含有3個整數(shù)的集合D={1,2,4}和一個參數(shù)為ZCZ(16,4,3)的二元ZCZ周期序列集U={uk,0≤k<3}作為基序列集，其中

u0=(1,1,-1,1,1,1,-1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,-1,1)，

u1=(-1,-1,1,-1,1,1,-1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,1)，

u2=(1,-1,-1,-1,1,-1,-1,-1,-1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1)

u3=(-1,1,1,1,1,-1,-1,-1,1,-1,1,1,-1,1,-1,-1)。

令K=4，G=?K/M」=2，可以將U分為U0和U1，存在以下3種分組情況：

每種分組情況可以得到一種IGZC序列集，下面以情況1和情況2為例求序列集C={cg|0≤g<2}：

圖1 c0的周期自相關(guān)函數(shù)R00和R01Fig.1 Periodic auto-correlation functions R00 and R01of c0

圖2 c1的周期自相關(guān)函數(shù)R10和R11Fig.2 Periodic auto-correlation functions R10 and R11 of c1

圖3 組內(nèi)周期互相關(guān)函數(shù)R0和R1Fig.3 Periodic cross-correlation functions R0and R1 within c0and c1

圖與c1內(nèi)序列的周期互相關(guān)函數(shù)H00和H01Fig.4 Periodic cross-correlation function H00 and H01 of and the sequences of c1

3 性能分析

在理論界方面，由于基序列集U的理論界為K≤L/Z，又因?yàn)镚M≤K，那么GM≤L/Z，可以推導(dǎo)出GM1，因此構(gòu)造得到的IGZC序列集不滿足理論界。表1比較了現(xiàn)有文獻(xiàn)的IGC和定理1構(gòu)造的IGZC之間的相關(guān)性能和序列集特征。

表1 周期IGC序列集參數(shù)對比Tab.1 Parameter comparison of periodic IGC sequences sets

從表1顯示，文獻(xiàn)[10]構(gòu)造的IGC序列集雖然達(dá)到了理論界，但其數(shù)量受限于PCSS的數(shù)量，因此得到的可用的IGC序列集數(shù)量很少，而文獻(xiàn)[11]中的構(gòu)造方法雖然提高了IGC序列集的數(shù)量，但其組數(shù)取決于PPCC序列集中子序列的數(shù)量，需要通過改變基序列集來得到更多的IGC序列集。文獻(xiàn)[12]構(gòu)造的IGC序列集需要在一定條件下實(shí)現(xiàn)理論界，且其組數(shù)受限于互補(bǔ)序列集中子序列的數(shù)量。相比上述文獻(xiàn)，定理1的構(gòu)造方法中應(yīng)用ZCZ周期序列集作為基序列集，依據(jù)已有文獻(xiàn)，這類序列集數(shù)量非常豐富，通過選擇不同參數(shù)的基序列集，很容易獲得IGZC所需的ZCZ長度。此外，在IGZC的構(gòu)造中，用戶數(shù)M可以根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行設(shè)定，在不改變基序列集的情況下，根據(jù)M的靈活選擇可獲得不同分組，從而得到多個IGZC序列集，如例1所示。移位整數(shù)集中參數(shù)數(shù)量代表著信道載波數(shù)，整數(shù)集的大小可根據(jù)實(shí)際需求靈活選擇。盡管定理1構(gòu)造的IGZC序列集不能達(dá)到理論界，但構(gòu)造結(jié)果豐富，且參數(shù)選取依據(jù)實(shí)際通信需求可靈活選擇，具有實(shí)用性。

4 結(jié)論

本文基于ZCZ序列集和整數(shù)集提出了Z1=Z2情況下的周期IGZC序列集的構(gòu)造方法。構(gòu)造的周期IGZC序列集在組內(nèi)和組間的零相關(guān)區(qū)內(nèi)都具有理想的相關(guān)特性。通過選擇不同參數(shù)的基序列集能靈活地選擇ZCZ的長度與集合的組數(shù)，通過改變整數(shù)集中整數(shù)的個數(shù)，集合的大小也能靈活選擇，相比于文獻(xiàn)中構(gòu)造的IGC序列集，可得到數(shù)量更多的IGZC序列集。IGZC序列集中Z1≠Z2的情況有待進(jìn)一步研究，隨著IGZC序列的深入設(shè)計將得到更多適合多小區(qū)通信的擴(kuò)頻碼。